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1、考点规范练29等差数列及其前n项和基础巩固1.已知Sn为等差数列an的前n项和,a2+a8=6,则S9等于()A.272B.27C.54D.1082.(2017陕西咸阳二模)张丘建算经卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺”,则该女第一天织布多少尺(注:尺为古代长度计量单位,1米等于3尺)?()A.3B.4C.5D.63.已知在每项均大于零的数列an中,首项a1=1,且前n项和Sn满足SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1(nN+,且n2),则a81等于()A.638B.639C.640D.641
2、4.已知数列an是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,an的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是()A.18B.19C.20D.215.(2017辽宁沈阳质量检测)设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=()A.5B.6C.7D.86.(2017北京丰台一模)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a2=2,S9=9,则a8=.7.已知在数列an中,a1=1,a2=2,当整数n2时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15=.8.在等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设
3、bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.9.(2017北京海淀一模)已知等差数列an满足a1+a2=6,a2+a3=10.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an+an+1的前n项和.能力提升10.若数列an满足:a1=19,an+1=an-3(nN+),则数列an的前n项和数值最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.911.(2017四川广元二诊)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,其中m2,则nSn的最小值为()A.-3B.-5C.-6D.-912.已知等差数列an的前n项和为Sn,a20,且1
4、,a2,81成等比数列,a3+a7=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Snn的前n项和Tn取得最小值时n的值.13.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=22.(1)求通项公式an;(2)求Sn的最小值;(3)若数列bn是等差数列,且bn=Snn+c,求非零常数c.高考预测14.已知各项均为正数的等差数列an满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)求同时满足下列条件的所有an的和:20n116;n能够被5整除.参考答案考点规范练29等差数列及其前n项和1.B解析S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2
5、=27.2.C解析设第n天织布an尺,则数列an是等差数列,且S30=390,a30=21,S30=302(a1+a30),即390=15(a1+21),解得a1=5.故选C.3.C解析由已知SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1,可得Sn-Sn-1=2,Sn是以1为首项,2为公差的等差数列,故Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.4.C解析a1+a3+a5=105a3=35,a2+a4+a6=99a4=33,则an的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.5.D解
6、析解法一:由题知Sn=na1+n(n-1)2d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.解法二:Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.6.0解析an为等差数列,Sn为其前n项和,a2=2,S9=9,a2=a1+d=2,S9=9a1+982d=9,解得d=-13,a1=73,a8=a1+7d=0.7.211解析由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n2),数列an从第二项起构成以2
7、为首项,2为公差的等差数列,则S15=1+214+141322=211.8.解(1)设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以an的通项公式为an=2n+35.(2)由(1)知,bn=2n+35.当n=1,2,3时,12n+352,bn=1;当n=4,5时,22n+353,bn=2;当n=6,7,8时,32n+354,bn=3;当n=9,10时,42n+355,bn=4.所以数列bn的前10项和为13+22+33+42=24.9.解(1)设数列an的公差为d,a1+a2=6,a2+a3=10,a3-a1=4,2d=4,d=2.又a1+a1+d=
8、6,a1=2,an=a1+(n-1)d=2n.(2)记bn=an+an+1,则bn=2n+2(n+1)=4n+2,又bn+1-bn=4(n+1)+2-4n-2=4,bn是首项为6,公差为4的等差数列,其前n项和Sn=n(b1+bn)2=n(6+4n+2)2=2n2+4n.10.B解析a1=19,an+1-an=-3,数列an是以19为首项,-3为公差的等差数列.an=19+(n-1)(-3)=22-3n.设an的前k项和数值最大,则有ak0,ak+10,kN+.22-3k0,22-3(k+1)0.193k223.kN+,k=7.满足条件的n的值为7.11.D解析由Sm-1=-2,Sm=0,Sm
9、+1=3,得am=2,am+1=3,所以d=1,Sm=0,故ma1+m(m-1)2d=0,故a1=-(m-1)2,am+am+1=5,am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,解得m=5.a1=-5-12=-2,nSn=n-2n+n(n-1)21=12n3-52n2,设f(n)=12n3-52n2,则f(n)=32n2-5n,令f(n)=0,得n=103或n=0,由nN+,得当n=3时,nSn取最小值1227-529=-9.故选D.12.解(1)a3+a7=-6=2a5,a5=-3.1,a2,81成等比数列,a22=181.又a20,a3a4,a3=9,a4=13,a
10、1+2d=9,a1+3d=13,a1=1,d=4.通项公式an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,Sn=na1+n(n-1)2d=2n2-n=2n-142-18.当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,bn=Snn+c=2n2-nn+c,b1=11+c,b2=62+c,b3=153+c.数列bn是等差数列,2b2=b1+b3,即62+c2=11+c+153+c,2c2+c=0,c=-12(c=0舍去),故c=-12.14.解(1)a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,a1+3d=2(a1+d),a1(a1+3d)=16,解得a1=2,d=2.数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)n同时满足:20n116;n能够被5整除,满足条件的n组成等差数列bn,且b1=20,d=5,bn=115,项数为115-205+1=20.bn的所有项的和为S20=2020+1220195=1350.又an=2n,即an=2bn,满足条件的所有an的和为2S20=21350=2700.