《2022年江苏省南通市如皋市年高考数学一模试卷含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年江苏省南通市如皋市年高考数学一模试卷含解析.docx（42页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷一、填空题（共 14 小题,每道题 5 分,满分 70 分）1设全集 U= x| x3,xN ,集合 A= x| x210,xN ,就 .UA=2复数 z=（i 为虚数单位）的共轭复数是3抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6）,就大事 “向上的数字为奇数或向上的数字大于 4”发生的概率为4如下列图的流程图,当输入 n 的值为 10 时,就输出的 S 的值为5已知等差数列 an 的前 11 项的和为 55,a10=9,就 a14=6如点（ x,y）位于曲线 y=| 2x 1| 与 y=3 所围
2、成的封闭区域内（包含边界）,就 2x y 的最小值为7已知棱长为 1 的正方体 ABCD A 1B1C1D1中, M 是棱 CC1的中点,就三棱锥 A1ABM 的体积为8已知圆 C 过点（2,）,且与直线 xy+3=0 相切于点（ 0,）,就圆 C 的方名师归纳总结 程为第 1 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9已知 F1、F2 分别是双曲线=1 的左、右焦点,过 F2作 x 轴的垂线与双曲线交于 A、B 两点, G 是 ABF 1的重心,且.=0,就双曲线的离心率为10已知三角形 ABC 是单位圆的内接三角形, AB=AC=1 ,过
3、点 A 作 BC 的垂线交单位圆于点 D,就 . =11已知函数 f（x）=,就不等式 f（x 2 2）+f（x） 0 的解集为12将函数 f（x）=2cos2x的图象向右平移 （0）个单位后得到函数 g（x）的图象,如对满意 | f（x1） g（x2）| =4 的 x1、x2,有 | x1 x2| min=,就 =13已知函数 f（x）=（x 1）e x ax 2,如 y=f（cosx）在 x 0, 上有且仅有两个不同的零点,就实数 a 的取值范畴为14设实数 x、y 满意 4x 2 2 xy+4y 2=13,就 x 2+4y 2 的取值范畴是二、解答题（共 6 小题,满分 90 分）15（
4、14 分）如图,直三棱柱 中点ABC A 1B1C1中, AA 1=AB ,AB BC,且 N 是 A 1B 的（1）求证：直线 AN 平面 A1BC；（2）如 M 在线段 BC1上,且 MN 平面 A 1B1C1,求证： M 是 BC1 的中点16（14 分）在 ABC 中,已知 cosC+（cosA（1）求角 B 的大小；（2）如 sin（A）=,求 sin2CsinA）cosB=0名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 17（15 分）如图,矩形公园OABC 中,OA=2km,OC=1km,公园的左下角阴影部分为以
5、 O 为圆心,半径为1km 的圆面的人工湖,现方案修建一条与圆相切的观光道路EF（点 E、F 分别在边 OA 与 BC 上）, D 为切点（1）试求观光道路 EF 长度的最大值；（2）公园方案在道路 EF 右侧种植草坪,试求草坪 ABFE 面积 S 的最大值18（15 分）如图,已知 F 为椭圆 + =1 的左焦点,过点 F 且相互垂直的两条直线分别交椭圆于 A、B 及 C、D（1）求证： +为定值；于点 P,摸索究四边形OAPB 能否为平行四边形,并（2）如直线 CD 交直线 l：x=说明理由19（16 分）已知函数 f（x）=lnx,g（x）=（aR）（1）如 a=2,求证： f（x）g（
6、x）在（ 1,+）恒成立；（2）争论 h（x）=f（x） g（x）的单调性；名师归纳总结 （3）求证：当 x0 时, f（x+1）第 3 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20（16 分）已知数列 an 的通项公式为 an=2n （ 1）n,nN*（1）在数列 an 中,是否存在连续 如不存在,说明理由；3 项成等差数列？如存在,求出全部符合条件的项,（2）试证在数列 an 中,肯定存在满意条件 1rs 的正整数 r、s,使得 a1、ar、as成 等差数列；并求出正整数 r、s 之间的关系；（3）在数列 an 中是否存在某 4 项成等差
7、数列？如存在, 求出全部满意条件的项； 如不 存在,说明理由附加题21（10 分）已知 a、b 是实数,矩阵 M=点 P（ 1, + 1）（1）求实数 a、b 的值；（2）求矩阵 M 的逆矩阵 N所对应的变换 T 将点（ 2,2）变成了22（10 分）已知曲线 C1的极坐标方程为 2 4 cos 4=0,曲线 C2 和曲线 C1 关于直线 = 对称,求曲线 C2 的极坐标方程23（10 分）甲、乙、丙三名同学参与唱歌、围棋、舞蹈、阅读、游泳 5 个课外活动,每个同学彼此独立地挑选参与3 个活动,其中甲同学喜爱唱歌但不喜爱下棋,所以必选唱歌,不选围棋,另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2 个,同学乙和
8、丙从5 个课外活动中任选 3 个（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设 X 表示参与舞蹈的同学人数,求X 的分布列及数学期望24（10 分）已知集合 A= a1,a2, an（nN *）,规定：如集合 A 1A 2 A m=A（m2,mN *）,就称 A 1,A 2, ,A m 为集合 A 的一个分拆,当且仅当：A 1=B1,A 2=B2, A m=Bm 时, A 1,A 2, ,A m 与 B1,B2, ,Bm 为同一分拆,全部不同 的分拆种数记为 fn（m）例如：当 n=1,m=2 时,集合 A= a1 的全部分拆为： a1 a1 , a1 .,. a3 ,即 f
9、1（2）=3（1）求 f 2（2）；（2）试用 m、n 表示 fn（m）；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）证明：fn（i）与 m 同为奇数或者同为偶数（当i=1 时,规定 f n（1）=1）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题,每道题 5 分,满分 70 分）1设全集 U= x| x3,xN ,集合 A= x| x210,xN ,就 .UA=
10、 3 【考点】 补集及其运算【分析】 求出 A 中不等式的解集,列举出解集中的自然数解确定出 A,求出 A 的补集 即可【解答】 解：全集 U= x| x3,xN ,A= x| x210,xN = x| x,xN ,.UA= x| 3x,xN = 3 ,故答案为： 3【点评】 此题考查了补集及其运算,娴熟把握补集的定义是解此题的关键2复数 z=（i 为虚数单位）的共轭复数是【考点】 复数代数形式的乘除运算【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】 解： z=, =故答案为：【点评】 此题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题3抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字
11、1,2,3,4,5,6）,就大事 “向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为【考点】 列举法运算基本领件数及大事发生的概率【分析】 分别求出 P（向上的数字为奇数）,p（向上的数字大于 4）,p（向上的数字 为奇数且向上的数字大于 4）,从而求出向上的数字为奇数或向上的数字大于 4”发生的 概率即可名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解答】 解： P（向上的数字为奇数或向上的数字大于 4）=P（向上的数字为奇数） +p（向上的数字大于字大于 4）= +=,故答案为：4） p（向上的数字为奇数且向上的数【点评
12、】 此题考查了古典概型问题,是一道基础题4如下列图的流程图,当输入n 的值为 10 时,就输出的 S 的值为30【考点】 程序框图【分析】由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为n2,模拟程序的运行结果,即可得到输出的S 值【解答】 解：模拟程序的运行,可得n=10,S=0 不满意条件 n2,执行循环体, S=10,n=8不满意条件 n2,执行循环体, S=18,n=6不满意条件 n2,执行循环体, S=24,n=4 不满意条件 n2,执行循环体, S=28,n=2 不满意条件 n2,执行循环体, S=30,n=0 满意条件 n2,退出循环,输出 S 的值为 30故答案为： 30【点评】
13、 此题考查的学问点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行治理,属于基础题名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5已知等差数列 an 的前 11 项的和为 55,a10=9,就 a14=13【考点】 等差数列的前 n 项和【分析】 利用等差数列的前 能求出第 14 项n 项和公式和通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此【解答】 解：等差数列 an 的前 11 项的和为 55,a10=9,解得 a1=0,d=1,a14=a1+13d=0+13=13故
14、答案为： 13【点评】 此题考查数列的第 列的性质的合理运用14 项的求法,是基础题,解题时要仔细审题,留意等差数6如点（ x,y）位于曲线 y=| 2x 1| 与 y=3 所围成的封闭区域内（包含边界）,就 2x y 的最小值为 5【考点】 简洁线性规划【分析】 作出不等式组对应的平面区域,设 论z=2x y,利用 z 的几何意义,即可得到结【解答】 解：作出曲线 y=| 2x 1| 与 y=3 所围成的封闭区域内（包括边界）如图：设 z=2x y,就 y=2x z,平移直线 y=2x z,名师归纳总结 由图象可知当直线y=2x z 经过点 A 时,直线 y=2x z 的截距最小,此时z 最
15、大,第 8 页,共 28 页由,解得 A（ 1,3）,此时 z= 2 1 3= 5,故答案为：5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【点评】 此题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决此题的关键7已知棱长为 1 的正方体 ABCD A 1B1C1D1中, M 是棱 CC1的中点,就三棱锥 A1ABM 的体积为【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】 三棱锥 A 1 ABM 的体积为,由此能求出结果【解答】 解：棱长为 1 的正方体 ABCD A 1B1C1D1 中,M 是棱 CC1 的中点,三棱锥 A 1 ABM 的体积为：名师归纳总结 故答案为：=
16、第 9 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【点评】 此题考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要仔细审题,留意等体积法 的合理运用8已知圆 C 过点（2,）,且与直线xy+3=0 相切于点（ 0,）,就圆C的方程为（x 1）2+y 2=4【考点】 直线与圆的位置关系【分析】 设出圆心坐标,利用知圆 C 过点（ 2,）,且与直线 xy+3=0 相切于点（0,）,结合斜率公式,求出圆心与半径,即可求圆的方程【解答】 解：设圆心为（ a,b）,就,解得 a=1,b=0,r=2即所求圆的方程为（ x 1）2+y2=4,故答案为（ x 1）2+
17、y 2=4【点评】 此题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,正确求出圆心坐标与半径是关 键9已知 F1、F2 分别是双曲线=1 的左、右焦点,过 F2作 x 轴的垂线与双曲线交于 A、B 两点, G 是 ABF 1的重心,且.=0,就双曲线的离心率为【考点】 双曲线的简洁性质【分析】 设 F1（ c,0）,F2（c,0）,将 x=c 代入双曲线的方程,可得 A,B 的坐标,再由三角形的重心坐标公式,求得 G 的坐标,得到,的坐标,运用向量数量积的坐标表示,可得 a,b,c 的方程,由离心率公式,解方程可得【解答】 解：设 F1（ c,0）, F2（c,0）,名师归纳总结 令 x=c 代入双曲
18、线的方程,可得y2=b 2.（ 1）=,第 10 页,共 28 页解得 y=,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可设 A（c,）, B（c,）,由重心坐标公式可得xG=c；yG=0,即 G（c,0）,=（c,）,=（2c,）,由.=c.2c+（）.（）=0,即 4a 2c 2=3b 4,即为 2ac= b 2=（c 2 a 2）,由e=,可得 e 2 2e=0,解得e=故答案为：【点评】 此题考查双曲线的离心率的求法,留意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示,考查化简整理的运算才能,属于中档题10已知三角形 ABC 是单位圆的内接三角形, AB=A
19、C=1 ,过点 A 作 BC 的垂线交单位圆于点 D,就.=【考点】 平面对量数量积的运算【分析】 由题意画出图形,利用平面对量的坐标运算得答案【解答】 解：由题意作图如下,就 A（ 1,0）, B（,）,C（,）, D（1,0）名师归纳总结 =第 11 页,共 28 页故答案为：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【点评】此题考查平面对量的数量积运算, 考查了数形结合的解题思想方法,是中档题11已知函数 f（x）=,就不等式 f（x2 2）+f（x）0 的解集为（ 2,1）【考点】 其他不等式的解法【分析】 画出函数 f（x）的,可知 f（x）是定义域
20、为 不等式 f（x 2 2）+f（x）0 的解集【解答】 解：函数 f（x）=,其图象如下：f（x）是定义域为 R 的奇函数也是增函数,不等式 f（x 2 2）+f（x）0,. f（x 2 2） f（ x）等价于 x 2 2 x,解得： 2x1,原不等式的解集为（2,1）故答案为：（2,1）R 的奇函数也是增函数,即可求【点评】 此题考查不等式的解法,利用了函数的奇偶性和单调性,考查运算才能,属于 基础题名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12将函数 f（x）=2cos2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x
21、）的图象,如对满意 | f（x1） g（x2）| =4 的 x1、x2,有 | x1 x2| min=,就 =【考点】 函数 y=Asin（ x+）的图象变换【分析】 由题意求出 g（x）的解析式,对满意 | f（x1） g（x2）| =4 的 x1、x2有| x1x2| min=,即两个函数的最大值与最小值的差为 4 时,有| x1 x2| min=,不妨设 x1=0,就 x2=,依据 0,可得 的值【解答】 解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移 （0）个单位后得到函数g（x）=2cos（2x 2）,对满意 | f（x1）g（x2）| =4的x1、x2,有 | x1x2| min=
22、,即两个函数的最大值与最小值的差为 4 时,有 | x1 x2| min=,不妨设 x1=0,就 x2=,0,如 x1=0,x2=,此时 g（x2）=2cos（2x2 2）= 2,解得 =（舍去）如x1=0,x2=,此时 g（x2）=2cos（2x2 2）= 2,解得 =,满意题意 的值为故答案为【点评】 此题主要考查了三角函数的平移,函数的最值以及周期的运用,考查了分析能力属于中档题13已知函数 f（x）=（x 1）e x ax 2,如 y=f（cosx）在 x 0, 上有且仅有两个不同的零点,就实数a 的取值范畴为a【考点】 利用导数争论函数的极值；函数零点的判定定理【分析】求出函数的导数
23、, 判定函数的极值点, 利用函数的零点列出不等式组求解即可名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解答】 解：函数 f（x）=（x 1）e x ax 2,可得 f （x）=x（e x 2a）,令 x（e x 2a）=0 可得, x=0 或 e x=2a,当 a0 时,函数只有一个零点,并且 x=0 是函数的一个微小值点,并且f（0）=10,如y=f（cosx）在x 0, 上有且仅有两个不同的零点,也就是如 y=f（x）在 x 1,1 上有且仅有两个不同的零点,可得：,即,可得 a当 a0 可得：函数两个极值点为：0,
24、可知不满意题意；x=0,x=ln（2a）,假如 ln（2a） 0,由于 f（0）假如 ln（2a）0,必有可得：,即,可得 a与 a0 矛盾；综上： a故答案为： a【点评】 此题考查函数的导数的综合应用,函数的极值的求法,考查分类争论思想以及转化思想的应用,考查运算才能14 设 实 数x 、 y满 足4x 2 2xy+4y 2=13 , 就x2+4y2 的 取 值 范 围 是【考点】 基本不等式【 分 析 】 设 x2+4y 2=t2, 就 x=tcos , y=tsin , 代 入4x 2 2xy+4y2=13, 可 得t2=,利用三角函数的单调性即可得出【解答】 解：设 x 2+4y2=
25、t2,就 x=tcos ,y=tsin ,4x 2 2xy+4y 2=13,名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - t2=,= 1 时, t 2 取得最小值：=10 4；=1 时,t2 取得最大值：=10+4综上可得： t 2即 x 2+4y 2 的取值范畴是故答案为：【点评】 此题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性,考查了推理才能与运算才能,属于难题二、解答题（共 6 小题,满分 90 分）15（14 分）（ 2022.如皋市一模）如图,直三棱柱BC,且 N 是 A 1B 的中点（1）求证：直线 A
26、N 平面 A1BC；ABC A 1B1C1 中, AA 1=AB ,AB（2）如 M 在线段 BC1上,且 MN 平面 A 1B1C1,求证： M 是 BC1 的中点【考点】 平面与平面垂直的判定【分析】 （1）证明 AN BC,AN A 1B,即可证明直线AN 平面 A1BC；（2）证明 MN A 1C1,利用 N 是 A 1B 的中点,可得结论【解答】 证明：（ 1）直三棱柱 ABC A1B1C1,名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - AA 1平面 ABC ,BC. 平面 ABC ,AA 1BC,ABBC,AA
27、1AB=A ,BC平面 A 1AB , （3 分）AN. 平面A1AB ,ANBC,AA 1=AB,且 N 是 A 1B 的中点,ANA 1B,A1BBC=B,直线 AN 平面 A 1BC （7 分）（2）证明： MN 平面 A 1B1C1,MN A 1C1,N 是 A 1B 的中点,M 是 BC1 的中点 （14 分）【点评】 此题考查线面垂直的判定与性质,考查线面平行的性质,考查同学分析解决问题的才能,属于中档题16（14 分）（2022.如皋市一模）在ABC 中,已知 cosC+（cosAsinA）cosB=0（1）求角 B 的大小；（2）如 sin（A）=,求 sin2C【考点】 三角
28、函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值【分析】 （1）利用三角形内角和定理消去C,化简可得 B 的大小（2）利用换元法,把 A 换出来,与三角形内角和定相结合,把 C 表示出来即可求值【解答】 解：（ 1）由 cos C+（cos Asin A）cos B=0,依据三角形内角和定理消去 C,就 cos C+（cos Asin A）cos B= cos（A+B）+（cos Asin A）cos B= cosA cosB+sinA sinB+cosA cosBsinA cosB=sinA sinBsinA cosB=0；由 sin A0,就有 tanB=B（ 0,）,名师归纳总结 - - - -
29、 - - -第 16 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故得 B=（2）sin（A）=,）=sin（2t+）=sin2t+cos2t,令 A=t,即 sint=,就 A=,那么： sin2C=sin2（ A B）=sin2（由,sint=,cost= ,sin2t=2sintcost=,cos2t=故得 sin2C=【点评】 此题主要考查了三角形内角和定理和二倍角,两角和与差的公式的敏捷运用和化简运算才能属于中档题17（15 分）（ 2022.如皋市一模）如图,矩形公园OABC 中,OA=2km,OC=1km,公园的左下角阴影部分为以 O 为圆心,半径为 1km
30、 的 圆面的人工湖,现方案修建一条与圆相切的观光道路 EF（点 E、F 分别在边 OA 与 BC 上）, D 为切点（1）试求观光道路 EF 长度的最大值；名师归纳总结 （2）公园方案在道路EF 右侧种植草坪,试求草坪ABFE 面积 S 的最大值第 17 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】 （1）求出 DOF=,分别求出 DE,DF,从而求出 EF 的表达式,求出EF 的最大值即可；（2）求出 S=S 矩形 OABC S 梯形 OEFC的表达式, 求出函数的导数, 依据函数的单调性求出
31、S的最大值即可【解答】 解：（ 1）设 DOE=,由于点 E、F 分别在边 OA 与 BC 上,所以 0,就 DOF=,=,在 Rt DOE 中, DE=tan,）=在 Rt DOF 中, DF=tan（EF=DE+DF=tan+=,名师归纳总结 0,）,第 18 页,共 28 页当 =时, cos min=,EFmax=2；（2）在 Rt DOE 中,OE=,由（ 1）可得 CF=DF=,S=S 矩形 OABC S梯形 OEFC=2+（0S =,令 S0,解得： 0,（0,）（,）S+0S极大值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 S 在 （ 0,
32、 时有且仅有一个极大值,因此这个极大值也即 S 的最大值当 = 时, Smax=2；答：（ 1）观光道路 EF 长度的最大值为 2km；（2）草坪面积 S 的最大值为 2km【点评】 此题考查了函数的单调性、最值问题,考查三角函数的性质,是一道中档题18（15 分）（ 2022.如皋市一模）如图,已知F 为椭圆+=1 的左焦点,过点F且相互垂直的两条直线分别交椭圆于 A、B 及 C、D（1）求证： + 为定值；（2）如直线 CD 交直线 l：x=于点 P,摸索究四边形 OAPB 能否为平行四边形,并说明理由【考点】 直线与椭圆的位置关系【分析】 （1）当直线 AB 、CD 有一平行于 x 轴时
33、, +=,当直线 AB 、CD 都不平行于 x 轴时,设 A（x1,y1）, B（x2,y2）,直线 AB：y=k（x+1）,就直线 CD：名师归纳总结 y=（x+1）,将直线直线 AB 与椭圆方程联立,得（ 3+4k 2）x2+8k 2x+4k 2第 19 页,共 28 页 12=0,由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB ,同理求出CD ,由此能证明=- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）假设四边形 OAPB 是平行四边形,即,此时直线 AB 、CD 都不平行于 x 轴P（,）,就=（x1, y1）,=（,）,推导出,无解,由此得到四边形 OAPB
34、 不行能是平行四边形【解答】 证明：（ 1）当直线 AB 、CD 有一平行于 x 轴时,+=, （2 分）当直线 AB 、CD 都不平行于 x 轴时,设 A（x1,y1）,B（x 2,y2）,直线 AB ：y=k（x+1）,就直线 CD：y=（x+1）,将直线直线AB 与椭圆方程联立,整理,得（ 3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2 12=0,x1+x2=,x1x2=AB= | x1x2| = =,同理： CD=, （6 分）= = =综上：=故 + 为定值 （8 分）（2）假设四边形 OAPB 是平行四边形, 即,此时直线 AB 、CD 都不平行于 x 轴由（ 1）,得 P（,）,就=
35、（x1,y1）,=（,）,即, （12 分）名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又 x1+x2=,就 y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）,解得,无解 （14 分）四边形 OAPB 不行能是平行四边形 （15 分）【点评】 此题考查代数式的值为定值的证明,考查四边形是否是平行四边形的判定与求法,是中档题,解题时要仔细审题,留意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用19（16 分）（ 2022.如皋市一模）已知函数f（x）=lnx,g（x）=（aR）（1）如 a=2,求证： f（x）
36、g（x）在（ 1,+）恒成立；（2）争论 h（x）=f（x） g（x）的单调性；（3）求证：当 x0 时, f（x+1）【考点】 利用导数争论函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）设 h（x）=f（x） g（x）,求出函数的导数,判定出函数的单调性即可；（2）求出函数 h（x）的导数,通过争论a 的范畴,判定 h（x）的单调性即可；（3）问题转化为证明,即证 2ex 2x2 x 20,设 （x）=2ex x2 2x 2,依据函数的单调性证明即可【解答】 证明：（ 1）当 a=2 时,设 h（x）=f（x） g（x）=lnx,h（x）=,所以 h（x） 0 在（1,+）恒成立,
37、h（x）在（ 1,+）上单调递增,所以 h（x）h（1）=0,所以 f（x）g（x）在（ 1,+）恒成立；名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（ 2）h（x）=,令 h（x）=0,即 x 2 2（a 1）x+1=0,=4（a1）2 4=0,解得： a=0 或 a=2,如 0a2,此时 0,h（x） 0 在（0,+）恒成立,所以 h（x）在（ 0,+）单调递增；如 a2,此时 0,方程 x 2 2（a 1）x+1=0 的两根为 x1,2=（a 1）,且 x1,20,所以h（x）在（0,a1）上单调递增,在（ a
38、1,a 1+）上单调递减,在（ a 1+,+）上单调递增；如 a0,此时 0,方程 x2 2（a 1）x+1=0 的两根为 x1,2=（a 1）,且 x1,20,所以 h（x）在（ 0,+）上单调递增；综上,如 a2,h（x）在（ 0,+）单调递增,如 a2,h（x）在（ 0,a 1）,（ a 1+,+）上单调递增,在（ a 1,a 1+）上单调递减；证明：（ 3）由（ 1）可知 lnx在（ 1,+）恒成立,所以 f（x+1）=ln（x+1）在（ 0,+）恒成立,下证,即证 2ex 2x2 x 20,设 （x）=2e x x 2 2x 2, （x）=2e x 2x 2, （x）=2e x 2,
39、易知 （x） 0 在（ 0,+）恒成立,所以 （x）在（ 0,+）单调递增,所以 （x）=2ex 2x 2 （0）=0,所以 （x）在（ 0,+）单调递增,所以 （x） （0）=0,名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,即当 x0 时, f（x+1）【点评】 此题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类争论思想,是一道中档题20（16 分）（ 2022.如皋市一模）已知数列 an 的通项公式为an=2n （ 1）n,nN*（1）在数列 an 中,是否存在连续 如不存在,说明理由；3 项成等差数列？如存在,求出全部符合条件的项,（2）试证在数列 an 中,肯定存在满意条件 1rs 的正整数 r、s,使得 a1、ar、as成等差数列；并求出正整数 r、s 之间的关系；