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1、专项限时集训(五)复杂数列的通项公式与求和问题(对应学生用书第121页)(限时：60分钟)1(本小题满分14分)Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前1 000项和. 【导学号：56394103】解(1)设an的公差为d，据已知有721d28，解得d1.所以an的通项公式为ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.6分(2)因为bn所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893.14分2(本小题满分14分)已知数列an
2、的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，满足上式，所以an6n5.设数列bn的公差为d.由即可解得所以bn3n1.6分(2)由(1)知cn3(n1)2n1，又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.14分3(本小题满分14分)(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知数列an的前n项和为An，对任意
3、nN*满足，且a11，数列bn满足bn22bn1bn0(nN*)，b35，其前9项和为63.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令cn，数列cn的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn2na，求实数a的取值范围；(3)将数列an，bn的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，b6，求这个新数列的前n项和Sn.解(1)，数列是首项为1，公差为的等差数列，A1(n1)n，即An(nN*)，an1An1Ann1(nN*)，又a11，ann(nN*)，bn22bn1bn
4、0，数列bn是等差数列，设bn的前n项和为Bn，B963且b35，b79，bn的公差为1，bnn2(nN*).4分(2)由(1)知cn22，Tnc1c2cn2n22n22n32，Tn2n32，设Rn32，则Rn1Rn20，数列Rn为递增数列，(Rn)minR1，对任意正整数n，都有Tn2na恒成立，a.8分(3)数列an的前n项和An，数列bn的前n项和Bn.当n2k(kN*)时，SnAkBkk23k；当n4k1(kN*)时，SnA2k1B2k4k28k1，特别地，当n1时，S11也符合上式；当n4k1(kN*)时，SnA2k1B2k4k24k.综上，Sn14分4(本小题满分16分)已知an是
5、各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN*，bn是an和an1的等比中项(1)设cnbb，nN*，求证：数列cn是等差数列；(2)设a1d，Tn (1)kb，nN*，求证： .证明(1)由题意得banan1，cnbban1an2anan12dan1.因此cn1cn2d(an2an1)2d2，所以cn是等差数列.6分(2)Tn(bb)(bb)(bb)2d(a2a4a2n)2d2d2n(n1).10分所以 .16分5(本小题满分16分)已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn1qSn1，其中q0，nN*.(1)若2a2，a3，a22成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲
6、线x21的离心率为en，且e2，证明：e1e2en. 【导学号：56394104】解(1)由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，两式相减得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2qa1，故an1qan对所有n1都成立，所以数列an是首项为1，公比为q的等比数列从而anqn1.由2a2，a3，a22成等差数列，可得2a33a22，即2q23q2，则(2q1)(q2)0.由已知，q0，故q2.所以an2n1(nN*).8分(2)证明：由(1)可知，anqn1，所以双曲线x21的离心率en.由e2解得q.因为1q2(k1)q2(k1)，所以qk1(kN*)于是e1e2en1qqn1，故e1e2en.16分