《2017-2018学年高中数学苏教版必修四教学案：第1章 1.3 三角函数的图象和性质 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学苏教版必修四教学案：第1章 1.3 三角函数的图象和性质 .doc（58页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第1课时三角函数的周期性问题1：今天是周三，66天后的那一天是周几？你是如何推算的？提示：66天后的那一天是周六，因为每隔七天，周一到周日依次循环，而66793，所以66天后的那一天是周六问题2：在三角函数中：(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(xk2)sin x(kZ)(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(xk2)cos x(kZ)上述两个结论说明正弦函数和余弦函数有什么共同性质？提示：正弦函数和余弦函数都具有周期性1周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数
2、的周期2最小正周期(1)定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2.(3)正切函数ytan x也是周期函数，并且最小正周期是.问题：由周期函数的定义可知ysin x，ysin 2x，ysin 3x，ysin，ysin的周期分别为2，4，6.你能猜出ysin 4x，ysinx的周期吗？那么ysin x(0)的周期又是什么？提示：ysin 4x，ysinx的周期分别为，8；ysin x(0)的周期为.(1)若函数yf(x)的周期为T，
3、则函数yAf(x)的周期为(其中A，为常数，且A0，0)(2)函数yAsin(x)及yAcos(x)(其中A，为常数，且A0，0)的周期T.1对周期函数与周期定义中的“对定义域内的任意一个x”，要特别注意“任意一个”的要求，如果只是对某些x有f(xT)f(x)成立，那么T就不是函数f(x)的周期例如：sinsin，但是sinsin，也就是说，不能对x在定义域内的每一个值都有sinsin x成立，因此不是函数ysin x的周期2从等式f(xT)f(x)(T0)来看，应强调的是与自变量x相加的常数才是周期，如f(2xT)f(2x)，T不是最小正周期，而应写成ff(2x)，则是f(x)的最小正周期3
4、若f(x)是周期函数，则其图象平移周期的整数倍后，一定与原图象完全重合，即周期函数的周期不唯一 例1求下列函数的最小正周期(1)f(x)2sin；(2)f(x)2cos；(3)f(x)sin；(4)f(x)2cos(a0)思路点拨直接利用周期公式求解精解详析(1)T6，最小正周期为6.(2)T，最小正周期为.(3)T4，最小正周期为4.(4)T，最小正周期为.一点通利用公式求yAsin(x)或yAcos(x)的最小正周期时，要注意的正负，公式可记为T；函数yAtan(x)的最小正周期为T.1函数f(x)sin的最小正周期为_解析：T4.答案：42函数f(x)tan的最小正周期为_解析：T.答案
5、：3若f(x)5sin的最小正周期为，求k.解：由T.|k|10，k10. 例2若f(x)是以为周期的奇函数，且f1，求f.思路点拨利用奇偶性、周期性将转化可求精解详析fffffff1.一点通函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解4设f(x)是定义在R上的以4为周期的奇函数，且f(1)1，则f(2 015)_.解析：f(x)的周期为4，f(x)为奇函数，且f(1)1.f(2 015)f(45041)f(1)f(1)(1)1.答案：15若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)_
6、.解析：由于f(x)的周期为5，所以f(3)f(4)f(2)f(1)又f(x)为R上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1)211.答案：16已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，求f(7)的值解：f(x4)f(x)，f(x)是周期为4的函数，f(7)f(241)f(1)，又f(x)在R上是奇函数，f(x)f(x)，f(1)f(1)，而当x(0,2)时，f(x)2x2，f(1)2122，f(7)f(1)f(1)2.1求三角函数的周期的常用方法正弦函数和余弦函数的周期性实质是由终边相同的角所具有的周期性决定的求三角函数的周期的常用方法有：(1)
7、公式法：对形如函数yAsin(x)及yAcos(x)(A，为常数，A0，0)的周期直接用公式T求解；(2)定义法：用周期函数的定义求解；(3)图象法：周期函数的图象总是周而复始地重复同一个形状，因而观察图象是不是周期性的循环也是判断周期性的常用方法2周期函数的一些常见结论由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)f(ax)(a0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：(1)若函数f(x)满足f(x)f(ax)，则T2a；(2)若f(xa)(f(x)0)恒成立，则T2a；(3)若f(xa)(f(x)1)，则T2a.课下能力提升(七)一、填空题1函数ysin的最小正周期为_解析：T.答案：2函数y
8、tan的最小正周期为_解析：T.答案：3函数ycos(k0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是_解析：T2，k4，kmin13.答案：134已知函数f(x)sin1，则下列命题正确的是_f(x)是周期为1的函数f(x)是周期为2的函数f(x)是周期为的函数f(x)是周期为的函数解析：f(x)sin1cos x1，f(x)的周期为2.答案：5已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为_解析：f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.又f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数，f(6)f(2)由f(2)f(0)0，得f(6)0
9、.答案：0二、解答题6求下列函数的最小正周期(1)f(x)2sin；(2)f(x)3cos(m0)解：(1)T12，即函数f(x)2sin的最小正周期为12.(2)T，即函数f(x)3cos(m0)的最小正周期为.7已知函数f(n)sin(nZ)，求f(1)f(2)f(3)f(102)解：由诱导公式知sinsinsin，f(n12)f(n)，且f(1)f(2)f(3)f(12)0,1021286，f(1)f(2)f(3)f(102)f(1)f(2)f(3)f(6)sinsinsin2.8若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：(1)
10、单摆运动的周期是多少？(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？(3)当t11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动(3)110.20.427，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm. 第2课时三角函数的图象与性质问题1：作函数图象的基本步骤是什么？提示：列表、描点、连线问题2：正弦函数值与正弦线有关系吗？提示：有关系，正弦函数值可以用正弦线表示问题3：若在直角坐标系的x轴上取一点O1
11、，以O1为圆心，单位长为半径作圆，从O1与x轴的交点A起，把O1分成12等份，过O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于0，2等角的正弦线相应地，再把x轴上从0到2这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，如图，所得函数图象是什么图象？提示：函数ysin x，x0,2的图象问题4：由此你能作出ysin x，xR的图象吗？提示：能因sin(x2k)sin x(kZ)，这样只要将函数ysin x，x0,2的图象向左、向右平行移动(每次平移2个单位长度)，可得ysin x，xR的图象1正弦曲线正弦函数的图象叫做正弦曲线如图：2正弦
12、曲线的作法(1)几何法借助三角函数线；(2)描点法五点法用“五点法”画正弦曲线在0,2上的图象时所取的五个关键点为(0,0)，(，0)，(2，0)由于cos xsin，xR.想一想，你能通过ysin x，xR的图象变换得到ycos x，xR的图象吗？提示：能只要把ysin x，xR的图象向左平移个单位即可1余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线如图所示：2余弦曲线的画法(1)要得到ycos x的图象，只需把ysin x的图象向左平移个单位长度便可，这是由于cos xsin(x)(2)用“五点法”画出余弦曲线ycos x在0,2上的图象时所取的五个关键点分别为：(0,1)，(，1)，(2，1)1正弦
13、曲线、余弦曲线的作法(1)正弦、余弦函数图象的几何作法作图时，函数自变量要用弧度制这样自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，作出图象正规、准确，但较繁琐(2)五点法：在要求不太高的情况下，可用五点法作出，对ysin x取(0,0)、(，0)、(2，0)；对ycos x取(0,1)、(，1)、(2，1)然后用平滑曲线将它们连接起来，就得到0,2内的简图2正弦曲线、余弦曲线的对称性正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k，0)(kZ)，正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是xk(kZ)余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kZ)，余弦曲线也是轴对称图形，
14、其所有的对称轴方程是xk(kZ) 例1用“五点法”作出下列函数的简图：(1)ysin x；(2)ysin.思路点拨取五个关键点利用列表、描点、连线的作法即可画出简图精解详析(1)列表：x02sin x01010sin x01010描点画图，然后由周期性得整个图象，如图所示：(2)列表：xx02ysin01010描点、连线得ysin(x)在一个周期内的图象，然后由周期性得整个图象，如图所示：一点通画函数的图象一般先根据函数的解析式判断函数的特点，再采用列表描点的方法进行画图根据与其有关的已知曲线的特点列出关键的五个点，再描点连线即可用“五点法”作图要注意画出一个周期的图象后，再利用周期性作平移才
15、能得到整个函数图象1作出函数y|sin x|的图象解：由y|sin x|，得y(kZ)其图象如图所示，2作出函数ysin|x|的图象解：ysin|x|其图象如图所示，3用“五点法”作函数y1cos x(0x2)的简图解：列表：x02cos x101011cos x01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示： 例2求方程sin x在区间，内的解的个数思路点拨利用数形结合，画出两个函数ysin x和y在， 内的图象，两图象交点的个数即为方程解的个数精解详析根据条件只需在同一直角坐标系中画出ysin x与y在区间，上的图象如图，根据图象可知，两个函数图象有4个交点，即方程有4个实根一点通本题如果
16、没有范围限制就还需要继续补充图象，由正弦函数图象的无限延续及反比例函数无限接近于x轴与y轴的特点可知，方程应有无数个解不管有没有范围限制，我们在解决这一类问题时都不可能画出全部图象，而是画出一部分图象，根据图象的趋势判断解的个数4求方程x2cos x的实数解的个数解：作函数ycos x与yx2 的图象如图所示，由图象可知原方程有两个实数解5判断方程cos x0的根的个数解：设f(x)，g(x)cos x，在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示由图象可知，f(x)与g(x)的图象有三个交点，故方程cos x0有三个根. 例3利用正弦曲线，求满足sin x的x的集合思路点拨作出正
17、弦函数ysin x在一个周期内的图象，然后借助图象求解精解详析首先作出ysin x在0,2上的图象，如图所示，作直线y，根据特殊角的正弦值，可知该直线与ysin x，x0,2的交点横坐标为和；作直线y，该直线与ysin x，x0,2的交点横坐标为和.观察图象可知，在0,2上，当x，或x时，不等式sin x成立所以sin x的解集为.一点通利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为：(1)画出正弦函数ysin x或余弦函数ycos x在0,2上的图象；(2)写出适合不等式的在区间0,2上的解集；(3)把此解集推广到整个定义域上去6求满足cos x的x集合解：作出余弦函数ycos x，x0,2
18、的图象，如图由图形可以得到，满足条件的x的集合为(kZ)7求满足sin的x的范围解：令zx，sin z，在同一直角坐标系中作出ysin z，z与直线y的图象，如图所示，然后观察图象可知，在内适合sin z的z，故当z，kZ，即2kx2k，kZ时，sin成立2kx2k，kZ.即满足sin的x的范围为x，kZ.1“五点法”作图(1)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分(即取五个点)，分别找到函数图象的最高点、最低点及“平衡点”这五个点大致确定了函数图象的位置与形状，因此可以画出函数的简图(2)由于“五点法”作图时，精确度较差，因此画图之前要做到心中有图，
19、明确正弦曲线的变化趋势和规律正弦函数的图象是“波浪状”，在连线时一定要注意这一点，不要画成“折线”2利用三角函数图象解简单的三角不等式利用正弦函数的图象解sin xa的方法(1)作出直线ya和正弦函数ysin x的图象；(2)在一个周期内确定sin xa的x值；(3)确定sin xa的解集课下能力提升(八)一、填空题1已知sinxm1且xR，则m的取值范围是_解析：由ysin x，xR的图象知，1sin x1，即1m11，所以0m2.答案：0m22函数y的定义域是_解析：由题意可得，即0sin x1，由正弦函数图象可得x|2kx(2k1)，kZ答案：x|2kx(2k1)，kZ3方程sin xl
20、g x的解有_个解析：如图所示，ysin x与ylg x的图象有3个交点，故方程有3个解答案：34已知ycos x(0x2)的图象和直线y1围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积为_解析：S222.答案：25若cos x，则x的取值范围为_解析：当cos x时，x2k或x2k，kZ.借助余弦曲线可知，x的取值范围为.答案：二、解答题6用五点法在同一坐标系中作出下列函数一个周期上的简图：(1)ysin x；(2)y2sin x；(3)y2sin.解：(1)(2)五点选取列表如下，图象如下图：x02ysin x01010y2sin x02020(3)五点选取列表如下，图象如下图：x023402y2
21、sin020207设sin cos ，0,2，借助正弦曲线和余弦曲线求的取值范围解：作出正弦函数ysin x和余弦函数ycos x在一个周期0,2上的图象如图所示，由图象可知：满足不等式sin cos 的的范围是.8函数f(x)sin x2|sin x|，x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围解：f(x)sin x2|sin x|如下图，则k的取值范围是(1,3)第3课时正、余弦函数的图象与性质观察分析正弦函数图象如图问题1：你能说出正弦函数ysin x的定义域、值域、周期性及奇偶性吗？提示：能定义域为R，值域为1,1，最小正周期为2，是奇函数问题2：你能写出正弦函数y
22、sin x，xR的单调区间吗？提示：能在(kZ)上为增函数，在(kZ)上为减函数正、余弦函数的性质函数名称图象与性质性质分类ysin xycos x图象相同处定义域RR值域1,11,1周期性22不同处奇偶性奇函数偶函数单调性在(kZ)上递增；在(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin11正弦函数在(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个区间(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1；类似地，余弦函数在区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增
23、大到1；在每一个区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.2正弦函数在区间上是增函数，但不能说正弦函数在第一象限内是增函数例如x12，x2，都是第一象限角，而sin x1，sin x2，从而有x1x2，sin x10)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答，列不等式的原则是：把“x”视为一个“整体”(若0，可利用三角函数的诱导公式化x系数为正)；根据A的符号选取ysin x的单调区间1函数ycos的单调递减区间是_解析：2k2x2k，2k2x2k，kxk，kZ.即递减区间是(kZ)答案：(kZ)2求函数y2sin的单调递增区间解：y2sin2sin，令zx，则y2sin z
24、.要求y2sin z的单调递增区间，即求ysin z的单调递减区间即2kz2k(kZ)2kx2k(kZ)，即2kx2k(kZ)，函数y2sin的递增区间为(kZ). 例2比较下列各组三角函数值的大小：(1)sin 250与sin 260；(2)cos与cos；(3)sin 11，cos 10，sin 168.思路点拨(1)250和260在函数ysin x的单调递减区间，内，可比较大小；(2)利用诱导公式将已知角转化为ycos x同一单调区间内，然后比较大小；(3)先转化为同名三角函数再比较大小精解详析(1)函数ysin x在上单调递减，且90250260sin 260.(2)coscoscos
25、，coscoscos.函数ycos x在0，上单调递减，且0cos，coscos.(3)sin 168sin(18012)sin 12，cos 10sin(9010)sin 80.又因为ysin x在x0，上是增函数，所以sin 11sin 12sin 80，即sin 11sin 168cos 10.一点通比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较3比较下列各组数的大小(1)sin 2016和cos 160；(2)sin和cos.解：(1)sin 2 016sin(3605216)sin 216sin
26、(18036)sin 36.cos 160cos(18020)cos 20sin 70.sin 36sin 70，sin 36sin 70，即sin 2 016cos 160.(2)cossin，又sincos，即sincos.4若ABC是锐角三角形，试比较sin A与cos B的大小解：因为ABC是锐角三角形，ABC，且0C，所以0BA，所以sinsin A，即cos Bsin A.5比较sin和sin的大小解：cossin，0cossin1.而ysin x在内递增，sinsin. 例3求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x取值集合(1)y ；(2)y32sin；(3)y2cos2
27、x5sin x4.思路点拨解答本题中的(1)可先根据sin x的范围，求出1sin x的范围解答本题中的(2)可由2xR，得到sin的范围解答本题中的(3)可先减少函数名，即利用sin2xcos2x1消去cos2x便可转化成关于sin x的二次函数问题精解详析(1)1sin x1.当sin x1时，ymax，此时x的取值集合为；当sin x1时，ymin，此时x的取值集合为.(2)1sin1，当sin1时，ymax5，此时2x2k(kZ)，即xk(kZ)，故x的取值集合为.当sin1时，ymin1，此时2x2k(kZ)，即xk，故x的取值集合为.(3)y2cos2x5sin x42sin2x5
28、sin x222.sin x1,1，当sin x1，即x2k(kZ)时，y有最小值9，此时x的取值集合为；当sin x1，即x2k(kZ)时，y有最大值1，此时x的取值集合为.一点通(1)求有关yAsin(x)b，xR的最值或值域这类题目的关键在于充分利用好正弦函数ysin x的有界性，即|sin x|1.(2)形如ypsin2xqsin xr(p0)形式的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间m，n上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题6函数y2cos的最小值是_解析：由x，得x，所以y2c
29、os(x)在x时有最大值2，在x时有最小值1.答案：17求函数ycos2x4cos x5的值域解：ycos2x4cos x5(cos x2)21.1cos x1，当cos x1时，y取最大值(12)2110；当cos x1时，y取最小值(12)212.函数ycos2x4cos x5的值域为2,108已知函数f(x)2asinb的定义域为，函数的最大值为1，最小值为5，求a和b的值解：0x，2x.sin1.若a0，则解得若a0，则解得综上知或1正、余弦函数的单调性(1)求yAsin(x)的单调区间时，首先把x的系数化为正数，再利用整体代换，即把x代入相应不等式中，求解相应的变量x的范围(2)求复
30、合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性2正、余弦函数的最值(或值域)问题求含有正、余弦函数的式子的最值，常见的方法有：(1)可化为yAsin(x)B或yAcos(x)B(A0)的形式，利用三角函数的性质求最值；(2)转化成关于某一三角函数的二次函数的形式，即yAsin2xBsin xC，或yAcos2xBcos xC，利用配方法求解课下能力提升(九)一、填空题1函数ysin x，x的值域是_解析：函数ysin x，x，在区间上单调递增，在上单调递减，ymaxsin1，yminsin.该函数的值域为.答案：2函数ycos x在区间，a上为增函数，则a的取值范围是_解
31、析：ycosx在，0上为增函数，在0，上为减函数，所以a(，0答案：(，03将cos 150，sin 470，cos 760按从小到大的顺序排列为_解析：cos 1500，sin 470sin 110cos 200，cos 760cos 400，且cos 20cos 40，故cos 150cos 760sin 470.答案：cos 150cos 760sin 4704若f(x)2sin x(01)在区间上的最大值是，则_.解析：由题意知0x时，0，f(x)max2sin，sin，.答案：5若函数f(x)sin (0,2)是偶函数，则_.解析：f(x)为偶函数，k(kZ)，3k(kZ)又0,2，
32、.答案：二、解答题6求函数ysin的单调区间解：ysinsin(2x)因为2x是关于x的增函数，所以只需要考虑ysin关于2x的单调性即可当2k2x2k(kZ)时，ysin(2x)为增函数，ysin为减函数，解得kxk(kZ)，即函数ysin的单调减区间为(kZ)；同理，令2k2x2k(kZ)，求得函数ysin(2x)的单调增区间为(kZ)7求下列函数的值域：(1)y2sin；(2)y6sin xcos2x.解：(1)x，02x，0sin1，y0,2即函数y2sin的值域为0,2(2)y6sin xcos2xsin2xsin x521sin x1，y.即函数y6sin xcos2x的值域为.8
33、已知是正数，函数f(x)2sin x在区间上是增函数，求的取值范围解：由2kx2k(kZ)得x(kZ)f(x)的单调递增区间是(kZ)据题意：(kZ)从而有解得00；(2)|tan x|1.思路点拨画出正切函数在内的图象，结合图象求解集精解详析(1)设ytan x，则它在内的图象如图所示：由图可知满足不等式tan x0的解集为x|kx的x的取值范围是_解析：画出函数y|tan x|的图象可知kxk或kxk，kZ.答案：(kZ) 例2求函数ytan的定义域、值域，并指出它的单调区间思路点拨利用换元法，把3x看做一个整体来求其单调区间精解详析令3xk(kZ)，得x(kZ)，函数的定义域为，值域为R
34、.令k3xk(kZ)，得x(kZ)函数的单调递增区间为(kZ)一点通正切函数在每一个单调区间内都是增函数，不存在减区间因此在求单调区间时，若0，应先由诱导公式把x的系数化成正值，再用换元法整体代换，最后求出x的范围即可3函数y的定义域是_解析：要使函数y有意义，则即xk，且xk，kZ.答案：4ytan 满足下列哪些条件_(填序号)在上单调递增；为奇函数；以为最小正周期；定义域为.解析：令x，则，所以ytan 在上单调递增正确；tantan ，故ytan 为奇函数；T2，所以不正确；由k，kZ得，x2k，kZ，所以不正确答案：5求函数ytan的单调减区间解：ytantan，只需求函数ytan的单调增区间，即为原函数的单调减区间令，