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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 沪科版八年级数学下学问点总结二次根式学问点：学问点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式；注：在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必需留意：由于负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式；学问点二：取值范畴1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a0 时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可；2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a 0 时,没有意义；学问点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的
2、算术平方根, 也就是说,（）是一个非负数, 即 0（）；注：由于二次根式（）表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根是 0,所以非负数（）的算术平方根是非负数,即 0（）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和肯定值、偶次方类似；这个性质在解答题目时应用较多,如如,就 a=0,b=0；如,就 a=0,b=0；如,就 a=0,b=0；学问点四：二次根式（） 的性质（）文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；注：二次根式的性质公式,就（）是逆用平方根的定义得出的结论；上面的公式也可以反过来应用：如,如：,. 学问点五：二次根式的性质文字语言表达为：
3、一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值；注：1、化简 时,肯定要弄明白被开方数的底数 a 是正数仍是负数, 如是正数或 0,就等于a 本身,即；如 a 是负数,就等于 a 的相反数 -a, 即；2、中的 a 的取值范畴可以是任意实数,即不论 a 取何值,肯定有意义；3、化简 时,先将它化成,再依据肯定值的意义来进行化简；学问点六：与 的异同点1、不同点：与 表示的意义是不同的,表示一个正数 a 的算术平方根的平方,名师归纳总结 第 1 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中=,而中 a 可以是
4、正实数,0,负实数；但与都是非负数,即；因而它的运算的结果是有；时,无意义,而差别的,而2、相同点：当被开方数都是非负数,即时,. 学问点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、 3、 a（a0）、x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有x2+2xy+y2 等（3）最终结果分母不含根号；学问点八：二次根式的乘法和除法1. 积的算数平方根的性质ab=a b（a0,b0）2. 乘法法就a b=ab（a0,b0）4、 9、 a2、（ x+y）2、二次根式的乘法运算法就,用语言表达为：两个因式的算术平方根的积,等于 这两个因式积的算术平方根；3.
5、除法法就a b=a b（a0,b0）二次根式的除法运算法就,用语言表达为：两个数的算数平方根的商,等于这 两个数商的算数平方根；4. 有理化根式；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做有理化 根式 , 也称有理化因式；学问点九：二次根式的加法和减法1 同类二次根式 一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,假如它们的被开方数相同,就 把这几个二次根式叫做同类二次根式；2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式；3 二次根
6、式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并；学问点十：二次根式的混合运算1 确定运算次序 2 敏捷运用运算定律 3 正确使用乘法公式 4 大多数分母有理化要准时 5 在有些简便运算中或许可以约分,不要盲目有理化 学问点十一：分母有理化分母有理化有两种方法 I. 分母是单项式 如: a/ b=a b/ b b=ab/b 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - II. 分母是多项式要利用平方差公式如 1/ a b=a b/ a b a b= a b/a b 如图留意： 1. 根式中不能含有分母 2
7、.分母中不能含有根式；一元二次方程学问点：1. 一元二次方程的一般形式 : a 0 时,ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,讨论一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的 a、b、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是详细数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式 . 2. 一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四种解法要求敏捷运用,其中直接开平方法虽然简洁,但是适用范畴较小；公式法虽然适用范畴大,但运算较繁,易发生运算错误；因式分解法适用范畴较大,且运算简便,是首选方法；配方法使用较少 . 3. 一元二次方程根的判别式 : 当 ax 2+bx+c
8、=0 a 0 时, =b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式 . 请留意以下等价命题： 0 有两个不等的实根； =0 有两个相等的实根；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0 无实根； 0 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系：x当 ax2+bx+c=0 a 0 时,如 0,有以下公式： 1 x,12b2 b4 ac；2x12b,x1x2c.2aaa5. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法a（也可以使用因式分解法）cxa解为： xx2a a0xa 2b b0解为： xabaxb2 c c0解为：
9、 axbcaxb2 cxd2 c解为：axbd（2）因式分解法 ：提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法如：2 axbx0 , a b0x axb0此类方程适合用供应因此,而且其中一个根为0 x290x3x30x052x2 x3 x0x xx300x403 2x152x103102 x6 x94x2 342 4 x12x9022 32 x4x120x6x22 x25 x1202x3（3）配方法二次项的系数为“1” 的时候：直接将一次项的系数除于2 进行配方,如下所示：x2Pxq0x0P2xP2q301022示例：x23x132222二次项的系数不为“1” 的时候：先提取二次项的系数,之后的方
10、法同上：名师归纳总结 ax2bxc0 a0a x2bxc0 a xb2ab2c0第 5 页,共 16 页a2a2 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 1,2a xb2b2cxb2b244 ac2a4a2 aa2示例：1x22x101x24 101x22122102222（4）公式法： 一元二次方程ax2bxc0 a0,用配方法将其变形为：xb2b244ac2aa2 当b24ac0时 , 右 端 是 正 数 因 此 , 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ：bb24 ac2a 当b24ac0时,右端是零因此,方程有两个相等的实根：x 1,2b
11、2a 当b24ac0时,右端是负数因此,方程没有实根；备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：ax2bxc0 a0,并确定出 a、 b 、c求出 b 24 ac ,并判定方程解的情形；2代公式：x 1,2 b b 4 ac（要留意符号）2 a 5 当 ax 2+bx+c=0 a 0 时,有以下等价命题： 以下等价关系要求会用公式 x 1 x 2 b,x 1 x 2 c； =b 2-4ac 分析,不要求背记 a a（1）两根互为相反数 b = 0 且 0 b = 0 且 0；a（2）两根互为倒数 c =1 且 0 a = c 且 0；a（3）只有一个零根 c = 0
12、且 b 0 c = 0 且 b 0；a a（4）有两个零根 c = 0 且 b = 0 c = 0 且 b=0；a a（5）至少有一个零根 c =0 c=0 ；a（6）两根异号 c 0 a 、c 异号；a（7）两根异号, 正根肯定值大于负根肯定值 c 0 且 b 0 a、c 异号且 a、b 异号；a a（8）两根异号, 负根肯定值大于正根肯定值 c 0 且a b 0a a、c 异号且 a、b 同号；名师归纳总结 第 6 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （9）有两个正根c 0,ac 0,ab 0 且 0 ab 0 且 0 a a 、c
13、同号, a 、b 异号且 0；（10）有两个负根 a 、c 同号, a 、b 同号且 0. 6求根法因式分解二次三项式公式：留意：当 分解. 0 时,二次三项式在实数范畴内不能ax2+bx+c=ax-x 1x-x2 或 ax2+bx+c=axb2 b4 acxbb24ac. 2a2 a7求一元二次方程的公式：x 2 - （x1+x2）x + x 1x 2 = 0. 留意：所求出方程的系数应化为整数 . 8平均增长率问题 -应用题的类型题之一（设增长率为 x）： 1 第一年为 a , 其次年为 a1+x , 第三年为 a1+x 2. （2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年 或 第一年
14、+其次年 +第三年=总和. 9分式方程的解法： 1 去分母法两边同乘最简验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母）,值0.公分母（2）换元法凑元,设元,验增根代入原方程每个分母,值0.换元.10. 二元二次方程组的解法：（1）代入消元法方程组中含有一个二元一次方程;0）0的方程;20.方程组中含有能分解为（2）分解降次法）20应分组为1020 3留意：1134030404030 11几个常见转化：1 x2 12x2 2 x1x2x2222x1x2；x1x22x1x22x14x1x2；x212x122；第 7 页,共 16 页x2x或x21x1 x22；x1x2x1x222x224x1x2x1x
15、2；x2x22x1x2x14 x1xx1x2x 12x 2x 12x x ,11x 1x 2,x 1x 22x 1x224x x ,x 1x 2x x 2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |x 12x 2|x 1x224x x ,x x 222 x x 24x x2x 1x2,x 2x 1x2 x 1x 22x 1x 224 x x 2等x22；x 1x 2x x 1 2x x 1 222和x11.分类为x1x21x22.两边平方为（x1x2）23 x14或x2 116 1分类为x14和x14.；x23x23x23x2 292 两边平方一
16、般不用,由于增加次数4 如x1sinA,x2sinB且AB90时,由公式sin2Acos2A1,cosAsinB可推出x2 1x2 21.留意隐含条件:x10,x20. 5x1,x2如为几何图形中线段长时,可利用图形中的相等关系例如几何定理,相像形, 面积等式,公式推导出含有x1,x2的关系式.留意隐含条件:x10 ,x20.6 如题目中给出特别的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某些线段的比,并且引入“帮助未知元k”. 7 方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时,一般求不出未知数的值,但总可求出任何两个未知数的关系.勾股定理学问总
17、结：一基础学问点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方；（即： a2+b 2c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主 要应用：a（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中,C90,就c2 ab ,bc2a ,c2b ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如三角形的三边长： a、b、c,就有关系 a2+b 2c
18、2,那么这个三角形是直角三角形；要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“ 数 转化为形” 来确定三角形的可能外形,在运用这肯定理时应留意：（1）第一确定最大边,不妨设最长边长为：c；2+b 2,就 ABC是以 C 为直角的直（2）验证 c2 与 a 2+b 2 是否具有相等关系,如c2a角三角形（如 c2a 2+b 2,就 ABC是以 C为钝角的钝角三角形；如c2a 2+b 2,就 ABC为锐角三角形）；（定理中a , b,c 及 a 2b 2 c 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三角形三边 长 a , b, c 满意 a 2c 2 b ,那么
19、以 a ,b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是 b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区分与联系 区分：勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关；4：互逆命题的概念 假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做 互逆命题；假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题；5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变 依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出
20、勾股定理 常见方法如下：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方法一： 4SS 正方形EFGHS 正方形 ABCD,41ab ba 2c ,化简可证2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41abc22abc22大正方形面积为Sab2a22abb2所以a2b2c2方法三：S 梯形1 2ab ab ,S 梯形2SADESABE21ab1c2,化简得证226：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a22 bc 中, a , b, c 为
21、正整数时,称 a , b, c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 等2 n用含字母的代数式表示n 组勾股数：n21,2 , n n21（n2,n为正整数）；1,2n22 ,22 n2 n1（ n 为正整数）m2n2,2mn m2n （mn m , n 为正整数）二、规律方法指导1勾股定理的证明实际采纳的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的；abcccabbcbaa2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,角三角形边边关系的题目；可以用于解决求解直3勾股定理在应用时肯定要留意弄清谁是斜边谁直角边,这是这B
22、AcaD个 知 识cb第 10 页,共 16 页在应用过程中易犯的主要错误；EabC名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 勾股定理的逆定理：假如三角形的三条边长a,b,c 有以下关系： a2+b 2c2,.那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运 算,通过学习加深对“ 数形结合” 的懂得我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题,那 么另一个叫做它的逆命题； （例：勾股定理与勾股定理逆定理）
23、四边形学问点：一、 关系结构图：D CH名师归纳总结 AEFcGbaB第 11 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、学问点讲解：1平行四边形的性质（重点） ：ABCD是平行四边形（1）两组对边分别平行；ADOBC（2）两组对边分别相等；（3）两组对角分别相等；（4）对角线相互平分；（5）邻角互补.2. 平行四边形的判定（难点） ：D CO.AB3. 矩形的性质：由于 ABCD是矩形（1）具有平行四边形的所有通性;DOCDC第 12 页,共 16 页（2）四个角都是直角;（3）对角线相等.ABAB名师归纳总结 - - - - - - -
24、精选学习资料 - - - - - - - - - 4 是轴对称图形,它有两条对称轴4 矩形的判定：矩形的判定方法： 1 有一个角是直角的平行四边形；2 有三个角是直角的四边形；3 对角线相等的平行四边形；5. 菱形的性质：4 对角线相等且相互平分的四边形D四边形 ABCD是矩形 . 由于 ABCD是菱形（1）具有平行四边形的所有通性；AOC（2）四个边都相等；（3）对角线垂直且平分对角.B6. 菱形的判定：D（1）平行四边形一组邻边等四边形四边形 ABCD是菱形 . AOC（2）四个边都相等（3）对角线垂直的平行四边形B7. 正方形的性质：DCDCABCD是正方形（1）具有平行四边形的所有通性
25、；ABAOB角都是直角；（2）四个边都相等,四个分对角.（3）对角线相等垂直且平8. 正方形的判定：名师归纳总结 （1）平行四边形一组邻边等一个直角四边形 ABCD是正方形 . 第 13 页,共 16 页（2）菱形一个直角（3）矩形一组邻边等- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名定义性质判定面积称平两组对 对边平行；定义；S=aha 为一行边分别对边相等；两组对边分别相等的边长, h 为这平行的对角相等；四边形；条边上的高 四四边形邻角互补；一组对边平行且相等叫做平对角线相互平分；的四边形；边行四边是中心对称图形两组对角分别相等的形；四边形；对角线相互平
26、分的四名师归纳总结 形有一个除具有平行四边形的性质边形；S=aba 为一有三个角是直角的四矩角是直外,仍有：四个角都是直边形是矩形；边长, b 为另角的平角；对角线相等的平行四一边长 形行四边对角线相等；边形是矩形；形叫做既是中心对称图形又是定义；矩形轴对称图形；第 14 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有一组除具有平行四边形的性质四条边相等的四边形S=aha 为菱邻边相外,仍有是菱形；一边长, h 为等的平四边形相等；对角线垂直的平行四这条边上的行四边对角线相互垂直,且每一边形是菱形；形形叫做条对角线平分一组对角；定义；高；菱形；既
27、是中心对称图形又是b 、c 为两轴对称图形；条对角线的长 正有一组具有平行四边形、矩形、菱有一组邻边相等的矩a 为邻边相形的性质：四个角是直形是正方形；等且有角,四条边相等；有一个角是直角的菱方一个角对角线相等,相互垂直平形是正方形；边长 ；b 为对角是直角分,每一条对角线平分一组定义；形的平行对角；线长 四边形既是中心对称图形又是叫做正轴对称图形；方形数据的集中趋势和离散程度学问点：学问点 1：表示数据集中趋势的代表 平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特点数,只是描述的角度不同,其中平均数的应用最为广泛；学问点 2：表示数据离散程度的代表 极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差
28、,能反映这组数据的变化范畴,我们就 把这样的差叫做极差；极差 =最大值最小值,一般来说,极差小,就说明数据的波动幅度小；学问点 3：生活中与极差有关的例子 在生活中,我们常常用极差来描述一组数据的离散程度,比如一支篮球队队员中最高名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 身高与最矮身高的差；一家公司成员中最高收入与最低收入的差；学问点 4：平均差的定义T=在一组数据x1, x2, , xn 中各数据与它们的平均数；的差的肯定值的平均数即叫做这组数据的“ 平均差”“ 平均差” 能刻画一组数据的离散程度,学问点 5：方差的定
29、义“ 平均差” 越大,说明数据的离散程度越大；S 2=在一组数据x1,x2, , xn 中,各数据与它们的平均数差的平方,它们的平均数,即来描述这组数据的离散程度, 并把 S 2叫做这组数据的方差；学问点 6：标准差方差的算术平方根, 即用 S=来描述这一组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的标准差；学问点 7：方差与平均数的性质名师归纳总结 如 x1,x2, xn 的方差是 S 2,平均数是,就有第 16 页,共 16 页x1+b, x 2+b xn+b 的方差为 S 2,平均数是+b ax1, ax 2, axn的方差为 a 2s2,平均数是 aax1+b, ax 2+b, axn+b的方差为 a2s2,平均数是 a +b - - - - - - -