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1、第2课时柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积知识点一柱体、锥体、台体的体积公式1柱体的体积公式VSh(S为底面面积，h为高)；2锥体的体积公式VSh(S为底面面积，h为高)；3台体的体积公式V(SS)h(S、S为上、下底面面积，h为高)；4柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系VShV(SS)hVSh.知识点二球的表面积和体积公式1球的表面积公式S4R2(R为球的半径)；2球的体积公式VR3.类型一柱体、锥体、台体的体积例1(1
2、)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为()A. B.C. D.答案A解析三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.(2)现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降()A0.6 cm B0.15 cm C1.2 cm D0.3 cm答案A解析设杯里的水下降h cm，由题意知()2h2032，解得h0.6 cm.反思与感悟(1)常见的求几何体体积
3、的方法公式法：直接代入公式求解等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比解设ABa，ADb，AAc，VCADDCDSADDabcabc，剩余部分的体积为VABCDABCDVCADDabcabcabc，棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为15.(2)已
4、知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积解如图，在三棱台ABCABC中，取上、下底面的中心分别为O，O，BC，BC的中点分别为D，D，则DD是梯形BCCB的高所以S侧3(2030)DD75DD.又因为AB20 cm，AB30 cm，则上、下底面面积之和为S上S下(202302)325(cm2)由S侧S上S下，得75DD325，所以DD(cm)，OD20(cm)，OD305(cm)，所以棱台的高hOO4(cm)由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V(S上S下)(2023022030)1 900(cm
5、3)类型二球的表面积与体积例2(1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比解如图等边ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.设球的半径OER，OA2OE2R，ADOAOD2RR3R，BDADtan 30R，V球R3，V圆锥BD2AD(R)23R3R3，则V球V圆锥49.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2 B6a2 C12a2 D24a2答案B解析长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为a，得球的半径为a，则球的表面积为4(a)26a2.反思与感悟(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称
6、球为正方体的内切球，此时球的半径为r1，过在一个平面上的四个切点作截面如图.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2a，如图.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3，如图.(4)正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2Ra.(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2Ra.跟踪训练2(1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A1 B13 C13 D19答
7、案C解析设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，外接球的半径为，其体积比为()3()313.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、，则它的外接球表面积为_答案9解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a、b、c，则解得外接球半径为，外接球表面积为4()29.例3在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49 cm2和400 cm2，求此球的表面积解方法一(1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm，截面圆的半径分别为r cm，r1 cm.由r49，得r17(r17舍去
8、)，由r2400，得r20(r20舍去)在RtOB1C1中，OC1，在RtOBC中，OC.由题意可知OC1OC9，即9，解此方程，取正值得R25. (2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC1，OC.由题意可知OC1OC9，即9.整理，得15，此方程无解，这说明第二种情况不存在综上所述，此球的半径为25 cm.S球4R242522 500(cm2)方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OCR249，OC2R2400，两式相减，得OCOC240049(OC1OC)(OC1OC)351.又OC1OC9，OC1OC39，解得OC124，OC15，R2OC2r2152202625，R25 c
9、m.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6和8”，则两平行截面间的距离是()A1 B2 C1或7 D2或6答案C解析画出球的截面图，如图所示两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：两个平行截面在球心的两侧，两个平行截面在球心的同侧对于，m4，n3，两平行截面间的距离是mn7；对于，两平行截面间的距离是mn1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
10、积为()A. B.C.2 D.2答案A解析由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V122(12)1.故选A.反思与感悟此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体跟踪训练4如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积解三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球这个奖杯的体积Vh(S上S下)221633336100(cm3)1已知一个铜质的五棱柱的底面积为1
11、6 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是()A2 cm B3 cm C4 cm D8 cm答案C解析铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，铜质的五棱柱的体积V16464(cm3)，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm，则a364，解得a4 cm，故选C.2.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为()A. B.C. D.答案D解析VSh3.3将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为()A2 B4C8 D16答案B解析体积最大的球是其内切球，即球
12、的半径为1，所以表面积为S4124.4如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_答案312解析设球的半径为R，则V柱R22R2R3，V锥R22RR3，V球R3，故V柱V锥V球2R3R3R3312.5某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_答案3解析由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即43.1柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V柱体ShV台体h(SS)V锥体Sh.2在三棱锥ABCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VABCD，h.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用
13、换顶点法求解，即VABCDVBACDVCABDVDABC，求解的原则是V易求，且BCD的面积易求3求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解4利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算5解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算课时作业一、选择题1如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()A B2 C4 D8答案B解析设圆柱母线长为l，底面半径为r，由题意得解得V圆柱r2l2.2如图，在正方体中，四棱锥SABCD的体积占正方体体积的()A. B
14、. C. D不确定答案B解析由于四棱锥SABCD的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥SABCD的体积占正方体体积的，故选B.3如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.12 B.18C942 D3618答案B解析由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V()333218.4如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是()A. B.C. D.答案C解析VCABCVABCABC，VCAABB1.5一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()A. cm3 B. cm3C. cm3
15、 D. cm3答案C解析如图，根据题意，|OO1|4 cm，|O1A|3 cm，|OA|R5(cm)，故球的体积VR3(cm3)故选C.6一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为()A(24) cm2 B(48) cm2C(816) cm2 D(1632) cm2答案C解析一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为2，正四棱柱的高为2，该棱柱的表面积为222422816，故选C.7.如图，在梯形ABCD中，A
16、BC，ADBC，BC2AD2AB2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D2答案C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为122121.8一个表面积为36的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A45 B27 C36 D54答案D解析因为球的表面积为36，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S23223654.二、填空题9如图，三棱柱A1B1C1ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥AFED的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的
17、体积为V2，则V1V2的值为_答案解析设三棱柱的高为h，F是AA1的中点，则三棱锥FADE的高为，D，E分别是AB，AC的中点，SADESABC，V1SADE，V2SABCh，.10圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2 cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为_ cm3.答案解析圆锥的侧面展开图的弧长为2 cm，半径为 cm，故圆锥的底面周长为2 cm，母线长为 cm，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V121.11已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为_答案解析由已知的三视图可知原几何体的上方
18、是三棱锥，下方是半球，V(11)1()3.12若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为_答案3解析满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥VABC，所以VAABBC1，VBAC，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R，所以该四面体外接球的表面积为4()23.三、解答题13如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分是以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积(其中BAC30)解过C作CO1AB于点O1，由已知得BCA90，BAC30，AB2R，ACR，BCR，CO1R
19、.S球4R2，RRR2，RRR2，4R2R2R2R2.又V球R3，AO1COR2AO1，BO1COR2BO1，V几何体V球R3.四、探究与拓展14圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示则球的半径是()A1 cm B2 cmC3 cm D4 cm答案C解析设球半径为r，则由3V球V水V柱，可得3r3r26r26r，解得r3.15如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)(1)画出这个几何体(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积解(1)这个几何体如图所示(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体由PA1PD1 cm，A1D1AD2 cm，可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S522222()2224(cm2)，所求几何体的体积V23()2210(cm3)