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湖北技能高考数学基础知识总汇(上)
预备知识：
1.完全平方和（差）公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
2.平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
3.立方和（差）公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3b3=(a-b)(a2ab+b2)
4.韦达定理：x1+x2=-BA ； x1∙x2=CA ; 求根公式：x=-bb2-4ac2a 。
第一章 集合与简易逻辑
一． 集合
1、集合的有关概念和运算
（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；
（2）元素a和集合A之间的关系：a∈A，或aA；
（3）常用数集及其符号：自然数集N、整数集Z、正整数集N*、有理数集Q、实数集R。
（4）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。
2、子集定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：AB，
注意：AB时，A有以下可能：A＝φ、A=B、A的元素比B少且A的元素都属于B。
3、真子集定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：A⫋B。
4、补集定义： ∁UA={x|x∈U，且x∉A}。
5、交集与并集：交集：；并集：
6、集合中元素的个数的计算： 若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为(2n)个，所有真子集的个数是（2n-1）个，所有非空真子集的个数是(2n-2)个。
二．简易逻辑：充分条件与必要条件：
若，则p叫q的充分条件；
若，则p叫q的必要条件；
若，则p叫q的充要条件；
第二章 不等式
一、不等式的基本性质：
1.特殊值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。
2.中间值比较法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小。
3.实数大小的基本性质:
a
b⇔a-b>0
4.不等式的性质：
（1）传递性：a>b且b>c,则a>c。
（2）加法性质：a>b则ac>bc，且无论c的正负。
（3）乘法性质：① a>b,c>0,则ac>bc、ac>bc； ②a>b,c<0,则ac00, x=0-x, x<0
（2）①ax+b≤c,c≥0 ⇔（ax+b)2≤c2⇔-c≤ax+b≤c 。小于取中间 ②ax+b≥c,c≥0 ⇔（ax+b)2≥c2⇔ax+b≥c 或ax+b≤-c。大于取两边
（3）d≤ax+b≤c,c≥0、d≥0则ax+b≤c且ax+b≥d。
五、一元一次不等式的解法：依据不等式性质：去分母、去括号、移项、合并同类项将其化为"axb或ax≥b"的形式求解；一元一次不等式组的解则是各不等式解的交集。
六、一元二次不等式的图解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）
判别式：△=b2-4ac
二次函数
的图象
一元二次方程
的根
有两相异实数根
有两相等实数根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
“＞”取两边
R
一元二次不等式
的解集
“＜”取中间
注意：①带等于号的情况；②先化为a＞0的形式；③若ax2+bx+c>0的解集为R，则a＞0且△＜0。若ax2+bx+c<0的解集为R，则a＜0且△＜0。
七、分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；
(1)f(x)>0且g(x)>0或f(x)<0且g(x)<0即f(x)g(x)>0；
(2)f(x)g(x)≤0⇔fx≥0且gx≤0或fx≤0且gx≥0即fxgx≤0。且gx≠0。
第三章 函数
1、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），
2、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；两个函数相同，则定义域、对应法则要相同，最终值域也相同。
3、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。
4、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R；②分式：分母；③0次幂：底数；
④偶次根式：被开方式，例：；⑤对数：真数，例：
⑥正切函数：x∈R,x≠kπ+π2,kϵZ；⑦指数函数、对数函数：底数（a>0且a≠1）；⑧其他实际要求：例如三角形的内角0<α<π、人的个数、工件个数、工作天数等x∈N。
5、求值域的一般方法：
①图象观察法：y=0.2|x|；②单调函数法：
③二次函数配方法：，
6、求函数解析式f（x）的一般方法：
①待定系数法：把已知点（x,y）值代入f（x）=ax+b或f（x）=ax2+bx+c 解析式中求解。
②奇偶性法：f（x）是左路函数，且在（0，+∞）上解析式是f（x）=x-2，则在（-∞，0）上解析式是f（x）=x+2
7、函数的单调性：
（1）定义：区间D上任意两个值，若时有，称为D上增函数；
若时有，称为D上减函数。（一致为增，不同为减）
（2）区间D叫函数的单调区间，单调区间包含于定义域；
（3）证明函数单调性的方法：在定义域上取，作差法（fx1-f(x2) ）比较大小。
（4）一次函数a>0时是增函数，反之是减函数；二次函数a>0时在对称轴左边是减函数，右边是增函数，a<0时则反之。
8、奇偶性：定义域一定关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系；要会用奇偶性比较大小。
f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数，其图象关于原点对称。
9、周期性：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x)，则T为函数f(x)的周期。正
弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为π。
10、函数图像变换：
（1）平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b；（2）法则：加左减右，加上减下；（3）还可以通过特殊值法，描点定性作出函数图象，分析其单调性、奇偶性等。
11、分段函数：在实际应用问题中常涉及：水费、电费、商品售价优惠等。不同区间上解析式不相同，但整体是一个函数。注意每段定义域的端点是否包含。
12、二次函数：
（1）二次函数的三种解析式
①一般式：fx=ax2+bx+c（a≠0）;
②顶点式：fx=a(x-k)2+h (a≠0)，其中（k,h）为顶点;
③两根式：fx=ax-x1(x-x2)（a≠0），其中x1,x2是f(x)=0的两根
（2）图像与性质：二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：
开口 ： a>0⇔开口向上 a<0⇔开口向下
对称轴：x=-b2a 顶点坐标：(-b2a,4ac-b24a)
与轴的交点：∆>0→有两交点∆=0→有一交点∆<0→无交点 (∆=b2-4ac)
④ 根与系数的关系：（韦达定理）x1+x2=-bax1x2=ca
⑤ fx=ax2+bx+c为偶函数的充要条件为b=0
⑥二次函数（二次函数恒大（小）于0，用于解二次不等式）
fx>0⇔a>0∆<0⇔图象位于x轴上方；fx<0⇔a<0∆<0⇔图象位于x轴下方。
⑦若二次函数对任意x都有ft-x=f(t+x)，则其对称轴是x=t。
第四章 指数函数与对数函数
1.根式与实数指数幂：
(1)n次根式：如果xn=a(n>1,且n∈N*)，则称x是a的n次方根。
①0的n次实数方根等于0，即n0=0。②若n是奇数，则a的n次实数方根记作：na。
③若n是偶数，且a>0，则a的n次实数方根为na，其中na叫做a的n次算术根。
(2) 根式的性质：
①nan=a。 ②npamp=nam,(a≥0)。
③当n为奇数时，nan=a；当n为偶数时， 。
(3)分数指数幂：①正分数指数幂：；负分数指数幂：
②a0=1,a≠0 ③a-n=1an(a≠0且a∈N*)
(4)实数指数幂运算法则：
①aman=am+n; ②aman=am-n; ③(am)n=amn; ④(ab)n=anbn; ⑤(ab)n=anbn 。
2.对数及其运算法则：
（1）定义：如果，则logaN=b。以10为底叫常用对数，记为lgN，以e=2.7182828…为底叫自然对数，记为lnN
（2）性质：①负数和零没有对数，②1的对数等于0：，③底的对数等于1：，④积的对数：，
商的对数：，
幂的对数：， 方根的对数：，
指数和对数：alogax=x (a>0,a≠1)， logaxbx=logab (a>0,a≠1)。
（3）换底公式：logbN=logaNlogab ,(a,b,N>0,a,b≠1)。
3.幂函数的图象和性质：
y=x
y=x2
y=x3
y=x12
y=x-1
y=x-2
图像
定义域
R
R
R
[0,+∞）
x≠0
(0,+∞)
值域
R
[0,+∞）
R
[0,+∞）
y≠0
(0,+∞)
单调性
增
先减后增
增
增
减
先增后减
奇偶性
奇
偶
奇
无
奇
偶
过定点
（0，0）和（1，1）
（1，1）
象限
1，3
1，2
1，3
1
1，3
1，2
4.指数函数和对数函数的图象性质：
函 数
指数函数
对数函数
定 义
（）
（）
图 象
a>1
01
0
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