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1、专题限时集训(十三)圆锥曲线中的综合问题(对应学生用书第143页) 建议用时：45分钟1已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，右顶点A(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)过点M的直线l交椭圆于B，D两点，设直线AB的斜率为k1，直线AD的斜率为k2，求证：k1k2为定值，并求此定值解(1)由题意得解得所以C的方程为y21.4分(2)证明：由题意知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为xmy，与y21联立得(m24)y23my0，6分由0，设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1y2，y1y2，8分k1k2，k1k2为定值，定值为.15分2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭
2、圆的短半轴长为半径的圆与直线xy120相切(1)求椭圆C的方程；(2)设A(4,0)，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由解(1)由题意得故椭圆C的方程为1.4分(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为xmy3，由(3m24)y218my210，y1y2，y1y2.6分由A，P，M三点共线可知，yM.8分同理可得yN，k1k2.10分(x14)(x24)(my17)(my27)m2y1y27m(y1y2)49，
3、k1k2.14分k1k2为定值.15分3(2017杭州高级中学高三最后一模)已知抛物线C1：x22py(p0)与圆C2：x2y28的两个交点之间的距离为4，A，B为抛物线C1上的两点(1)求p的值；(2)若C1在点A，B处切线垂直相交于点P，且点P在圆C2内部，直线AB与C2相交于C，D两点，求|AB|CD|的最小值图136解(1)由题易得抛物线与圆的两个交点坐标为(2,2)，(2,2)，则代入x22py得p1.5分(2)设A，B，又x2y1，则PA的斜率为y1x1.同理PB的斜率为y2x2，所以x1x21，两切线为yx1xx，yx2xx，交点为P，8分点P在圆内得xx33，直线AB为yx过抛
4、物线的焦点，|AB|p(xx2)，10分设d为圆心到直线AB的距离，则|AB|CD|(xx2)2，d，13分txx24,35)，则|AB|CD|，最小值为2.15分4已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.(1)求椭圆的方程；图137(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围 【导学号：68334134】解(1)由题意可设椭圆方程为1(ab0)，则(其中c2a2b2，c0)，且1，故a2，b1.所以椭圆的方程为y21.4分(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：ykxm(m0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(14k2)x28kmx4(m21)0，5分则64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，且x1x2，x1x2.6分故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，7分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以k2，即m20.8分又m0，所以k2，即k.9分由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22，且m21.设d为点O到直线l的距离，则d，10分|PQ|，11分所以S|PQ|d1(m21)，故OPQ面积的取值范围为(0,1).15分