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1、高考专题突破四高考中的立体几何问题【考点自测】1在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为()A相交 B平行C垂直相交 D不确定答案B解析如图取B1C1的中点为F，连接EF，DF，则EFA1B1，DFB1B，且EFDFF，A1B1B1BB1，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA.2设x，y，z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：x，y，z均为直线；x，y是直线，z是平面；z是直线，x，y是平面；x，y，z均为平面其中使“xz且yzxy”为真命题的是()A B C D答案C解析由正方体模型可知为假命题；由线面垂直的性
2、质定理可知为真命题3(2018届辽宁凌源二中联考)已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为()A2 B.C2 D.答案D解析结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为V212122，故选D.4(2017天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是()A BC D答案B解析由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为
3、等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错故选B.5(2017沈阳调研)设，是三个平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确的序号填上)答案或解析由线面平行的性质定理可知，正确；当b，a时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故应填入的条件为或.题型一求空间几何体的表面积与体积例1(2018届衡水联考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBC，ACBCCC12，点
4、D为AB的中点(1)证明：AC1平面B1CD；(2)求三棱锥A1CDB1的体积(1)证明连接BC1交B1C于点O，连接OD.在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，点O是BC1的中点点D为AB的中点，ODAC1.又OD平面B1CD，AC1平面B1CD，AC1平面B1CD.(2)解ACBC，ADBD，CDAB.在三棱柱ABCA1B1C1中，由AA1平面ABC，得平面ABB1A1平面ABC.又平面ABB1A1平面ABCAB，CD平面ABC，CD平面ABB1A1，ACBC，ACBC2，ABA1B12，CD，22.思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则
5、可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练1(2018乌鲁木齐质检)正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积解(1)底面正三角形中心到一边的距离为2，则正棱锥侧面的斜高为，S侧329，S表S侧S底9(2)296.(2)设正三棱锥PABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到
6、三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.V三棱锥PABCV三棱锥OPABV三棱锥OPBCV三棱锥OPACV三棱锥OABCS侧rSABCrS表r(32)r.又VPABC(2)212，(32)r2，得r2.S内切球4(2)2(4016).V内切球(2)3(922).题型二空间点、线、面的位置关系例2 (2017广州五校联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，BAD60，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上(1)求证：AD平面PBE；(2)若Q是PC的中点，求证：PA平面BDQ；(3)若VPBCDE2VQABCD，试求的值(1)证明由E是AD的中点，PAPD可得ADPE.因为底面AB
7、CD是菱形，BAD60，所以ABBD，所以ADBE，又PEBEE，PE，BE平面PBE，所以AD平面PBE.(2)证明连接AC，交BD于点O，连接OQ.因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQPA，又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA平面BDQ.(3)解设四棱锥PBCDE，QABCD的高分别为h1，h2.所以V四棱锥PBCDES四边形BCDEh1，V四棱锥QABCDS四边形ABCDh2.又VPBCDE2VQABCD，且S四边形BCDES四边形ABCD，所以.思维升华 (1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的
8、转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题跟踪训练2如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC
9、；(2)BCSA.证明(1)由ASAB，AFSB知F为SB的中点，则EFAB，FGBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，则AFBC.又BCAB，AFABA，AF，AB平面SAB，则BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.题型三平面图形的翻折问题例3 五边形ANB1C1C是由一个梯形ANB1B与一个矩形BB1C1C组成的，如图甲所示，B为AC的中点，ACCC12AN8.沿虚线BB1将五边形ANB1C1C折成直二面角ABB1C，如图乙所示(1)求证：平面BNC平面C1B
10、1N；(2)求图乙中的多面体的体积(1)证明四边形BB1C1C为矩形，故B1C1BB1，又由于二面角ABB1C为直二面角，故B1C1平面BB1A，又BN平面BB1A，故B1C1BN，由线段ACCC12AN8知，BBNBBN2，即BNNB1，又B1C1NB1B1，B1C1，NB1平面NB1C1，所以BN平面C1B1N，因为BN平面BNC，所以平面BNC平面C1B1N.(2)解连接CN，过N作NMBB1，垂足为M，V三棱锥CABNBCSABN444，又B1C1平面ABB1N，所以平面CBB1C1平面ABB1N，且平面CBB1C1ABB1NBB1，NMBB1，NM平面ABB1N，所以NM平面B1C1
11、CB，448，则此几何体的体积VV三棱锥CABN.思维升华 平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化跟踪训练3 (2018届珠海摸底)为了迎接某节日，商场进行促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形SEE，SFF，SGG，SHH，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒SEFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E重合，F与F重合，G与G重合，H与H重合(如图所示)(1)求证：平面SEG平面SFH
12、；(2)已知AE，过O作OMSH交SH于点M，求cosEMO的值(1)证明折后A，B，C，D重合于一点O，拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，底面EFGH是正方形，故EGFH.连接SO.在原平面图形中，SEESGG，SESG，EGSO，EGFH，EGSO，FHSOO，FH，SO平面SFH，EG平面SFH，又EG平面SEG，平面SEG平面SFH.(2)解由题意，当AE时，OE，RtSHO中，SO5，SH，OM.由(1)知，EO平面SHF，又OM平面SHF，EOOM.在RtEMO中，EM，cosEMO.题型四立体几何中的存在性问题例4(2017北京昌平区统考)如图，在四棱锥
13、PABCD中，PAD为正三角形，平面PAD平面ABCD，ABCD，ABAD，CD2AB2AD4.(1)求证：平面PCD平面PAD；(2)求三棱锥PABC的体积；(3)在棱PC上是否存在点E，使得BE平面PAD？若存在，请确定点E的位置并证明；若不存在，请说明理由(1)证明因为ABCD，ABAD，所以CDAD.因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以CD平面PAD.因为CD平面PCD，所以平面PCD平面PAD.(2)解取AD的中点O，连接PO.因为PAD为正三角形，所以POAD.因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，所以
14、PO为三棱锥PABC的高因为PAD为正三角形，CD2AB2AD4，所以PO.所以V三棱锥PABCSABCPO22.(3)解在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE平面PAD.分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF，所以EFPD.因为ABCD，CD2AB，所以ABFD，ABFD，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BFAD.因为BFEFF，ADPDD，所以平面BEF平面PAD.因为BE平面BEF，所以BE平面PAD.思维升华 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结
15、论则否定假设跟踪训练4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，DCAB，PA1，AB2，PDBC.(1)求证：平面PAD平面PCD；(2)试在棱PB上确定一点E，使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积比为21.(1)证明ADAB，DCAB，DCAD.PA平面ABCD，DC平面ABCD，DCPA.ADPAA，AD，PA平面PAD，DC平面PAD.DC平面PCD，平面PAD平面PCD.(2)解作EFAB于F点，在ABP中，PAAB，EFPA，EF平面ABCD.设EFh，AD1，SABCABAD1，则V三棱锥EABCSABChh.V四棱锥PABCDS四边形ABC
16、DPA1.由VPDCEAV三棱锥EACB21，得h21，解得h.EFPA，故E为PB的中点1(2017北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A3 B2C2 D2答案B解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱由三视图可知正方体的棱长为2，故SD2.故选B.2.如图所示，已知平面平面l，.A，B是直线l上的两点，C，D是平面内的两点，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P是平面上的一动点，且有APDBPC，则四棱锥PABCD体积的最大值是()A48 B16C24 D144答案A解析由题意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PAD
17、PBC.因为DA4，CB8，所以PB2PA.作PMAB于点M，由题意知，PM平面.令BMt，则AM|6t|，PA2(6t)24PA2t2，所以PA24t12.所以PM，即为四棱锥PABCD的高，又底面ABCD为直角梯形，S(48)636.所以V361212448.3(2017云南省11校调研)设已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若，m，n，则mn；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有正确命题的序号是_答案解析对于，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此不正确；对于，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面
18、(或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知正确；对于，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此不正确；对于，由n得，在平面内必存在直线n1平行于直线n，由m，得m，mn1，又n1n，因此有mn，正确综上所述，所有正确命题的序号是.4.如图梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折过程中，可能成立的结论是_(填写结论序号)答案解析因为BCAD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，
19、则错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时就有BDFC，而ADBCAB234，可使条件满足，所以正确；当点P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF平面BCF，所以正确；因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即错误5.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，则点P到直线CC1的距离的最小值为_答案解析点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P，显然点P到直线CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值连接DE，当PCDE时，PC的长度最小，此时PC.6
20、(2018届永州市模拟)如图，在三棱锥SABC中，SASB，ACBC，O为AB的中点，SO平面ABC，AB4，OC2，N是SA的中点，CN与SO所成的角为，且tan 2.(1)证明：OCON；(2)求三棱锥SABC的体积(1)证明ACBC，O为AB的中点，OCAB，又SO平面ABC，OC平面ABC，OCSO，又ABSOO，AB，SO平面SAB，OC平面SAB，又ON平面SAB，OCON.(2)解设OA的中点为M，连接MN，MC，则MNSO，故CNM即为CN与SO所成的角，又MCMN且tan 2，MC2MNSO，又MC，即SO，三棱锥SABC的体积VSh24.7(2018届武汉调研)如图1，在矩
21、形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)证明：BE平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由(1)证明连接BE，ABCD为矩形且ADDEECBC2，AEB90，即BEAE，又平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面D1AE.(2)解AMAB，取D1E的中点L，连接AL，FL，FLEC，ECAB，FLAB且FLAB，M，F，L，A四点共面，若MF平面AD1E，则MFAL.A
22、MFL为平行四边形，AMFLAB.故线段AB上存在满足题意的点M，且.8.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是正方形，PD平面ABCD.PDAB2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点(1)求证：平面PAB平面EFG；(2)在线段PB上确定一点Q，使PC平面ADQ，并给出证明(1)证明在PCD中，E，F分别是PC，PD的中点，EFCD，又四边形ABCD为正方形，ABCD，EFAB，EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.同理EG平面PAB，EF，EG是平面EFG内两条相交直线，平面PAB平面EFG.(2)解当Q为线段PB的中点时，PC平面ADQ.取PB的中点Q，连接DE，EQ，AQ
23、，DQ，EQBCAD，且ADQE，四边形ADEQ为梯形，由PD平面ABCD，AD平面ABCD，得ADPD，ADCD，PDCDD，PD，CD平面PCD，AD平面PDC，又PC平面PDC，ADPC.PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，DEPC，AD，DE是平面ADQ内的两条相交直线，PC平面ADQ.9.如图所示的几何体PABCD中，四边形ABCD为菱形，ABC120，ABa，PBa，PBAB，平面ABCD平面PAB，ACBDO，E为PD的中点，G为平面PAB内任一点(1)在平面PAB内，过G点是否存在直线l使OEl？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；(2)过A，C，E三点的平面将几何
24、体PABCD截去三棱锥DAEC，求剩余几何体AECBP的体积解(1)过G点存在直线l使OEl，理由如下：由题意知O为BD的中点，又E为PD的中点，所以在PBD中，OEPB.若点G在直线PB上，则直线PB即为所求的直线l，所以有OEl；若点G不在直线PB上，在平面PAB内，过点G作直线l，使lPB，又OEPB，所以OEl，即过G点存在直线l使OEl.(2)连接EA，EC，则平面ACE将几何体分成两部分：三棱锥DAEC与几何体AECBP(如图所示)因为平面ABCD平面PAB，且交线为AB，又PBAB，PB平面PAB，所以PB平面ABCD.故PB为几何体PABCD的高又四边形ABCD为菱形，ABC120，ABa，PBa，所以S四边形ABCD2a2a2，所以V四棱锥PABCDS四边形ABCDPBa2aa3.又OE綊PB，所以OE平面ACD，所以V三棱锥DAECV三棱锥EACDSACDEOV四棱锥PABCDa3，所以几何体AECBP的体积VV四棱锥PABCDV三棱锥DEACa3a3a3.