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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第十五章 电路方程的矩阵形式重点： 1. 关联矩阵；2. 结点电压方程的矩阵形式；3. 状态方程；难点：电路状态方程列写的直观法和系统法； 15.1 图的矩阵表示1 有向图的关联矩阵2电路的图是电路拓扑结构的抽象描述；假设图中每一支路都给予一个参考方向,它成为有向图；有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述3关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质；4回路矩阵是用回路与支路的关系描述有向图的拓扑性质；5割集矩阵是用割集与支路的关系描述有向图的拓扑性质；6本节仅介绍关联矩阵以及用它表示的基尔霍夫定律的矩阵形式；7一条支路连接
2、某两个结点,就称该支路与这两个结点相关联；支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述；设有向图的结点数为 n ,支路数为 b ,且全部结点与支路均加以编号；于是,该有向图的关联矩阵为一个 阶的矩阵,用 表示；它的每一行对应一个结点,每一列对应一条支路,它的任一元素 定义如下：8,表示支路 k 与结点 j 关联并且它的方向背离结点 ; 9,表示支路 k 与结点 j 关联并且它指向结点；10,表示支路 k 与结点 j 无关联；对于图 15.1 所示的有向图,它的关联矩阵是关联矩阵名师归纳总结 每一列只有两个非零元素,一个是+1,一个是 -1 ,的每一列元素之和为零；第 1 页,共 8 页- - - -
3、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 矩阵中任一行可以从其他 n-1 行中导出,即只有 n-1 行是独立的；假如把 的任一行划去,剩下的 矩阵用 表示,并称为降阶关联矩阵今后主要用这种降阶关联矩阵,所以往往略去“ 降阶” 二字,被划去的行对应的结点可以当作参考结点；例如,假设以结点 4 为参考结点,把上式中 的第 4 行划去,得假设以结点 3 为参考结点,把上式中 的第 3 行划去,得矩阵的某些列将只具有一个 +1 或一个 1 ,每一个这样的列必对应于与参考结点相关联的一条支路；留意： 给定 可以确定,从而画出有向图；2用 A 表示矩阵形式的 KCL 电路中的 b 个支
4、路电流可以用一个 b 阶列向量表示,即假设用矩阵 左乘电流列向量,就乘积是一个 阶列向量,由矩阵相乘规章可知,它的每一元素即为关联到对应结点上各支路电流的代数和,即因此,有上式是用矩阵 表示的 KCL 的矩阵形式；例如对图 15.1,以结点 4 为参考结点,有：上式为 n-1 个独立方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3用A 表示矩阵形式的KVL 电路中b 个支路电压可以用一个b 阶列向量表示,即个结点电压可以用一个阶列向量表示,即由于矩阵的每一列,也就是矩阵的每一行,表示每一对应支路与结点的关联情形,所以有例如
5、,对图 15.1 有：可见上式说明电路中的各支路电压可以用与该支路关联的两个结点的结点电压参考结点的结点电压为零表示,这正是结点电压法的基本思想；同时,可以认为该式是用矩阵 表示的 KVL 的矩阵形式；小结： 矩阵 表示有向图结点与支路的关联性质； 用 表示的 KCL 的矩阵形式为 用 表示的 KVL 的矩阵形式为； 15.2 支路电压电流的矩阵形式在列矩阵形式电路方程时,必需有一组支路约束方程；因此需要规定一条支路的结构和内容；可以采纳所谓“ 复合支路” ；1复合支路名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设复合支路如图
6、15.2 所示,其中下标k 表示第k 条支路,和分别表示独立电压源和独立电流源,或表示阻抗或导纳,且规定它只可能是单一的电阻、电感或电容,而不能是它们的组合,即 图 15.2 留意： 复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方式,但答应缺少某些元件；另外,为了 写出复合支路的支路方程,仍应规定电压和电流的参考方向；本章中采用的电压和电流的参考方向如图 15.2 所示；2用支路阻抗表示的支路方程的矩阵形式 复合支路如图 15.2 所示应用 KCL 和 KVL 可以写出用阻抗表示的假设设：k 支路电压、电流关系方程：为支路电流列向量；为支路电压列向量；为支路电流源的电流列向量；为支
7、路电压源的电压列向量；对整个电路,支路方程为即式中 Z 称为支路阻抗矩阵,它是一个 路阻抗矩阵 Z 不再是对角阵,这里不再详述；的对角阵；当电路中存在耦合电感时,支名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3用支路导纳表示的支路方程的矩阵形式设复合支路如图 15.3 所示；当电路中无受控电流源即,电感间无耦合时,对于第k 条支路有对整个电路有式中 Y 称为支路导纳矩阵,它是一个对角阵；当电路中含有受控电流源,电感间无耦合时,设第k 支路中有受控电流源并受第j 支路中无源元件上的电压或电流掌握,其中或；此时,对第k 支路有在
8、VCCS 情形下,上式中的式中即；于是有名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可见此时支路方程在形式上仍与情形 1 时相同, 只是矩阵Y 的内容不同而已；留意此时 Y 也不再是对角阵；15.3 结点电压电流的矩阵形式1KCL 、KVL 和支路方程的矩阵形式结点电压法以结点电压为电路的独立变量,并用 KCL 列出足够的独立方程；由于描述支路与结点关联性质的是矩阵 A ,因此宜用以 A 表示的 KCL 和 KVL 推导结点电压方程的矩阵形式；设结点电压列向量为, KVL 方程为上述 KVL 方程表示了 与支路电压列向量 的关
9、系,它供应了选用 作为独立电路变量的可能性；用矩阵 A 表示的 KCL 为式中 i 表示支路电流列向量作为导出结点电压方程的依据；对于结点电压方程,宜采纳支路导纳表示的矩阵形式的支路方程 . 即；2结点电压方程的矩阵形式为了推导出结点电压方程的矩阵形式,将用A 表示的KCL 和 KVL 以及用支路导纳表示的支路方程重写如下：KCL KVL 支路方程把支路方程代入 KCL 可得：再把 KVL 代入便得上式即结点电压方程的矩阵形式；由于乘积AY 的行和列数分别为和 b ,乘积和的行和列数都是,所以乘积是一个阶方阵； 同理,乘积都是阶的列向量；如设名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,
10、共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,就式 可写为称为结点导纳矩阵, 它的元素相当于第三章中结点电压方程等号左边的系数；为由独立电源引起的注入结点的电流列向量,数项；3结点电压法的一般步骤 1将电路图抽象为有向图；2形成有向图的关联矩阵 A ；3形成支路导纳矩阵 Y ；4形成电压源向量和电流源向量；5用矩阵相乘形成结点电压方程即15.4 状态方程1. 网络的状态与状态变量 1 网络状态,指能和鼓励一道唯独的确定网络现时和将来的行为的最少的一组信息量；2 状态变量在 分 析 网 络 或 系 统 时 在 网 络 内 部 选 一 组 最 少 数 量 的 特 定 变 量 X ,
11、X=X 1 ,X 2 X n T ,只要知道这组量在某一时刻值 Xt0, 再知道输入 et 就可以确定 t0 及 t0以后任何时刻网络的性状 响应 ,称这一组最少数目的特定变量为状态变量；网络中各独立的电容电压或电荷,电感电流或磁通链在任意瞬时 t0 的值确定,就可完全确定 t3t 0 以后的完全响应；如一阶二阶电路,因此可以挑选为状态变量；留意 ： 这里讲的为数最少的网络变量是相互独立的；因此：1当一个网络中存在纯电容回路,由 KVL 可知其中必有一个电容电压可由回路中其它元件的电压求出,此电容电压为非独立的电容电压；2网络中与独立电压源并联的电容元件,其电压 uc 由 us 打算；3当网络
12、中存在纯电感割集,由 流求出,此电感电流为非独立的；KCL 可知其中必有一个电感电流可由其它元件的电4网络中与独立电流源串联的电感元件,其 i L 由 is 打算；以上四种请况中非独立的 uc 和 iL 不能作为状态变量,不含以上四种情形的网络称为常态网络；状态变量数等于 C、L 元件总数；含有以上四种情形的网络称为特别态网络,网络的状态变量数小于网络中 C、 L 元件总数,下面着重争论常态网络；2状态方程求解状态变量的方程称为状态方程；每个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数；状态方程的特点：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - -
13、 - - - 1 联立的一阶微分方程组；2 左端为状态变量的一阶导数；3 右端含状态变量和输入量 状态方程的标准形式如下：其中,x 称为状态向量,v 称为输入向量；在一般情形下,设电路具有n 个状态变量,m 个独立源,上式中的和 x 为 n 阶向量,A 为方阵,B 为矩阵；上式有时称为向量微分方程；3状态方程的列写1直观列写法适用于简洁的电路；要列出包含项的方程, 必需对只接有一个电容的结点或割集写出 KCL ；要列出包含项的方程, 必需对只包含一个电感的回路列写KVL ；当列出全部这样的 KCL 和 KVL 方程后,通常可以整理成标准形式的状态方程；留意： 对于上述 KCL 和 KVL 方程中显现的非状态变量,只有将它们表示为状态变量后,才能得到状态方程的标准形式；直观编写法的缺点：1编写方程不系统,不利于电脑运算；2对复杂网络的非状态变量的排除很麻烦；2系统列写法 状态方程系统列写法的步骤：1 每个元件为一支路,线性电路以 i L,uc 为状态变量；2选一棵特有树,它的树支包含了电路中全部电容支路、电压源支路；而连支包含了 电路中全部电流源支路和电感支路；名师归纳总结 3对单电容树支割集列写KCL 方程,对单电感连支回路列写KVL 方程； 然后消去第 8 页,共 8 页非状态变量假如有必要,最终整理并写成状态方程的标准形式；- - - - - - -