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1、第二课时组合的应用有限制条件的组合问题例1课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选思路点拨特殊元素特殊对待，特殊位置优先安排精解详析(1)1名女生，4名男生，故共有CC350种(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC165种(3)至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法CCCC825种，或采用间接法共有CC825种一点通解答组合应用题的总体思路：(1)整体分类：从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏
2、”，任意两类的交集等于空集，即“不重”，计算结果时使用分类计数原理(2)局部分步：整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立1从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有_种解析：法一：选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，共有CCCC215636(种)选法；法二：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，共有CC562036(种)选法答案：362有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有_种解析：从中选出2名男医生的选法有C15种，从中选出1名女医生的选法有C5
3、种，所以不同的选法共有15575种答案：753设集合I1,2,3,4,5选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有多少种？解：从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是2，故此时有10220种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是3，故此时有5315种选择方法；从5
4、个元素中选出5个元素，有C1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有144种选择方法根据分类计数原理，总计为102015449种选择方法几何问题中的组合问题例2平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线(1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？思路点拨解答本题可用直接法或间接法进行精解详析法一：(直接法)(1)可确定直线CCCC31条(2)可确定三角形CCCCC80个(3)可确定四边形CCCCC105个法二：(间接法)(1)可确定直线CC131条(2)可确定三角形CC80个(3)可确定四边形CCCC
5、105个一点通解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数4正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有_个解析：C332.答案：325平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成_个平行四边形解析：第一步，从m条中任选2条，C；第二步，从n条中任选2条C.由分步计数原理，得CC.答案：CC6已知平面，在内有4个点，在内有6个点(1)过这10个点中的任意3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这
6、些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解：(1)所作出的平面有三类：内1点，内2点确定的平面，有CC个；内2点，内1点确定的平面，有CC个；，本身所以所作的不同平面最多有CCCC298(个)(2)所作的三棱锥有三类：内1点，内3点确定的三棱锥，有CC个；内2点，内2点确定的三棱锥，有CC个；内3点，内1点确定的三棱锥，有CC个所以最多可作出的三棱锥有CCCCCC194(个)(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，又平面，所以体积不相同的三棱锥最多有CCCC114(个)解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)(1)
7、用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键对应课时跟踪训练(六)一、填空题1某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有_种解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：第1步，选女工，有C种选法；第2步，选男工，有C种选法故有CC32163种不同选法答
8、案：632上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为_解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有CC种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有CCC16(种)答案：163圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有_个解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最多有C4 845个答案：4 8454如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成
9、，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有_种解析：先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有CCCC321212种不同的涂法答案：12520个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为_解析：先在编号为2,3的盒内放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C120种方法答案：120二、解答题6一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球(1)共有多少
10、种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C126(种)(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C种取法所以，共有CC70种取法7某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C816种(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有C8 568(种)(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有CC种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法故共有CCC6 936种选法8甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C种选法根据分步计数原理可得不同的承包方式有CCCC1 680(种)