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圆梦教育中心 立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究
1 球与柱体
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1.1 球与正方体
如图1所示，正方体,设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心。
常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；
二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；
三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.
通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 。
例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）
A． B． C． D．
1.2 球与长方体
长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径
例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )
A. B.4π C. D.
1.3 球与正棱柱
球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。设正三棱柱的高为，底面边长为，如图2所示，和分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高的中点，，借助直角三角形的勾股定理，可求。
例3 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .
2 球与锥体
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
2.1 球与正四面体
正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。
如图4，设正四面体的棱长为，内切球半径为，外接球的半径为，取的中点为，为在底面的射影，连接为正四面体的高。在截面三角形,作一个与边和相切，圆心在高上的圆，即为内切球的截面。
因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为。此时， 则有解得：这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.
例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )
A. B. 2+ C. 4+ D.
球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.]
2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥
球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：
一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图5，三棱锥的外接球的球心和正方体的外接球的球心重合，设，则。
二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，（为长方体的体对角线长）。
例5 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。
2.3 球与正棱锥
球与正棱锥的组合，常见的有两类，
一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.
二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
例6 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的
角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B. C. 4 D.
2.4 球与特殊的棱锥
球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行求解。
例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。
如图8，三棱锥,满足面，，取的中点为，由直角三角形的性质可得：,所以点为三棱锥的外接球的球心,则.
例7 矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是( )
A. B. C. D.
3 球与球
对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.
例8 在半径为的球内放入大小相等的4个小球，则小球的半径的最大值为（）
4 球与几何体的各条棱相切
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.
如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.
例8 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）
A. B. C. D.
综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.
外接球内切球问题
1. （陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
答案 B
2. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。
解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.
3．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 ．
答案 8
4.表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A． B． C． D．
答案 A
【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A。
5.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）
A.2 B. C. D.
答案 D
6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A. 1∶ B. 1∶3 C. 1∶3 D. 1∶9
答案 C
7.（海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 ．
答案
8. （天津理）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
答案
9.（全国Ⅱ理）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.
答案
A
B
C
P
D
E
F
10.（辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是________．
答案
11.（辽宁省抚顺一中）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .
答案
12.（枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）
A． B．
C． D．以上都不对
答案C
13.(吉林省吉林市)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A． B．2π C．4π D．
答案C
14（新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
15．（辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2正方形.若PA=2,则△OAB的面积为______________.
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