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1、福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理 (考试时间：120分钟试卷总分：150分)注意事项：1本试题分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分2答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卷的相应位置上3全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效第I卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂1. 已知为虚数单位，若，则复数的模等于（ ）A.B. C.2D.2有一段 “三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.
2、以上推理中（）A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确3.与所围成的面积为（ ）A.1B.C.D.4. 设，则三个数，( ) A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于25. 若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为( ) A. B. C. D.6. 用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（ ）A.B.C.D.7.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A.21B. C.7D.8.双曲线上一点到它的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为（ ）A.3B.5C.7D.99. 由0，1，2，3组成无
3、重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有（ ）A.6 个B.8个C.10个D.12个10.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是.由可推出（ ）A.71 B.72C.73D.7411.五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有（ ）种. A.90B.60C.150D.12512. 若函数在上为增函数，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.第卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卷的相应位置13.函数的单调递增区间是_14.设曲线在原点处
4、切线与直线垂直，则_. 15.已知，则 _16.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.函数，在处与直线相切（1）求的值；（2）求在上的最大值18.如图，在三棱柱中，. （1）证明：；（2）求二面角的大小. 19. 已知椭圆，为椭圆的左右焦点，过点直线与椭圆分别交于，两点，的周长为8，且椭圆离心率为（1）求椭圆的方程；（2）求当面积为3时直线的方程20.已知某公司为郑州园博园生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内
5、共生产该特许商品工千件并全部销售完;每千件的销售收入为万元，且.(1)写出年利润 (万元关于该特许商品(千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大? 21. 已知直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，若两条切线互相垂直且交于点. （1）证明：直线恒过定点；（2）若直线的斜率为1，求点的坐标. 22.已知函数 （1）讨论函数的极值点的个数；（2）若有两个极值点、，证明：一、单选题1.【答案】 D 【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模【解析】【解答】，故答案为：D.【分析】利用复数的混合运算求出所求复数的代数式，再利用复数的实部和虚部结合复
6、数求模公式求出复数的模。2.【答案】A 【解析】试题分析：大前提是：“对于可导函数，如果，那么是函数的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数，如果，且满足当xx0时和当xx0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，大前提错误，故选A3.【答案】 C 【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】解：曲线y=x3和曲线y=x的交点为A（1，1）和原点O（0，0）由定积分的几何意义，可得所求图形的面积为S= = = = 故选：C【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数xx2在区间0，1上的定积分的值，再用定积分计算公式加以计算，即可得到本题答案4.【答案】
7、 C 【考点】反证法【解析】【解答】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又 ( )( )( )2226，当且仅当xyz时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.故答案为:C.【分析】选项中都有反面语句,可用反证法,得到正确选项.5.【答案】 C 【考点】直线的斜率，抛物线的标准方程【解析】【解答】将坐标代入抛物线方程得，故焦点坐标，直线的斜率为，故答案为：C.【分析】将坐标代入抛物线方程可得，即可得直线的斜率 .6.【答案】 C 【考点】数学归纳法，数学归纳法的证明步骤【解析】【解答】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，应增加的项数为2k故
8、答案为：C【分析】对比n=k,和n=k+1时,末项的区别,得到应增加的项数.7.【答案】A 【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】解：令，则，解得：，由二项展开式公式可得项为：，所以系数为21.故答案为：A.【分析】赋值法求二项展开式系数之和，再由展开式的通项公式求得的系数。8.【答案】 D 【考点】双曲线的定义【解析】【解答】双曲线化为，可得，设到另一个焦点的距离为，根据双曲线的定义可得，即点到另一个焦点的距离等于，故答案为：D.【分析】将双曲线的方程转化为标准方程，求出a和b，结合双曲线的定义，即可求出点到另一个焦点的距离.9.【答案】B 【考点】排列、组合的实际应用【解析】
9、【解答】解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：其中数字0，2相邻的四位数有： 则0与2不相邻的四位数有。故答案为：B【分析】先计算由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数的个数，然后计算其中数字0，2相邻的四位数的个数，两者相减，即可得出答案。10.【答案】A 【考点】归纳推理【解析】【解答】由图可知， 故答案为：A.【分析】通过f（1），f（2），f（3）归纳f（n），即可写出f（10）.11.【答案】 A 【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】第一步：把5名游客分为三组，其中两组是2人，一组是一人，共种; 第二步：把三组进行全排列，共有种，不同的游览方法有156
10、90种故答案为：A【分析】先把5名游客分为三组，利用排列组合求出种数，再把三组进行全排列，利用分两步计数原理，即可求出结果.12.【答案】 D 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】依题意可得对恒成立，令t=x+1 即对恒成立.设， .当时，解得 .当时， ， 对恒成立.综上，的取值范围为 .故答案为：D【分析】由函数在上为增函数，可得对恒成立，可得的取值范围.二、填空题13.【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】因为，所以，令，解得，即函数的单调递增区间为 .【分析】求导数，令导数大于0，解不等式，即可求出函数的单调递增区间.14.【
11、答案】1 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由得，在原点处的切线的斜率 ，直线的斜率，又该切线与直线垂直，所以，故答案为1.【分析】对函数求导，求出在原点处的斜率，进一步求.15.【答案】【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】令，得；令，得；两式相加得【分析】先利用赋值法，分别令和，再把得到的两式相加，即可求出结果.16. 【解析】【解答】双曲线C： 1（a0b0）的一条渐近线方程为y x，点F2到渐近线的距离d b，即|PF2|b，|OP| a，cosPF2O ，|PF1| |OP|，|PF1| a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F
12、1F2|22|PF2|F1F2|COSPF2O，6a2b2+4c22b2c 4c23b24c23（c2a2），即3a2c2，即 ac，e ，三、解答题17.【答案】（1）解：由函数在处与直线相切，得，即，解得：（2）解：由（1）得：，定义域为此时，令，解得，令，得所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的极大值为【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）先求导，再由已知在处与直线相切列式，即可求出a的值.（2）先由（1）得到函数，再求导，利用导数的单调性，即可求出在闭区间上的最大值.18.【答案】（1）证明：因为平面，所以，因为，所以，又，所以平
13、面 .（2）解：以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，所以，取，则 .又平面，取平面的法向量，所以 .由图可知，二面角为钝角，所以二面角为 .【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）首先根据题意得出，再利用线面垂直的判定即证。（2）根据题意以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，进而求得平面的法向量以及平面的法向量，根据两法向量之间的夹角余弦值从而得出二面角的大小。19.【答案】（1）由由的周长为8可知：，又 =3椭圆的方程为；（2）由题知,直线的斜率不为0,可设直线的方程为 , ，由消得的面积= 即，解得m=0,当的
14、面积为3时直线MN的方程为x=1.【考点】直线的一般式方程，椭圆的标准方程，椭圆的应用【解析】【分析】(1)利用椭圆的定义结合三角形的周长公式求出a 的值，再利用离心率公式求出c 的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出b 的值，从而求出椭圆的标准方程。 (2)利用椭圆的标准方程求出椭圆的右焦点，再利用直线过右焦点，设出直线的点斜式方程，再利用直线与椭圆相交联立二者方程求出交点坐标，即M,N 的坐标，再利用交点坐标和椭圆右焦点坐标，结合与这三个点坐标和三角形面积公式，借助三角形面积的已知条件求出直线的斜率，从而求出直线的点斜式方程，再转化为直线的一般式方程。20.【答案】解：（I）当时，当
15、时，（II）当时，由当 当时，W取最大值，且当时，W=98 当且仅当综合、知时，W取最大值所以当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】（1）根据利润计算公式，即可得出解析式。（2）对W的解析式求导，结合导函数和原函数单调性的关系，判断最值。21.【答案】（1）证明：易知直线的斜率存在，设直线， . 由得，所以， .由，得，所以，所以直线的斜率为，直线的斜率为 .因为，所以，即，所以，得，所以直线，故直线恒过定点（2）解：由（1）得直线的斜率为1时， . 直线的方程为，即，同理直线的方程为，即，上面两
16、式联立得，所以点的坐标为，即【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）首先假设直线，联立直线方程与抛物线方程，根据函数的导函数求得出切线的斜率，再利用斜率乘积转化求证直线恒过定点。（2）根据（1）所得，得出，进而求得出直线AM的方程以及直线BM方程，转化求解出点M的坐标。22.【答案】（1）解：由得，（）时， ，所以取得极小值，是的一个极小值点（）时，令，得显然，所以，在取得极小值，有一个极小值点 （）时，时，即在是减函数，无极值点当时，令，得当和时，时，所以在取得极小值，在取得极大值，所以有两个极值点综上可知：（）时，仅有一个极值点；（）当时，无极值点；（）当时，有两个极值点（2）解：由（）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且是方程的两根，所以， ，设，所以时，是减函数，则所以得证【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）求导数，根据导数判定函数的单调性，对实数a的取值分类讨论，即可确定函数的极值点个数；（2）求导数，结合极值存在的条件，根据一元二次方程根与系数的关系，即可证明相应的不等式.