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1、1 / 16 经济数学基础第一部分微分学一、单项选择题1函数1lg xxy的定义域是（1x且0 x）2若函数)(xf的定义域是 0 ，1 ，则函数)2(xf的定义域是 ( 0,() 3下列各函数对中，（xxxf22cossin)(，1)(xg）中的两个函数相等4设11)(xxf，则)(xff=（x11）5下列函数中为奇函数的是（11lnxxy）6下列函数中，（) 1ln( xy不是基本初等函数7下列结论中，（奇函数的图形关于坐标原点对称）是正确的8. 当x0时，下列变量中（xx21）是无穷大量9. 已知1tan)(xxxf，当（x0）时，)(xf为无穷小量 . 10函数sin,0( ),0 x
2、xf xxkx在x = 0处连续，则k = ( 1)11. 函数0, 10, 1)(xxxf在x = 0处（右连续）12曲线11xy在点（ 0, 1 ）处的切线斜率为（21）13. 曲线xysin在点 (0, 0)处的切线方程为（y = x）14若函数xxf)1(，则)(xf=（21x）15若xxxfcos)(，则)(xf（xxxcossin2）16下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（e x）17下列结论正确的有（x0是f (x) 的极值点）18. 设需求量q对价格p的函数为ppq23)(，则需求弹性为Ep=（pp32）二、填空题1函数20, 105,2)(2xxxxxf的定义域是 -5
3、，2 2函数xxxf21)5ln()(的定义域是 (-5, 2 ) 3若函数52)1(2xxxf，则)(xf62x4设函数1)(2uuf，xxu1)(，则)2(uf435设21010)(xxxf，则函数的图形关于y轴对称6已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50 时，该产品的平均成本为3.6 7已知某商品的需求函数为q = 180 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q 0.25q 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页2 / 16 8.xxxxsin
4、lim1.9已知xxxfsin1)(，当0 x时，)(xf为无穷小量10. 已知1111)(2xaxxxxf，若fx( )在),(内连续，则a2.11. 函数1( )1exf x的间断点是0 x12函数)2)(1(1)(xxxf的连续区间是)1,(，)2, 1(，),2(13曲线yx在点)1, 1 (处的切线斜率是(1)0.5y14函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +)15已知xxf2ln)(，则 )2( f= 0 16函数yx312()的驻点是x117需求量q对价格p的函数为2e100)(ppq，则需求弹性为Ep2p18已知需求函数为pq32320，其中p为价格，则需求弹性E
5、p =10pp三、极限与微分计算题1解423lim222xxxx=)2)(2()1)(2(lim2xxxxx = )2(1lim2xxx= 412解：231lim21xxxx=) 1)(2)(1(1lim1xxxxx =21) 1)(2(1lim1xxx3解0sin 2lim11xxx=0(11)sin2lim(1 1)(1 1)xxxxx=xxxxx2sinlim) 11(lim00=22 = 4 4解2343limsin(3)xxxx=3(3)(1)limsin(3)xxxx= 333limlim(1)sin(3)xxxxx= 2 5解)1)(2()1tan(lim2)1tan(lim12
6、1xxxxxxxx1)1tan(lim21lim11xxxxx311316解) 32)(1()23()21(lim625xxxxxx=)32)(11 ()213()21(lim625xxxxxx =2323)2(65精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页3 / 16 7解：y(x)=)cos2(xxx=2cossin2ln2xxxxx=2cossin2ln2xxxxx8解xxxxfxx1cos2sin2ln2)(9解因为5ln5sin2)cos2(5ln5)5(cos2cos2cos2xxxxxy所以5ln25ln52
7、sin2)2(2cos2y10解因为)(ln)(ln3231xxy331ln32)(ln32xxxx所以xxxydln32d311解因为)(coscos5)(sine4sinxxxyxxxxxsincos5cose4sin所以xxxxyxd)sincos5cose(d4sin12解因为)(2ln2)(cos1332xxxyx2ln2cos3322xxx所以xxxyxd)2ln2cos3(d32213解)(cos)2(2sin)(22xxxyxx2cos22ln2sin2xxxx14解：)5(e)(lnln3)(52xxxxyxxxx525eln315解在方程等号两边对x求导，得)e()e( )
8、1ln(2xyxy0)(e1)1ln(yxyxyxyxyxyxyyxyyxxe1e)1ln(故e)1)ln(1 (e)1(xyxyxxxyxyy16解对方程两边同时求导，得0eecosyxyyyyyyyxye)e(cos)(xy=yyxyecose.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页4 / 16 17解：方程两边对x求导，得yxyyyeeyyxye1e当0 x时，1y所以，0ddxxyee01e1118解在方程等号两边对x求导，得)()e( )cos(xyxy1e1)sin(yyyxy)sin(1)sin(eyxy
9、yxy)sin(e)sin(1yxyxyy故xyxyxyyd)sin(e)sin(1d四、应用题1设生产某种产品x个单位时的成本函数为：xxxC625.0100)(2（万元） , 求：（ 1）当10 x时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小？1解（ 1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：xxxC625.0100)(2625.0100)(xxxC，65 .0)(xxC所以，1851061025.0100)10(2C5.1861025.010100)10(C，116105 .0)10(C（2）令025.0100)(2xxC，得20 x（20 x舍去）因为20 x是
10、其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x20 时，平均成本最小. 2某厂生产一批产品，其固定成本为2000 元，每生产一吨产品的成本为60 元，对这种产品的市场需求规律为qp100010（q为需求量，p为价格）2解（ 1）成本函数C q()= 60q+2000因为qp100010，即pq100110，所以收入函数R q( )=pq=(100110q)q=1001102qq（2）因为利润函数Lq()=R q( )-C q() =1001102qq-(60q+2000) = 40q-1102q-2000 且Lq()=(40q-1102q-2000)=40- 0.2q精选学习资料 -
11、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页5 / 16 令Lq()= 0 ，即 40- 0.2q= 0 ，得q= 200 ，它是Lq()在其定义域内的唯一驻点所以，q= 200 是利润函数L q()的最大值点，即当产量为200 吨时利润最大3设某工厂生产某产品的固定成本为50000 元，每生产一个单位产品，成本增加100 元又已知需求函数pq42000，其中p为价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？3解（ 1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4
12、p) =250000-400pR(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000 ，且令)(pL=2400 8p = 0 得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300 元时，利润最大. （2）最大利润1100025000030043002400)300(2L（元）4某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元 / 件），试求：（ 1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？4解（1）
13、由已知201.014)01.014(qqqqqpR利润函数22202.0201001.042001.014qqqqqqCRL则qL04.010，令004.010qL，解出唯一驻点250q. 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250 件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002. 02025010)250(2L（元）5某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365. 0)(2qqqC（元） . 为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？5. 解因为C q( )=C qq( )=0 5369800. qq（q0）C q( )=(.)0
14、 5369800qq=0 598002.q令C q( )=0，即0 598002.q=0，得q1=140，q2= -140 （舍去） . q1=140 是C q( )在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q1=140 是平均成本函数C q( )的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140 件. 此时的平均成本为C()140=0 5140369800140.=176 （元 / 件）6已知某厂生产q件产品的成本为C qqq( )25020102（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？6解（ 1）因为C q( )=C qq( )=2502010qqC q( )=()25
15、02010qq=2501102q令C q( )=0，即25011002q，得q1=50，q2=-50 （舍去），q1=50 是C q( )在其定义域内的唯一驻点所以，q1=50 是C q( )的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50 件产品第二部分积分学一、单项选择题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页6 / 16 1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4 ）的曲线为（y = x2 + 3 ）2. 若10d)2(xkx= 2，则k = （1）3下列等式不成立的是（)1d(dlnxxx）4若cxxfx2ed
16、)(，则)(xf=（2e41x）. 5.)d(exx（cxxxee）6. 若cxxfxx11ede)(，则f (x) = （21x）7. 若)(xF是)(xf的一个原函数，则下列等式成立的是()()(d)(aFxFxxfxa) 8下列定积分中积分值为0 的是（xxxd2ee11）9下列无穷积分中收敛的是（12d1xx）10设R(q)=100-4q，若销售量由10 单位减少到5 单位，则收入R的改变量是（ 350）11下列微分方程中，（xxyyye2）是线性微分方程12微分方程0)()(432xyyyy的阶是（ 1）. 二、填空题1xxded2xxde22函数xxf2sin)(的原函数是 -21
17、cos2x + c (c是任意常数 ) 3若cxxxf2)1(d)(，则)(xf)1(2 x4若cxFxxf)(d)(，则xfxx)de(e=cFx)e(5e12dx)1ln(ddxx061122d)1(xxx0 7无穷积分02d)1(1xx是收敛的（判别其敛散性）8设边际收入函数为R(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + q239.0e)(23yyx是 2 阶微分方程 .10微分方程2xy的通解是cxy33三、计算题 解cxxxxxx1cos)1(d1sind1sin22解cxxxxxx22ln2)(d22d23解cxxxxxxxxxxsincosdcosco
18、sdsin4解xxxd1)ln(=xxxxxd1)(21ln1)(2122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页7 / 16 =cxxxxx4)ln2(21225解xxxd)e1(e3ln02=3ln02)ed(1)e1(xx= 3ln03)e1(31x=3566解)(lnd2ln2)2(dlndlne1e1e1e1xxxxxxxxxe1e14e2d2e2xxxe24d2e2e1xx7解xxxdln112e1=)lnd(1ln112e1xx=2e1ln12x=) 13(28解xxxd2cos20=202sin21xx-
19、xxd2sin2120=202cos41x=219解法一xxxxxxxd1)1ln(d)1ln(1e01e01e0 =xxd )111 (1e1e0=1e0)1ln(1exxeln=1 解法二令1xu，则uuuuuuuxxd1lndlnd )1ln(e1e1e11e0=11eeee1u10解因为xxP1)(，1)(2xxQ用公式d1)e(ed12d1cxxyxxxxd1)e(eln2lncxxxxxcxxcxxx24241324由4712141)1(3cy， 得1c所以，特解为xxxy124311解将方程分离变量：xyyxydede32等式两端积分得cxy3e31e212将初始条件3) 1(y
20、代入，得c33e31e21，c =3e61所以，特解为：33ee2e32xy12解：方程两端乘以x1，得xxxyxyln2即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页8 / 16 xxxyln)(两边求积分，得cxxxxxxxy2ln)(lndlndln2通解为：cxxxy2ln2由11xy，得1c所以，满足初始条件的特解为：xxxy2ln213解将原方程分离变量xxyyydcotlnd两端积分得 lnlny = lnC sinx通解为y = eC sinx14. 解将原方程化为：xyxyln11，它是一阶线性微分方程，x
21、xP1)(，xxQln1)(用公式( )d( )de( )edP xxP xxyQ xxcdeln1ed1d1cxxxxxxdeln1elnlncxxxxdln1cxxxx)ln(lncxx15解 在微分方程yxy2中，xxQxP2)(,1)(由通解公式)de2(e)de2(eddcxxcxxyxxxx)e2e2(e)de2e2(ecxcxxxxxxxx)e22(xcx16解：因为xxP1)(，xxQsin)(，由通解公式得)desin(ed1d1cxxyxxxx =)desin(elnlncxxxx =)dsin(1cxxxx =)sincos(1cxxxx四、应用题1投产某产品的固定成本为
22、36( 万元 )，且边际成本为)(xC=2x + 40( 万元 / 百台 ). 试求产量由4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.1解当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为64d)402(xxC=642)40(xx= 100 （万元）又xcxxCxCx00d)()(=xxx36402 =xx3640令0361)(2xxC， 解得6x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页9 / 16 x = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6 百台
23、时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本C(x)=2 （元 / 件），固定成本为0，边际收益R(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？2解因为边际利润)()()(xCxRxL=12-0.02x2 = 10-0.02x令)(xL= 0 ，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500 件时，利润最大. 当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d)02.010(xxxxL =500 - 525 = - 25 （元）即利润将
24、减少25 元. 3生产某产品的边际成本为C(x)=8x( 万元 / 百台 ) ，边际收入为R(x)=100-2x（万元 / 百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2 百台，利润有什么变化？3. 解L(x) =R(x) -C(x) = (100 2x) 8x =100 10 x令L(x)=0, 得x = 10 （百台）又x = 10是L(x) 的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10 是L(x) 的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又xxxxLLd)10100(d)(1210121020)5100(12102xx即从利润最大时的产量再生产2
25、 百台，利润将减少20 万元. 4已知某产品的边际成本为34)(xxC( 万元 / 百台 ) ，x为产量 ( 百台 ) ，固定成本为18(万元 ) ，求最低平均成本. 4解：因为总成本函数为xxxCd)34()(=cxx322当x= 0 时，C(0)= 18，得c =18 即C(x)=18322xx又平均成本函数为xxxxCxA1832)()(令0182)(2xxA， 解得x = 3(百台 ) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(A( 万元 / 百台 ) 5设生产某产品的总成本函数为xxC3)( 万元 )，其中x为产量，单位
26、：百吨销售x百吨时的边际收入为xxR215)(（万元 / 百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？5解： (1) 因为边际成本为1)(xC，边际利润)()()(xCxRxL = 14 2x令0)(xL，得x= 7 由该题实际意义可知，x= 7 为利润函数L(x) 的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7 百吨时利润最大. (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为87287)14(d)214(xxxxL =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1 万元 . 第三部分线性代数一、单项选
27、择题1设A为23矩阵，B为32矩阵，则下列运算中（AB）可以进行 . 2设BA,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（T111T)()(BAAB3设BA ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（秩)(BA秩)(A秩）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页10 / 16 4设BA ,均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（IA1）5设A是可逆矩阵，且AABI，则A1（IB）. 6设)21(A，)31(B，I是单位矩阵，则IBAT（5232）7设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（AB = AC，A可逆，则B
28、 = C）成立 . 8设A是n阶可逆矩阵，k是不为 0 的常数，则()kA1（11kA）9设314231003021A，则r(A) = （2）10设线性方程组bAX的增广矩阵通过初等行变换化为00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ 1）11线性方程组012121xxxx解的情况是（无解）12若线性方程组的增广矩阵为01221A，则当（12）时线性方程组无解13 线性方程组AX0只有零解，则AXb b()0（可能无解） .14设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4 ，r(A) = 3 ，则该线性方程组（无解）15设线性方程组bAX有唯一解
29、，则相应的齐次方程组OAX（只有零解）二、填空题1两个矩阵BA,既可相加又可相乘的充分必要条件是A与B是同阶矩阵2计算矩阵乘积10211000321=4 3若矩阵A = 21，B = 132，则ATB=2641324设A为mn矩阵，B为st矩阵，若AB与BA都可进行运算，则m n s t,有关系式mt ns,5设13230201aA，当a0 时，A是对称矩阵 . 6当a3时，矩阵aA131可逆7设BA ,为两个已知矩阵，且BI可逆，则方程XBXA的解XABI1)(8设A为n阶可逆矩阵，则r(A)=n9若矩阵A =330204212，则r(A) =2 10若r(A, b) = 4 ，r(A) =
30、 3 ，则线性方程组AX = b无解11若线性方程组002121xxxx有非零解，则-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页11 / 16 12设齐次线性方程组01nnmXA，且秩 (A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于nr 13齐次线性方程组0AX的系数矩阵为000020103211A则此方程组的一般解为4243122xxxxx( 其中43, xx是自由未知量 ) 14线性方程组AXb的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为110000012401021dA则当d1时，方程组AXb有无穷多解 . 15若线
31、性方程组AXb b()0有唯一解，则AX0只有 0 解三、计算题 1设矩阵113421201A，303112B，求BAI)2(T2设矩阵021201A，200010212B，242216C，计算CBAT 3设矩阵A =1121243613，求1A 4 设矩阵A =012411210，求逆矩阵1A5设矩阵A =021201，B =142136，计算 (AB)-16设矩阵A =022011，B =210321，计算 (BA)-1 7解矩阵方程214332X8解矩阵方程02115321X. 9设线性方程组baxxxxxxxx321321312022讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多
32、解. 10设线性方程组052231232132131xxxxxxxx，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页12 / 16 11求下列线性方程组的一般解：03520230243214321431xxxxxxxxxxx 12求下列线性方程组的一般解：126142323252321321321xxxxxxxxx 13设齐次线性方程组0830352023321321321xxxxxxxxx问 取何值时方程组有非零解，并求一般解. 14当取何值时，线性方程组1542131321
33、321xxxxxxxx有解？并求一般解. 15已知线性方程组bAX的增广矩阵经初等行变换化为300000331013611A问取何值时，方程组bAX有解？当方程组有解时，求方程组bAX的一般解 . 三、计算题1解因为T2AI= 1000100012T113421201 =200020002142120311=142100311所以BAI)2(T=142100311303112=11030512解：CBAT=200010212022011242216 =042006242216 =2002103解因为 (AI )=1001120101240013613100112210100701411精选学习
34、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页13 / 16 1302710210100701411172010210100141011210100172010031001210100172010031001所以A-1 =2101720314解因为(AI ) =12000101083021041110001000101241121012312411220001000112300101120021020121123124112100010001所以A-1=211231241125解因为AB =021201142136=1412(ABI
35、 ) =1210011210140112121021210112101102所以 (AB)-1=1221216解因为BA=210321022011=2435 (BAI )=1024111110240135542011112521023101所以(BA)-1=252231精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页14 / 16 7解因为10430132104311112310111123103401即233443321所以，X =212334=128解：因为105301211310012113102501即13255321
36、1所以，X =153210211=13250211= 410389解因为4210222021011201212101baba310011102101ba所以当1a且3b时，方程组无解；当1a时，方程组有唯一解；当1a且3b时，方程组有无穷多解. 10解因为211011101201051223111201A300011101201所以r(A) = 2，r(A) = 3. 又因为r(A)r(A) ，所以方程组无解. 11解因为系数矩阵111011101201351223111201A000011101201所以一般解为4324312xxxxxx（其中3x，4x是自由未知量）12解因为增广矩阵精选学
37、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页15 / 16 1881809490312112614231213252A00001941019101所以一般解为1941913231xxxx（其中3x是自由未知量）13解因为系数矩阵A =61011023183352231500110101所以当 = 5 时，方程组有非零解. 且一般解为3231xxxx（其中3x是自由未知量）14解因为增广矩阵26102610111115014121111A00026101501所以当=0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：26153231xxx
38、x(x3是自由未知量15解：当=3 时，2)()(ArAr，方程组有解 . 当=3 时，000000331010301000000331013611A一般解为432313331xxxxx， 其中3x,4x为自由未知量 . 四、证明题四、证明题1试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA1证因为AT = A，BT = B，(AB)T = AB所以AB = (AB)T = BT AT = BA 2试证：设A是n阶矩阵，若3A= 0 ，则21)(AAIAI2证因为)(2AAIAI =322AAAAAI =3AI= I精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
39、 - - - -第 15 页，共 16 页16 / 16 所以21)(AAIAI3已知矩阵)(21IBA，且AA2，试证B是可逆矩阵，并求1B3. 证因为)2(41)(41222IBBIBA，且AA2，即)(21)2(412IBIBB，得IB2，所以B是可逆矩阵，且BB1. 4. 设n阶矩阵A满足AI2，TAAI，证明A是对称矩阵 . 4. 证因为AIA=TTIAAAA=TA所以A是对称矩阵 . 5设A，B均为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵5证因为BBAATT，且TTT)()()(BAABBAABTTTTBAABABBABAAB所以ABBA是对称矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页