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1、 归纳推理的四个特点(1)前提：几个已知的特征现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段典例1(1)观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_(2)如图所示是一个有n层(n2，nN*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每
2、边有2个点，第3层每边有3个点，第n层每边有n个点，则这个点阵共有_个点解析：(1)第n(n1,2,3)个不等式的左边为前n1个正整数平方的倒数和，右边分母为n1，分子为2n1，故第五个不等式为1.(2)设第n层共有an个点，结合图形可知a11，a26，an1an6(n2，nN*)，则an6(n2)66n6(n2，nN*)，前n层所有点数之和为Sn13n23n1，故这个点阵共有3n23n1个点答案：(1)11，a，b，则正确的结论是()Aab Ba1，所以a0，b0，故只需比较与的大小即可，而，显然，从而必有a2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_解析：“至少有一个”的反
3、面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x1且y1”答案：x，y均不大于1(或者x1且y1)14已知圆的方程是x2y2r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1类似的性质为_解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆1类似的性质为：过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为1.答案：经过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为115若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，xn，总满足f(x1)f(x2)f(xn)f，称函数
4、f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)sin x在(0，)上是凸函数，则ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：因为f(x)sin x在(0，)上是凸函数(小前提)，所以(sin Asin Bsin C)sin(结论)，即sin Asin Bsin C3sin.因此，sin Asin Bsin C的最大值是.答案：16如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n2(n2)个图形中共有_个顶点解析：设第n个图形中有an个顶点，则a1333，a2444，an(n2)(n2)(n2)，an2n2n.答案：n2n三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写
5、出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题10分)已知abc，且abc0，求证：.证明：因为abc，且abc0，所以a0，c0.要证明原不等式成立，只需证明a，即证b2ac3a2，从而只需证明(ac)2ac3a2，即(ac)(2ac)0，因为ac0,2acacaab0，所以(ac)(2ac)0成立，故原不等式成立18(本小题12分)已知实数x，且有ax2，b2x，cx2x1，求证：a，b，c中至少有一个不小于1.证明：假设a，b，c都小于1，即a1，b1，c1，则abc3.abc(2x)(x2x1)2x22x223，且x为实数，2233，即abc3，这与abc3矛盾假设不成立，原命题成
6、立a，b，c中至少有一个不小于1.19(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301
7、.(2)法一：三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.法二：三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin
8、 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.20(本小题12分)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，成等差数列(1)比较与的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不可能是钝角解：(1).证明如下：要证，只需证.a，b，c0，只需证b2ac.，成等差数列，2，b2ac.又a，b，c均不相等，b2ac.故所得大小关系正确(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cos B0.由余弦定理得，cos B0，这与cos B0矛盾，故假设不成立所以角B不可能是钝角法二：假设角B是钝角，则角B的对边b是最大边，即ba，bc，所以0，0，则，这与矛盾，故假设不成立所以角B不可
9、能是钝角21已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn14an2(n1,2，)，a11.(1)设bnan12an(n1,2，)，求证：数列bn是等比数列；(2)设cn(n1,2，)，求证：数列cn是等差数列证明：(1)因为Sn14an2，所以Sn24an12，两式相减得Sn2Sn14an14an(n1,2，)，即an24an14an，变形得an22an12(an12an)，因为bnan12an(n1,2，)，所以bn12bn，由此可知，数列bn是公比为2的等比数列(2)由S2a1a24a12，a11，得a25，b1a22a13.故bn32n1.因为cn(n1,2，)，所以cn1cn，将bn32n1代入得cn1cn(n1,2，)由此可知，数列cn是公差d的等差数列22通过计算可得下列等式：2212211；3222221；4232231；(n1)2n22n1.将以上各式两边分别相加，得(n1)212(123n)n，即123n.类比上述方法，请你求出122232n2的值解：2313312311，3323322321，4333332331，(n1)3n33n23n1，将以上各式两边分别相加，得(n1)3133(122232n2)3(123n)n，所以122232n2.