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1、31.3导数的几何意义学习目标1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程知识点导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线思考1割线PPn的斜率kn是多少？思考2当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？梳理(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在_的切线(2)导数f(x0)的几何意义：函数f
2、(x)在xx0处的导数就是切线的斜率k，即k_.(3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为_类型一求切线方程命题角度1曲线在某点处的切线方程例1已知曲线C：yx3，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_命题角度2曲线过某点的切线方程例2求抛物线yx2过点(4，)的切线方程反思与感悟过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，y0)(2)建立方程f(x0).(3)解方程得kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程跟踪训练2求过点(1,0)
3、与曲线yx2x1相切的直线方程类型二求切点坐标例3已知曲线y1x21在xx0处的切线与曲线y21x3在xx0处的切线互相平行，求x0的值引申探究1若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值2若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程反思与感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)(2)求导函数f(x)(3)求切线的斜率f(x0)(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标跟踪训练3已知直线l：y4xa与曲线C：yx32x23相切，求a的值及切点坐标类型三导数几何意义的应用例4已知函数f(x)在
4、区间0,3上的图象如图所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为_(请用“”连接)反思与感悟导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合跟踪训练4(1)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()(2)已知曲线f(x)2x2a在点P处的切线方程为8xy150，则实数a的值为_1已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为()A4 B16C8 D22若曲线yx2axb
5、在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b13曲线y在点(3,3)处的切线的倾斜角等于()A45 B60C135 D1204如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则函数f(x)在x1处的导数f(1)_.5已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为_1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2“函数f(x)在点x0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数
6、，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点答案精析问题导学知识点思考1割线PPn的斜率为kn.思考2kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理(1)点P处(2)li f(x0)(3)yf(x0)f(x0)(xx0)题型探究例1解将x2代入曲线C的方程得y4，切点坐标为P(2,4)y|x2 42x(x)24，ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切
7、线方程为y44(x2)，即4xy40.跟踪训练13例2解设切线在抛物线上的切点坐标为(x0，x)，y|xx0 (x0x)x0，x0，即x8x070，解得x07或x01.切线过抛物线yx2上的点(7，)，(1，)，故切线方程为y(x7)或y(x1)，化简得14x4y490或2x4y10，即为所求的切线方程跟踪训练2解设切点坐标为(x0，xx01)，则切线斜率为k 2x01.又k，2x01，解得x00或x02.当x00时，切线的斜率为k1，过(1，0)的切线方程为y0x1，即xy10；当x02时，切线的斜率为k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30.故所求切线方程为xy10或3x
8、y30.例3解y1|xx0 2x0，y2|xx0 3x.由题意得2x03x，解得x00或.引申探究1解y1|xx02x0，y2|xx03x.又曲线y1x21与y21x3在xx0处的切线互相垂直，2x0(3x)1，解得x0.2解由例3知，x00或.当x00时，两条平行切线方程分别为y1，y1.当x0时，曲线yx21的切线方程为12x9y130.曲线y1x3的切线方程为36x27y110.所求两平行切线方程为y1与y1或12x9y130与36x27y110.跟踪训练3解设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)f(x)|xx0 3x4x0，又由题意可知k4，3x4x04，解得x0或x02，切点坐标为(，)或(2,3)当切点坐标为(，)时，有4()a，解得a.当切点坐标为(2,3)时，有342a，解得a5.当a时，切点坐标为(，)；当a5时，切点坐标为(2,3)例4k1k3k2解析由导数的几何意义，可得k1k2.k3表示割线AB的斜率，k1k3k2.跟踪训练4(1)A(2)7当堂训练1C2.A3.C4.25.(3,30)