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1、课时规范练38直线、平面平行的判定与性质基础巩固组1.如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD平面FGH.2.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA是四棱锥P-ABCD的高,PA=AB=2,点M,N,E分别是PD,AD,CD的中点.(1)求证:平面MNE平面ACP;(2)求四面体A-MBC的体积.3.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.4.(2017安徽淮南一模,文19)如图,直三棱柱AB
2、C-A1B1C1中,ACAB,AB=2AA1,M是AB的中点,A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.(1)若BE=3EC,求证:DE平面A1MC1;(2)若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积.5.(2017福建南平一模,文19)如图,在多面体ABCDE中,平面ABE平面ABCD,ABE是等边三角形,四边形ABCD是直角梯形,ABAD,ABBC,AB=AD=12BC=2,M是EC的中点.(1)求证:DM平面ABE;(2)求三棱锥M-BDE的体积.导学号24190931综合提升组6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:在A
3、C上是否存在点F,满足EF平面A1ABB1?若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.7.(2017山西太原三模,文19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1底面ABC,A1AC=60,AC=2AA1=4,点D,E分别是AA1,BC的中点.(1)证明:DE平面A1B1C;(2)若AB=2,BAC=60,求三棱锥A1-BDE的体积.8.(2017江西宜春二模,文19)在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=AB=4,CDA=120,点N在线段PB上,且PN=2.(1)求证:MN平面PDC;(2)求点
4、C到平面PBD的距离.导学号24190932创新应用组9.(2017吉林延边州模拟,文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AA1的中点,E为BC的中点.(1)求证:直线AE平面BC1D;(2)若三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,AB=2,AA1=4,求点E到平面BC1D的距离.导学号2419093310.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将AEF沿线段EF折起到AEF位置,使得AC=26.(1)求五棱锥A-BCDFE的体积;(2)在线段AC上是否存在一点M,使得BM平面AEF?若存在,求AM;若不存在,请说明理由.答案：1.证法一
5、 连接DG,CD,设CDGF=M.连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点.又H为BC的中点,所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二 在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.2.(1)证明 M,N,E分别是PD,AD,CD的中点,
6、MNPA,又MN平面ACP,MN平面ACP,同理ME平面ACP,又MNME=M,平面MNE平面ACP.(2)解 PA是四棱锥P-ABCD的高,由MNPA知MN是三棱锥M-ABC的高,且MN=12PA=1,VA-MBC=VM-ABC=13SABCMN=1312221=23.3.解 (1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,于是四边形BCHE为平行四边形.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBG=B,所以
7、平面BEG平面ACH.4.(1)证明 如图1,取BC中点N,连接MN,C1N,M是AB中点,MNACA1C1,M,N,C1,A1共面.BE=3EC,E是NC的中点.又D是CC1的中点,DENC1.DE平面MNC1A1,NC1平面MNC1A1,DE平面A1MC1.(2)解 如图2,当AA1=1时,则AM=1,A1M=2,A1C1=2.三棱锥A-MA1C1的体积VA-A1MC1=VC1-A1AM=1312AMAA1A1C1=26.图1图25.(1)证法一 取BE的中点O,连接OA,OM,O,M分别为线段BE,CE的中点,OM=12BC.又AD=12BC,OM=AD,又ADCB,OMCB,OMAD.
8、四边形OMDA为平行四边形,DMAO,又AO平面ABE,MD平面ABE,DM平面ABE.证法二 取BC的中点N,连接DN,MN(图略),M,N分别为线段CE,BC的中点,MNBE,又BE平面ABE,MN平面ABE,MN平面ABE,同理可证DN平面ABE,MNDN=N,平面DMN平面ABE,又DM平面DMN,DM平面ABE.(2)解法一 平面ABE平面ABCD,ABBC,BC平面ABCD,BC平面ABE,OA平面ABE,BCAO,又BEAO,BCBE=B,AO平面BCE,由(1)知DM=AO=3,DMAO,DM平面BCE,VM-BDE=VD-MBE=1312223=233.解法二 取AB的中点G
9、,连接EG,ABE是等边三角形,EGAB,平面ABE平面ABCD=AB,平面ABE平面ABCD,且EG平面ABE,EG平面ABCD,即EG为四棱锥E-ABCD的高,M是EC的中点,M-BCD的体积是E-BCD体积的一半,VM-BDE=VE-BDC-VM-BDC=12VE-BDC,VM-BDE=121312243=233.即三棱锥M-BDE的体积为233.6.解 方法一:当AF=3FC时,EF平面A1ABB1.证明如下:在平面A1B1C1内过点E作EGA1C1交A1B1于点G,连接AG.因为B1E=3EC1,所以EG=34A1C1.又因为AFA1C1,且AF=34A1C1,所以AFEG,所以四边
10、形AFEG为平行四边形,所以EFAG.又因为EF平面A1ABB1,AG平面A1ABB1,所以EF平面A1ABB1.方法二:当AF=3FC时,EF平面A1ABB1.证明如下:在平面BCC1B1内过点E作EGBB1交BC于点G,因为EGBB1,EG平面A1ABB1,BB1平面A1ABB1,所以EG平面A1ABB1.因为B1E=3EC1,所以BG=3GC,所以FGAB.又因为AB平面A1ABB1,FG平面A1ABB1,所以FG平面A1ABB1.又因为EG平面EFG,FG平面EFG,EGFG=G,所以平面EFG平面A1ABB1.因为EF平面EFG,所以EF平面A1ABB1.7.(1)证明 如图,取AC
11、的中点F,连接DF,EF,在AA1C中,点D,F分别是AA1,AC的中点,DFA1C,同理,得EFABA1B1,DFEF=F,A1CA1B1=A1,平面DEF平面A1B1C,又DE平面DEF,DE平面A1B1C.(2)解 过点A1作AC的垂线,垂足为H,由题知侧面ACC1A1底面ABC,A1H底面ABC,在AA1C中,A1AC=60,AC=2AA1=4,A1H=3,AB=2,BAC=60,BC=23,点E是BC的中点,BE=3,SABE=12ABBE=1223=3,D为AA1的中点,VA1-BDE=VA1-ABE-VD-ABE=12VA1-ABE=1213A1HSABE=1633=12.8.(
12、1)证明 在正三角形ABC中,BM=23.在ACD中,M为AC中点,DMAC,AD=CD.ADC=120,DM=233,BMMD=3.在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=4,PB=42,BNNP=3,BNNP=BMMD,MNPD.又MN平面PDC,PD平面PDC,MN平面PDC.(2)解 设点C到平面PBD的距离为h.由(1)可知,BD=833,PM=16+4=25,SPBD=1283325=8153.SBCD=128332=833,由等体积可得138334=138153h,h=455,点C到平面PBD的距离为455.9.(1)证明 设BC1的中点为F,连接EF,DF,则EF是BCC1的中位
13、线,根据已知得EFDA,且EF=DA,四边形ADFE是平行四边形,AEDF,DF平面BDC1,AE平面BDC1,直线AE平面BDC1.(2)解 由(1)的结论可知直线AE平面BDC1,点E到平面BDC1的距离等于点A到平面BDC1的距离,设为h.VE-BC1D=VA-BC1D=VB-AC1D,13SBC1Dh=13SAC1D3,1312253h=1312223,解得h=255.点E到平面BDC1的距离为255.10.解 (1)连接AC,设ACEF=H,连接AH.因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,所以H是EF的中点,且EFAH,EFCH.从而有AHEF,CHEF,又AHCH=H,所以E
14、F平面AHC,且EF平面ABCD,从而平面AHC平面ABCD.过点A作AO垂直HC且与HC相交于点O,则AO平面ABCD.因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,故AH=22,CH=42,所以cos AHC=AH2+CH2-AC22AHCH=8+32-2422242=12.所以HO=AHcos AHC=2,则AO=6.所以五棱锥A-BCDFE的体积V=1362-12446=2863.(2)线段AC上存在点M,使得BM平面AEF,此时AM=62.证明如下:连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过点O.AM=62=14AC,HO=14HC,所以OMAH.又OM平面AEF,AH平面AEF,所以OM平面AEF.又BDEF,BD平面AEF,EF平面AEF,所以BD平面AEF.又BDOM=O,所以平面MBD平面AEF,因为BM平面MBD,所以BM平面AEF.