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计量经济学（第四版）
习题参考答案
潘省初
第一章 绪论
1.1 试列出计量经济分析的主要步骤。
一般说来，计量经济分析按照以下步骤进行：
（1）陈述理论（或假说） （2）建立计量经济模型 （3）收集数据
（4）估计参数 （5）假设检验 （6）预测和政策分析
1.2 计量经济模型中为何要包括扰动项?
为了使模型更现实，我们有必要在模型中引进扰动项u来代表所有影响因变量的其它因素，这些因素包括相对而言不重要因而未被引入模型的变量，以及纯粹的随机因素。
1.3什么是时间序列和横截面数据? 试举例说明二者的区别。
时间序列数据
时间序列数据是按时间周期（即按固定的时间间隔）收集的数据，如年度或季度的国民生产总值、就业、货币供给、财政赤字或某人一生中每年的收入都是时间序列的例子。
横截面数据是在同一时点收集的不同个体（如个人、公司、国家等）的数据。如人口普查数据、世界各国2000年国民生产总值、全班学生计量经济学成绩等都是横截面数据的例子。
1.4估计量和估计值有何区别？
估计量是指一个公式或方法，它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。在一项应用中，依据估计量算出的一个具体的数值，称为估计值。如就是一个估计量，。现有一样本，共4个数，100，104，96，130，则根据这个样本的数据运用均值估计量得出的均值估计值为。
第二章 计量经济分析的统计学基础
2.1 略，参考教材。
2.2请用例2.2中的数据求北京男生平均身高的99％置信区间
==1.25
用a=0.05，N-1=15个自由度查表得=2.947，故99%置信限为
=1742.9471.25=1743.684
也就是说，根据样本，我们有99%的把握说，北京男高中生的平均身高在170.316至177.684厘米之间。
2.3 25个雇员的随机样本的平均周薪为130元，试问此样本是否取自一个均值为120元、标准差为10元的正态总体？
原假设
备择假设
检验统计量
查表 因为Z= 5 >,故拒绝原假设, 即
此样本不是取自一个均值为120元、标准差为10元的正态总体。
2.4 某月对零售商店的调查结果表明，市郊食品店的月平均销售额为2500元，在下一个月份中，取出16个这种食品店的一个样本，其月平均销售额为2600元，销售额的标准差为480元。试问能否得出结论，从上次调查以来，平均月销售额已经发生了变化？
原假设 :
备择假设 :
查表得 因为t = 0.83 < , 故接受原假
设,即从上次调查以来，平均月销售额没有发生变化。
第三章 双变量线性回归模型
3.1 判断题（说明对错；如果错误，则予以更正）
（1）OLS法是使残差平方和最小化的估计方法。对
（2）计算OLS估计值无需古典线性回归模型的基本假定。对
（3）若线性回归模型满足假设条件（1）～（4），但扰动项不服从正态分布，则尽管OLS估计量不再是BLUE，但仍为无偏估计量。错
只要线性回归模型满足假设条件（1）～（4），OLS估计量就是BLUE。
（4）最小二乘斜率系数的假设检验所依据的是t分布，要求的抽样分布是正态分布。对
（5）R2＝TSS/ESS。错
R2 =ESS/TSS。
（6）若回归模型中无截距项，则。对
（7）若原假设未被拒绝，则它为真。错。我们可以说的是，手头的数据不允许我们拒绝原假设。
（8）在双变量回归中，的值越大，斜率系数的方差越大。错。因为，只有当保持恒定时，上述说法才正确。
3.2设和分别表示Y对X和X对Y的OLS回归中的斜率，证明
＝
r为X和Y的相关系数。
证明：
3.3证明：
（1）Y的真实值与OLS拟合值有共同的均值，即 ；
（2）OLS残差与拟合值不相关，即 。
（1）
，即Y的真实值和拟合值有共同的均值。
（2）
3.4证明本章中（3.18）和（3.19）两式：
（1）
（2）
（1）
（2）
3.5考虑下列双变量模型：
模型1：
模型2：
（1）b1和a1的OLS估计量相同吗？它们的方差相等吗？
（2）b2和a2的OLS估计量相同吗？它们的方差相等吗？
（1），注意到
由上述结果，可以看到，无论是两个截距的估计量还是它们的方差都不相同。
（2）
这表明，两个斜率的估计量和方差都相同。
3.6有人使用1980－1994年度数据，研究汇率和相对价格的关系，得到如下结果：
其中，Y＝马克对美元的汇率
X＝美、德两国消费者价格指数（CPI）之比，代表两国的相对价格
（1）请解释回归系数的含义；
（2）Xt的系数为负值有经济意义吗？
（3）如果我们重新定义X为德国CPI与美国CPI之比，X的符号会变化吗？为什么？
（1）斜率的值 －4.318表明，在1980－1994期间，相对价格每上升一个单位，（GM/$）汇率下降约4.32个单位。也就是说，美元贬值。截距项6.682的含义是，如果相对价格为0，1美元可兑换6.682马克。当然，这一解释没有经济意义。
（2）斜率系数为负符合经济理论和常识，因为如果美国价格上升快于德国，则美国消费者将倾向于买德国货，这就增大了对马克的需求，导致马克的升值。
（3）在这种情况下，斜率系数被预期为正数，因为，德国CPI相对于美国CPI越高，德国相对的通货膨胀就越高，这将导致美元对马克升值。
3.7随机调查200位男性的身高和体重，并用体重对身高进行回归，结果如下：
其中Weight的单位是磅（lb），Height的单位是厘米（cm）。
（1）当身高分别为177.67cm、164.98cm、187.82cm时，对应的体重的拟合值为多少？
（2）假设在一年中某人身高增高了3.81cm，此人体重增加了多少？
（1）
（2）
3.8设有10名工人的数据如下：
X 10 7 10 5 8 8 6 7 9 10
Y 11 10 12 6 10 7 9 10 11 10
其中 X=劳动工时， Y=产量
（1）试估计Y=α+βX + u（要求列出计算表格）；
（2）提供回归结果（按标准格式）并适当说明；
（3）检验原假设β=1.0。
(1)
序号
Yt
Xt
1
11
10
1.4
2
2.8
4
1.96
100
2
10
7
0.4
-1
-0.4
1
0.16
49
3
12
10
2.4
2
4.8
4
5.76
100
4
6
5
-3.6
-3
10.8
9
12.96
25
5
10
8
0.4
0
0
0
0.16
64
6
7
8
-2.6
0
0
0
6.76
64
7
9
6
-0.6
-2
1.2
4
0.36
36
8
10
7
0.4
-1
-0.4
1
0.16
49
9
11
9
1.4
1
1.4
1
1.96
81
10
10
10
0.4
2
0.8
4
0.16
100
∑
96
80
0
0
21
28
30.4
668
估计方程为:
（2）
回归结果为（括号中数字为t值）：
R2=0.518
(1.73) (2.93)
说明：
Xt的系数符号为正，符合理论预期，0.75表明劳动工时增加一个单位,产量增加0.75个单位,
拟合情况。 R2为0.518，作为横截面数据，拟合情况还可以.
系数的显著性。斜率系数的t值为2.93，表明该系数显著异于0，即Xt对Yt有影响.
(3) 原假设 :
备择假设 :
检验统计量
查t表, ,因为│t│= 0.978 < 2.306 ,
故接受原假设:。
3.9用12对观测值估计出的消费函数为Y=10.0+0.90X，且已知=0.01，=200，=4000，试预测当X=250时Y的值，并求Y的95%置信区间。
对于x0=250 ，点预测值 =10+0.90*250=235.0
的95%置信区间为:
即 234.71 － 235.29。也就是说,我们有95%的把握预测将位于234.71 至235.29 之间.
3.10设有某变量（Y）和变量（X）1995—1999年的数据如下:
X
6
11
17
8
13
Y
1
3
5
2
4
(1) 试用OLS法估计 Yt = α + βXt + ut（要求列出计算表格）；
(2)
(3) 试预测X=10时Y的值，并求Y的95%置信区间。
（1）列表计算如下：
序号
Yt
Xt
1
1
6
-2
-5
10
25
4
36
2
3
11
0
0
0
0
0
121
3
5
17
2
6
12
36
4
289
4
2
8
-1
-3
3
9
1
64
5
4
13
1
2
2
4
1
169
∑
15
55
0
0
27
74
10
679
我们有：
(2)
(3) 对于=10 ,点预测值 =-1.015+0.365*10=2.635
的95%置信区间为:
=
即 1.895 －3.099,也就是说,我们有95%的把握预测将位于1.865 至3.405 之间.
3.11根据上题的数据及回归结果，现有一对新观测值X＝20，Y＝7.62，试问它们是否可能来自产生样本数据的同一总体？
问题可化为“预测误差是否显著地大？”
当X0 =20时，
预测误差
原假设：
备择假设：
检验：
若为真，则
对于5-2=3个自由度，查表得5%显著性水平检验的t临界值为：
结论：
由于
故拒绝原假设，接受备则假设H1，即新观测值与样本观测值来自不同的总体。
3.12有人估计消费函数，得到如下结果（括号中数字为t值）：
＝ 15 + 0.81 ＝0.98
（2.7） （6.5） n=19
（1） 检验原假设：＝0（取显著性水平为5％）
（2） 计算参数估计值的标准误差；
（3） 求的95％置信区间，这个区间包括0吗？
（1）原假设 备择假设
检验统计量
查t表,在5%显著水平下 ,因为t=6.5>2.11
故拒绝原假设,即，说明收入对消费有显著的影响。
（2）由回归结果，立即可得：
（3）b的95％置信区间为：
3.13 回归之前先对数据进行处理。把名义数据转换为实际数据，公式如下：
人均消费C＝C/P*100(价格指数)
人均可支配收入Y＝[Yr*rpop/100+Yu*(1-rpop/100)]/P*100
农村人均消费Cr＝Cr/Pr*100 城镇人均消费Cu＝Cu/Pu*100
农村人均纯收入Yr＝Yr/Pr*100 城镇人均可支配收入Yu＝Yu/Pu*100
处理好的数据如下表所示：
年份
C
Y
Cr
Cu
Yr
Yu
1985
401.78
478.57
317.42
673.20
397.60
739.10
1986
436.93
507.48
336.43
746.66
399.43
840.71
1987
456.14
524.26
353.41
759.84
410.47
861.05
1988
470.23
522.22
360.02
785.96
411.56
841.08
1989
444.72
502.13
339.06
741.38
380.94
842.24
1990
464.88
547.15
354.11
773.09
415.69
912.92
1991
491.64
568.03
366.96
836.27
419.54
978.23
1992
516.77
620.43
372.86
885.34
443.44
1073.28
1993
550.41
665.81
382.91
962.85
458.51
1175.69
1994
596.23
723.96
410.00
1040.37
492.34
1275.67
1995
646.35
780.49
449.68
1105.08
541.42
1337.94
1996
689.69
848.30
500.03
1125.36
612.63
1389.35
1997
711.96
897.63
501.75
1165.62
648.50
1437.05
1998
737.16
957.91
498.38
1213.57
677.53
1519.93
1999
785.69
1038.97
501.88
1309.90
703.25
1661.60
2000
854.25
1103.88
531.89
1407.33
717.64
1768.31
2001
910.11
1198.27
550.11
1484.62
747.68
1918.23
2002
1032.78
1344.27
581.95
1703.24
785.41
2175.79
2003
1114.40
1467.11
606.90
1822.63
818.93
2371.65
根据表中的数据用软件回归结果如下：
= 90.93 + 0.692 R2=0.997
t： (11.45) (74.82) DW=1.15
农村：= 106.41 + 0.60 R2=0.979
t： (8.82) (28.42) DW=0.76
城镇：= 106.41 + 0.71 R2=0.998
t： (13.74) (91.06) DW=2.02
从回归结果来看，三个方程的R2都很高，说明人均可支配收入较好地解释了人均消费支出。
三个消费模型中，可支配收入对人均消费的影响均是显著的，并且都大于0小于1，符合经济理论。而斜率系数最大的是城镇的斜率系数，其次是全国平均的斜率，最小的是农村的斜率。说明城镇居民的边际消费倾向高于农村居民。
第四章 多元线性回归模型
4.1 应采用（1），因为由（2）和（3）的回归结果可知，除X1外，其余解释变量的系数均不显著。（检验过程略）
4.2 (1) 斜率系数含义如下:
0.273: 年净收益的土地投入弹性, 即土地投入每上升1%, 资金投入不变的情况下, 引起年净收益上升0.273%.
0.733: 年净收益的资金投入弹性, 即资金投入每上升1%, 土地投入不变的情况下, 引起年净收益上升0.733%.
拟合情况: ,表明模型拟合程度较高.
(2) 原假设
备择假设
检验统计量
查表， 因为t=2.022<,故接受原假设,即不显著异于0, 表明土地投入变动对年净收益变动没有显著的影响.
原假设
备择假设
检验统计量
查表， 因为t=5.864>,故拒绝原假设,即β显著异于0,表明资金投入变动对年净收益变动有显著的影响.
（3） 原假设
备择假设 : 原假设不成立
检验统计量
查表，在5%显著水平下 因为F=47>5.14，故拒绝原假设。
结论,：土地投入和资金投入变动作为一个整体对年净收益变动有影响.
4.3 检验两个时期是否有显著结构变化,可分别检验方程中D和D•X的系数是否显著异于0.
(1) 原假设 备择假设
检验统计量
查表 因为t=3.155>, 故拒绝原假设, 即显著异于0。
(2) 原假设 备择假设
检验统计量
查表 因为|t|=3.155>, 故拒绝原假设, 即显著异于0。
结论：两个时期有显著的结构性变化。
4.4 （1）
（2）变量、参数皆非线性，无法将模型转化为线性模型。
（3）变量、参数皆非线性，但可转化为线性模型。
取倒数得：
把1移到左边，取对数为：，令
4.5 （1）截距项为-58.9，在此没有什么意义。X1的系数表明在其它条件不变时，个人年消费量增加1百万美元，某国对进口的需求平均增加20万美元。X2的系数表明在其它条件不变时，进口商品与国内商品的比价增加1单位，某国对进口的需求平均减少10万美元。
（2）Y的总变差中被回归方程解释的部分为96%，未被回归方程解释的部分为4%。
（3）检验全部斜率系数均为0的原假设。
=
由于F＝192 > F0.05(2,16)=3.63，故拒绝原假设，回归方程很好地解释了应变量Y。
（4） A. 原假设H0：β1= 0 备择假设H1：β1 0
> t0.025(16)=2.12，
故拒绝原假设，β1显著异于零，说明个人消费支出（X1）对进口需求有解释作用，这个变量应该留在模型中。
B. 原假设H0：β2=0 备择假设H1：β2 0
FC, 则拒绝原假设H0，接受备择假设H1。
4.10 （1）2个，
（2）4个，
4.11
4.12 对数据处理如下：
lngdp＝ln（gdp/p） lnk=ln（k/p） lnL=ln（L/P）
对模型两边取对数，则有
lnY＝lnA＋alnK＋blnL＋lnv
用处理后的数据回归，结果如下：
t：(－0.95) (16.46) (3.13)
由修正决定系数可知，方程的拟合程度很高；资本和劳动力的斜率系数均显著（tc=2.048）, 资本投入增加1％，gdp增加0.96%，劳动投入增加1％，gdp增加0.18%，产出的资本弹性是产出的劳动弹性的5.33倍。
第五章 模型的建立与估计中的问题及对策
5.1
（1）对
（2）对
（3）错
即使解释变量两两之间的相关系数都低，也不能排除存在多重共线性的可能性。
（4）对
（5）错
在扰动项自相关的情况下OLS估计量仍为无偏估计量，但不再具有最小方差的性质，即不是BLUE。
（6）对
（7）错
模型中包括无关的解释变量，参数估计量仍无偏，但会增大估计量的方差，即增大误差。
（8）错。
在多重共线性的情况下，尽管全部“斜率”系数各自经t检验都不显著， R2值仍可能高。
（9）错。
存在异方差的情况下，OLS法通常会高估系数估计量的标准误差，但不总是。
（10）错。
异方差性是关于扰动项的方差，而不是关于解释变量的方差。
5.2 对模型两边取对数，有
lnYt=lnY0+t*ln(1+r)+lnut ,
令LY＝lnYt，a＝lnY0，b＝ln(1+r)，v＝lnut，模型线性化为：
LY＝a＋bt＋v
估计出b之后，就可以求出样本期内的年均增长率r了。
5.3（1）DW=0.81，查表（n=21,k=3,α=5%）得dL=1.026。
DW=0.81＜1.026
结论：存在正自相关。
（2）DW=2.25，则DW=4 – 2.25 = 1.75
查表（n=15, k=2, α=5%）得du =1.543。
1.543＜DW= 1.75 ＜2
结论：无自相关。
（3）DW= 1.56，查表（n=30, k=5, α=5%）得dL =1.071, du =1.833。
1.071＜DW= 1.56 ＜1.833
结论：无法判断是否存在自相关。
5.4
(1) 横截面数据.
(2) 不能采用OLS法进行估计，由于各个县经济实力差距大，可能存在异方差性。
(3) GLS法或WLS法。
5.5
（1）可能存在多重共线性。因为①X3的系数符号不符合实际.②R2很高,但解释变量的t值低：t2=0.9415/0.8229=1.144, t3=0.0424/0.0807=0.525.
解决方法：可考虑增加观测值或去掉解释变量X3.
（2）DW=0.8252, 查表(n=16,k=1,α=5%)得dL=1.106.
DW=0.8252< dL=1.106
结论：存在自相关.
单纯消除自相关，可考虑用科克伦－奥克特法或希尔德雷斯－卢法；进一步研究，由于此模型拟合度不高,结合实际,模型自相关有可能由模型误设定引起,即可能漏掉了相关的解释变量，可增加相关解释变量来消除自相关。
5.6 存在完全多重共线性问题。因为年龄、学龄与工龄之间大致存在如下的关系：Ai＝7＋Si＋Ei
解决办法：从模型中去掉解释变量A，就消除了完全多重共线性问题。
5.7 （1）若采用普通最小二乘法估计销售量对广告宣传费用的回归方程，则系数的估计量是无偏的，但不再是有效的，也不是一致的。
（2）应用GLS法。设原模型为
（1）
由于已知该行业中有一半的公司比另一半公司大，且已假定大公司的误差项方差是小公司误差项方差的两倍，则有，其中。则模型可变换为
（2）
此模型的扰动项已满足同方差性的条件，因而可以应用OLS法进行估计。
（3）可以。对变换后的模型（2）用戈德弗尔德－匡特检验法进行异方差性检验。如果模型没有异方差性，则表明对原扰动项的方差的假定是正确的；如果模型还有异方差性，则表明对原扰动项的方差的假定是错误的，应重新设定。
5.8（1）不能。因为第3个解释变量（）是和的线性组合，存在完全多重共线性问题。
（2）重新设定模型为
我们可以估计出，但无法估计出。
（3）所有参数都可以估计，因为不再存在完全共线性。
（4）同（3）。
5.9（1）R2很高，logK的符号不对，其 t值也偏低，这意味着可能存在多重共线性。
（2）logK系数的预期符号为正，因为资本应该对产出有正向影响。但这里估计出的符号为负，是多重共线性所致。
（3）时间趋势变量常常被用于代表技术进步。（1）式中，0.047的含义是，在样本期内，平均而言，实际产出的年增长率大约为4.7％。
（4）此方程隐含着规模收益不变的约束，即a＋b＝1，这样变换模型，旨在减缓多重共线性问题。
（5）资本－劳动比率的系数统计上不显著，看起来多重共线性问题仍没有得到解决。
（6）两式中R2是不可比的，因为两式中因变量不同。
5.10（1）所作的假定是：扰动项的方差与GNP的平方成正比。模型的估计者应该是对数据进行研究后观察到这种关系的，也可能用格里瑟法对异方差性形式进行了实验。
（2）结果基本相同。第二个模型三个参数中的两个的标准误差比第一个模型低，可以认为是改善了第一个模型存在的异方差性问题。
5.11 我们有
原假设H0： 备则假设H1：
检验统计量为：
用自由度（25，25）查F表，5％显著性水平下，临界值为：Fc＝1.97。
因为F＝2.5454>Fc＝1.97，故拒绝原假设原假设H0：。
结论：存在异方差性。
5.12 将模型变换为：
若、为已知，则可直接估计（2）式。一般情况下，、为未知，因此需要先估计它们。首先用OLS法估计原模型(1)式，得到残差et，然后估计：
其中为误差项。用得到的和的估计值和生成
令，用OLS法估计
即可得到和，从而得到原模型（1）的系数估计值和。
5.13 （1）全国居民人均消费支出方程：
= 90.93 + 0.692 R2=0.997
t： (11.45) (74.82) DW=1.15
DW=1.15，查表（n=19,k=1,α=5%）得dL=1.18。
DW=1.15＜1.18
结论：存在正自相关。可对原模型进行如下变换：
Ct -ρCt-1 = α(1-ρ)+β(Yt-ρYt-1)+（ut -ρut -1）
由
令：Ct= Ct –0.425Ct-1 ， Yt= Yt-0.425Yt-1 ，α’=0.575α
然后估计 Ct=α+βYt + εt ，结果如下：
= 55.57 + 0.688 R2=0.994
t：(11.45) (74.82) DW=1.97
DW=1.97，查表（n=19,k=1,α=5%）得du=1.401。
DW=1.97>1.18，故模型已不存在自相关。
（2）农村居民人均消费支出模型：
农村：= 106.41 + 0.60 R2=0.979
t： (8.82) (28.42) DW=0.76
DW=0.76，查表（n=19,k=1,α=5%）得dL=1.18。
DW=0.76＜1.18，故存在自相关。
解决方法与（1）同，略。
（3）城镇：= 106.41 + 0.71 R2=0.998
t： (13.74) (91.06) DW=2.02
DW=2.02，非常接近2，无自相关。
5.14 （1）用表中的数据回归，得到如下结果：
=54.19 + 0.061X1 + 1.98*X2 + 0.03X3 - 0.06X4 R2＝0.91
t: (1.41) (1.58) (3.81) (1.14) (-1.78)
根据tc(α=0.05,n-k-1=26)=2.056，只有X2的系数显著。
（2）理论上看，有效灌溉面积、农作物总播种面积是农业总产值的重要正向影响因素。在一定范围内，随着有效灌溉面积、播种面积的增加，农业总产值会相应增加。受灾面积与农业总产值呈反向关系，也应有一定的影响。而从模型看，这些因素都没显著影响。这是为什么呢？
这是因为变量有效灌溉面积、施肥量与播种面积间有较强的相关性，所以方程存在多重共线性。现在我们看看各解释变量间的相关性，相关系数矩阵如下：
X1 X2 X3 X4
1
0.896
0.880
0.715
0.896
1
0.895
0.685
0.880
0.895
1
0.883
0.715
0.685
0.883
1
X1
X2
X3
X4
表中r12＝0.896，r13＝0.895，说明施肥量与有效灌溉面积和播种面积间高度相关。
我们可以通过对变量X2的变换来消除多重共线性。令X22＝X2/X3（公斤/亩），这样就大大降低了施肥量与面积之间的相关性，用变量X22代替X2，对模型重新回归，结果如下：
=－233.62 + 0.088X1 + 13.66*X2 + 0.096X3 - 0.099X4 R2＝0.91
t: (-3.10) (2.48) (3.91) (4.77) (-3.19)
从回归结果的t值可以看出，现在各个变量都已通过显著性检验，说明多重共线性问题基本得到解决。
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