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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载第五讲 一元一次方程 基础学问 一. 一元一次方程: 只含有一个未知数, 而且这个未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程 . 1. 二. 应用题中常见类型及关系式: ; 行程问题 : 距离 = 速度 时间 ; 2. 工程问题 : 工作总量 = 工作效率 工作时间 3. 浓度问题 : 溶质量 = 浓度 溶液量 ; ; 4. 复制和百分率问题:增量 = 基本量 增长率 5. 分解与合成问题: 含量 = 含有率 体积 ; 6. 质量问题 : 质量 = 密度 体积 ; 7. 作功问题 : 功 = 功率 时间 ; 例题精析 名
2、师归纳总结 例 1. 解方程a3x2b2x38x7第 1 页,共 8 页解: 3 ax2 a2 bx3 b8 x703 a2b8x2 a3 b7 1. 当3 a2b80 时,x2a3 b7是方程唯独的解. 3 a2 b8 2. 当3 a2b80 时,即 3a2 b8 时,有2a3 b73a2 bba7ba1 1 当3 a2 b8 时 ,0即a2 时 ,13 a2 b80ba1b2 a3 b70一切实数都是方程的解. 2 当3 a2 b8 时0, 方程无解 . ba1例 2. 解方程x3x12x1解: 先求使肯定值为零的x 值, 它们是x3 或x,1它们将 x 轴分成三个区间: 1. 当x3 时
3、,x3x12x2 .x3是方程的解 . 2. 当3x1 时,x31x2x2.22, 一切满意3x1的实数都是方- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载程的解 . 3. 当x1 时,x3x12x2,x1 与x1条件冲突 , 所以方程无解 . 综上所述 : 满意 -3 x 1 的一切实数 x 都是方程的解 . 名师归纳总结 例 3. 一个人在河中划船, 在标有 A 游标处遗失了携带的救生圈, 他连续逆流划行了20第 2 页,共 8 页分钟后 , 发觉救生圈失落, 于是倒转船头查找, 结果在 B处找到 , 假如 AB的距离 2千米 , 那么河
4、水的速度是多少. 解: 设船速 y 米/ 分, 河水速度为 x 米/ 分. 依题意 : 20yyxx2000202000x40y20002000yxxy5050yxxyx50yy0x50所以 , 水流速度是50 米/ 分.例 4. 某人沿着电车路旁行走, 留心到每隔6 分钟 , 有一辆电车从他身后开到前面去, 每隔两分钟 , 一辆电车由他对面开过来. 如该的电车的速度始终是匀称的, 问每隔几分钟电车起点站开出一辆电车. 解 1: 设每隔 x 分钟从电车站开过一辆电车, 就人走 6 分钟 , 追来的电车比人晚x 分钟 ,追来的电车走6x分钟 , 人走了2 分钟 , 迎面开 来的电车走了x2分钟
5、, 人行速度与电车的速度比为 :66xx22x3所以 , 每隔 3 分钟从电车起点站发一辆电车. 解 2: 设每 x 分钟从电车站发一辆车, 又设电车速度为1v , 人行速度为v , 就有 : 2 v 1v2xv 1 16 v 1v2xv 12 1 - 2 8 v24 v1,0v 12v2, 代入 1 得x3. 所以 , 每隔 3 分钟发一辆电车. 例 5, 一个工人加工一批零件, 限期完成 , 如每小时做10 个, 就可以超过任务3 个 , 如每小时加工 11 个, 就可以提前1 小时完成 , 他的任务是加工多少个零件.限多少小时 . 解: 设他的任务是加工x 个零件 , 就有- - - -
6、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x3x1优秀学习资料欢迎下载1011x7777 3 810所以 , 他的任务是加工 77 个零件 , 限制 8 小时 . 例 6. 甲, 乙两台打麦机 , 甲机工作效率是乙机的 2 倍, 先用甲机打完麦子的 3 , 然后用5乙机全部打完 , 所需的时间比同时用两台机器全部打完麦子所需时间多 11 天, 问分别用一台机器打完全部麦子各需多少天 . 解 1: 分析 , 如以时间为基准找等量关系 , 可用“ 全量 =部重量之和” 或其推论 . 设甲打完全部麦子用 x 天, 就乙打完全部麦子用 2 x 天. 设全部工作量为 1, 就甲打完全
7、部麦子的 3 所用的时间为 3 x . 乙打其余的麦子所用的5 5时间为 1 3 2 x , 而甲 , 乙两台机器同时打完全部麦子所用的时间为 1 , 所以有 : 5 1 1x 2 x3 3 1x 1 2 x 115 5 1 1x 2 x解得 x 15 天 , 即甲机打完全部麦子需用 15 天, 乙机需用 2x 30 天. 解 2: 如以甲 , 乙两机工作效率为基准找等量关系 , 可设 x 为甲机打完全部麦子所需要天数 , 就乙打完全部麦子所需天数为 2 x .率, 1 1 3是甲 , 乙两机同时工作的效率x 2 x 2 x来, 那么方程也就列出来了 . 1 是甲机的工作效率 x,1为乙机工作
8、的效2x. 假如再能把到两机同时工作的效率表示出依照题意知 , 甲, 乙两机同时工作打完全部麦子所用的时间为名师归纳总结 3230天. 第 3 页,共 8 页5 15 1113x4x1155x2x所以甲 , 乙共同工作的效率为3x1x11455由此可列方程为33x1x11, 解得x15 天, 2x455即甲机打完全部麦子需15 天, 乙机打完全部麦子用2x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载例 7. 甲容器中有纯酒精 11 千克 , 乙容器中有水 15 千克 . 先将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器 , 使酒精溶于水中 , 其次次将乙
9、容器中一部分溶液倒入甲容器 , 这样甲容器中纯酒精含量为 62.5%, 乙容器中纯酒精含量为 25%.问其次次从乙容器倒入甲容器的溶液多少千克. 名师归纳总结 解: 分析要求出其次次从乙容器倒入甲容器有多少千克, 只须求出第一次从甲容器倒第 4 页,共 8 页入乙容器的纯酒精数即可. 设第一次由甲容器倒入乙容器x 千克酒精 , 其次次由乙容器倒入甲容器y 千克溶液 . 由已知得 : 15xx25 %x5 千克 同时甲容器情形, 得: 11xy25%625.%11xy于是有 : 24y152 .5yy6 千克 所以 , 其次次从乙容器中倒入甲容器6 千克溶液 . 例 8. 从两个重量分别为m 千
10、克和 n 千克 . 且含铜百分数不同的合金上, 切下重量相等的两块 . 把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起熔炼后, 两者含铜百分数相同, 问切下的重量是多少千克. 解: 设切下 x 千克 , 又设重 m 千克的铜合金中含铜百分数为q , 重 n 千克的铜合金含铜百分数为q , 依题意有 : xq 1nxq2xq 1mxq2nm解得 : xmn 千克 mn即切下的重量为mn千克 . mn例 9. 一队旅客乘坐汽车, 要求每辆汽车的乘客人数相等. 起初每辆汽车乘22 个人 , 结果剩下一个人未上车; 假如有一辆汽车空车开走, 那么全部乘客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳3
11、2 个人 , 求起初有多少辆汽车.有多少名旅客 . 解: 设起初有汽车m 辆, 开走一辆空车后, 平均每辆车所乘的旅客为n 名. 由于m,2 n32, 依题 意有 : 22m1nm1 n22m112223nm1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 n 为自然数 , 所以231优秀学习资料1欢迎下载123 ,即m2或m24. 为整数 . 因此m1 或mm当 m 2 时 , n 45 不合题意 , 舍去 . 当 m 24 时 , n 23 这时旅客人数为m m 1 23 24 1 529 人 答: 起初有汽车 24 辆, 有乘客 529 人. 例 10.
12、 如进货价降低 8%,而售出价不变 , 那么利润 按进货价而定 可由目前的 p%,增加到 p 10 %, 求 p . 解: 设原进货价为 M, 就下降 8%后的进货价为 1 8 % M 0 . 92 M , 由售价不变 ,列方程 : M 1 0 . 01 p 0 . 92 M 1 0 . 01 p 10 去 M 得: 1 0 . 01 p 0 . 92 1 0 . 01 p 10 解得 p 15 . 练习 1. 解关于 x 的方程 : 4 秒, 求火车的长 1 m x2nn nxm22 1xb 1xa a,b不为零ab2. 设x1y2y10 ,求3y12x 2n1233. 如a,b为定值 ,
13、关于 x 的一次方程2 k3a2xbk6无论 k 取何值 , 它的根总是1, 求a,b的值 . 4. 一列火车通过长1500 米的大桥需要36 秒, 它通过桥头的哨兵需要度. 5. 在环行大路上有一公共汽车站, 每隔肯定时间向两个方向同时发出一辆车, 某人在环行大路上行走 , 每隔 3 分钟就有一辆公共汽车与他迎面相遇 他背后越过 , 问 车站每隔几分钟向各个方向发一辆车 . , 每隔 6 分钟就有一辆公共汽车从名师归纳总结 6. 在甲 , 乙两个容器中分别装有 20 升和 16 升浓度不同的盐水, 假如先从甲 , 乙容器各第 5 页,共 8 页倒出 a 升盐水0a16, 再分别倒入对方的容器
14、内搅匀, 结果两容器的盐水浓度相同, 求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载a 的值 . 7. 现在是 10 点11 点之间的某一时刻 , 在这之后 6 分钟分针的位置与在这之前 3 分钟时针的位置反向成始终线 , 求现在时刻 . 8. 甲, 乙两人今年年龄之和为 63, 当甲的年龄是乙现在年龄的一半时 , 乙恰是甲现在的年龄 , 求 甲 , 乙两人今年各多少岁 . 9. 一小船由 A港到 B 港顺流需行 6 小时 , 由 B 港到 A 港逆流需行 8 小时 . 1 如小船按水流速度由 A 港漂流到 B港需要多少小时 . 2 当小船
15、到 B港时 , 发觉一救生圈在途中掉落在水中 , 立刻返回 ,1 小时后找到救生圈 ,问救生圈是何时掉入水中的 . 10. 某厂去年总产值比总支出多 500 万元 , 而今年方案的总产值比总支出多 950 万元 .已知今年方案总产值比去年增加 15%,而方案总支出比去年削减 10%,求今年方案的总产值和总支出 . 练习解答 名师归纳总结 1. 解. 1 mx2nn nx m21第 6 页,共 8 页mnxmn2当mn0时, 方程有唯独解xmn; 当mn0时, 一切实数都是方程的解, 2 1xb 1xa abab xa2b2当ab0时,xab是方程唯独的解; 当ab0时, 一切实数是方程的解.
16、2. 解 由x1y2y10知: 23x1y即x1, 所以62y1y133 3y12x 2n13112112n1363. 解:x1总是方程的根 , 将x1代入原方程得 : 2 k3a21bk6b4k132a由于对于一切 k 方程总有根1, 所以有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b400即优秀学习资料欢迎下载a13 2132 ab44. 解: 设火车长为 x 米, 依题意列方程 : 1500xx 米 36x4 187 5.答: 火车长为 187.5 米. 5. 解 1： 设某人行走速度为x 米/ 分, 汽车的速度为y米/ 分, 每隔t分钟各发一辆车.依题
17、意列方程 : 解得y3x3 x3yty 16y6xty 2 , 代入 1 得t4. 答: 汽车站每 4 分钟发一辆车 . 解 2：设每隔 x 分钟车站发一辆车, 就人走 6 分钟 , 从后边越过的汽车走了6x 分钟 ;3 分钟 , 人与汽车速度之比为; 人走 3 分钟 , 从前面开来的汽车走了x6xx36 x43答: 车站每隔 4 分钟发一辆车 . 6. 解. 设甲容器中盐水浓度为m , 乙容器中盐水的浓度为n , 就320a man 16a nan20169amn80mnmna8088997. 解: 设现在时刻为10 点 x 分, 再过 6 分钟是 10 点x6分. 由于分种每走1 小格 1
18、 分, 时针走1 小格 ,10 - 12 12之间共 10 小格 , 在这个时间分钟前 , 时针到 12 之间共有10x3小格 , 而时针与分针反向成一条直线, 它们之间共121230 小格 30 分钟 , 所以有10x3x6 301212x15答: 现在是 10 点 15 分. 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载63x 岁时 , 乙8. 解 设甲今年为 x 岁, 就乙今年为63x 岁,并由题意知：当甲为2正好为 x 岁, 以年龄差为等量关系, 列方程为63xxx63x2x2763x36答: 甲今
19、年 27 岁, 乙今年 36 岁. 9. 解 1 设小船由 A漂流到 B需要 x 小时 , 由题意知 : 以船速为等量 11116x8xx48答: 小船由 A 漂流到 B 要 48 小时 . 名师归纳总结 2 设小船由 A 开船后 x 小时救生圈掉落水中, 以题意知 : 15%, 今年方案的总支出是第 8 页,共 8 页6x 115111648 x848答: 小船从 A 开船后 5 小时时救生圈掉落水中. 10. 解设今方案总产值为x 万元 , 就去年总产值是x1x950万元 , 所以去年的总支出为x950 110%x115%500x2300x9501350答: 今年方案总产值为2300 万元 , 方案总支出为1350 万元 . - - - - - - -