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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考第 1 章 随机大事及其概率结合率： ABC=ABC A BC=A BC （ 6）大事 安排率： AB C=AC BC A B C=ACBC 的 关 系 与运算Ai1AiABAB,ABABPA ,如满德摩根率：i1i设为样本空间,A 为大事,对每一个大事A 都有一个实数足以下三个条件：1 0 PA 1,（ 7）概率有2 P =1 A ,A ,Pi1A ii1P A i3对于两两互不相容的大事的 公 理 化定义常称为可列（完全）可加性；就称 PA 为大事 A 的概率；（10）加法 PA+B=PA+PB-PAB 公式 当 PAB0 时,
2、 PA+B=PA+PB PA-B=PA-PAB （11）减法当 BA时, PA-B=PA-PB PA0 ,就称PAB为大事 A 发生条件下,事公式当 A= 时, P B =1- PB 定义 设 A、B是两个大事,且PA（12）条件件 B 发生的条件概率,记为PB/APAB；概率P A条件概率是概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率；（13）乘法例如 P /B=1P B /A=1-PB/A An|A 1A2乘法公式：PABPA PB/A 更一般地,对大事A1,A2, An,如 PA1A2 An-1 0 ,就有PA 1A2AnPA 1PA2|A 1 PA3|A 1A2 P公式A n1 ；两个大
3、事的独立性（14）独立立；设大事 A 、B 满意PABPAPB,就称大事 A、B 是相互独立的；如大事 A 、 B 相互独立,且PA0,就有PB|A P ABPAPBPBPAPA性如大事 A 、 B 相互独立, 就可得到A与 B 、 A 与B、A与B也都相互独必定大事和不行能大事. 与任何大事都相互独立；. 与任何大事都互斥；多个大事的独立性 设 ABC是三个大事,假如满意两两独立的条件,不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考PAB=PAPB ；PBC=PBPC ； PCA=PCPA 并且同
4、时满意 PABC=PAPBPC 那么 A、 B、C相互独立；对于 n 个大事类似；（15）全概设大事B1 ,B2,Bn,Bn满意PBi0i,12,n ,1B1 ,B2 ,两两互不相容,Ani,B公式2i1就有PA PB1 P A|B 1PB2P A|B2PBiPBnPA|Bn；设大事B ,B , ,B 及 A 满意0,i1,2, ,n,1B ,B , ,B 两两互不相容,n2Ai1Bi,P A0,就（16）贝叶PB i/A jnPB iP A/B ij,i=1 ,2, n；斯公式P BjPA/B1此公式即为贝叶斯公式；P B i ,（i 1,2 , ,n）,通常叫先验概率；P B i / A
5、,（i 1,2 , ,n ）,通常称为后验概率；贝叶斯公式反映了“ 因果” 的概率规律,并作出了“ 由果朔因” 的推断；我们作了n次试验,且满意每次试验只有两种可能结果,n 次试验是重复进行的,即A 发生或 A 不发生；A 发生的概率每次均一样；（17）伯努每次试验是独立的,即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的；这种试验称为伯努利概型,或称为n 重伯努利试验；利概型用p表示每次试验A 发生的概率,就A 发生的概率为1pq,用Pnk表示n重伯努利试验中A 显现k0kn次的概率,PnkCkpkqnk,k,1,02 ,n；n不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - -
6、-第 2 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考（1）离散为其次章随机变量及其分布设离散型随机变量X 的可能取值为Xkk=1,2, 且取各个值的概率,即大事X=Xk 的概率型 随 机 变PX=xk=p k,k=1,2, ,量 的 分 布就称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律；有时也用分布列的形式给出：律PXXxk|x 1 ,x2 ,xk,；p 1,p2 ,p k,明显分布律应满意以下条件：（2）连续 型 随 机 变 量 的 分 布密度（3）离散与 连 续 型 随 机 变 量 的关系（1）pk0,k,12 ,（2）k1pk1；设Fx 是随机变量X
7、的分布函数,如存在非负函数fx,对任意实数x ,有Fxxfx dx,就称X为连续型随机变量；fx 称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度；密度函数具有下面4 个性质：1fx0；2fx dx1；PXxPxXxdxfxdx积分元fx dx在连续型随机变量理论中所起的作用与PXx kp k在离散型随机变量理论中所起的作用相类似；不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考（4）分布设 X 为随机变量,x 是任意实数,就函数a,b的概率；分布函数Fx表示随函数FxPXx 称为随机变量X 的分布函数,
8、本质上是一个累积函数；PaXbFbFa 可以得到 X 落入区间机变量落入区间（, x 内的概率；分布函数具有如下性质：10Fx,1x；Fx1 1Fx2；2Fx是单调不减的函数,即x1x2时,有3Flim xFx 0,Flim xFx；4Fx0Fx,即Fx 是右连续的；0 ；5PXxFxFx对于离散型随机变量,Fx pk；xkxx（5）八大 分布对于连续型随机变量,Fx fx dx；0-1PX=1=p, PX=0=q 分布二 项在 n 重贝努里试验中,设大事A发生的概率为p ；大事 A发生的次数是随机变量,设分布为 X ,就 X 可能取值为0,1,2,n；PXkPnkCkpkqnk,其中q1p0
9、,p,1k0 ,1,2,n,n就称随机变量X听从参数为n,p的二项分布；记为XBn ,p；当n1时,PXkpkq1k,k.0 1,这就是（ 0-1 ）分布,所以（0-1 ）分布是二项分布的特例；泊 松设随机变量 X 的分布律为0 ,k,1,02,或者 P ；分布kPXkk .e,就称随机变量X 听从参数为的泊松分布,记为Xnp= , n）；泊松分布为二项分布的极限分布（不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考几 何PXkqk1p ,k,1,23 ,其中 p0,q=1-p ；b1a,即分布均 匀
10、随机变量 X听从参数为p 的几何分布,记为Gp ；设随机变量X 的值只落在 a ,b 内,其密度函数fx 在a ,b 上为常数分布fx b1a,axb其他,0 ,就称随机变量X 在a ,b 上听从匀称分布,记为XUa, b ；分布函数为0,xb ；当 ax1x2b 时, X 落在区间（x 1, x2）内的概率为Px1Xx2x2x1；baex,x0, 分布fx0, x0, 其中0,就称随机变量X听从参数为的指数分布；X 的分布函数为Fxxdx1ex,x0, 记住积分公式：0 ,x0；xnen .0不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 27 页精选学习资料 - -
11、 - - - - - - - 仅供个人参考正 态 分 布离 散 型连 续 型设随机变量X 的密度函数为fx 、1x2,、的正态分布或高斯e22,x2其中0 为常数,就称随机变量X 听从参数为（Gauss）分布,记为XN,2；fx具有如下性质：1fx的图形是关于x对称的；2当x1,时,f 1为最大值；2 2 x,就 X 的分布函数为e 2 2dt；如 FXNx2参数0 、1时的正态分布称为标准正态分布,记为X N01, ,其密度函数记为 x1ex2,x,22分布函数为 x t2； x 1 e 2 dt2x 是不行求积函数,其函数值,已编制成表可供查用； -x 1- x 且 0 1 ；2N01,；
12、假如 X N,2,就XPx 1Xx 2x 2x 1；已知 X 的分布列为P Xx ix 1 ,x2 ,L,x n ,L,p 1 ,p2 ,L,p n,LXYgX 的分布列（y i g x i 互不相等）如下：g x 1 , g x 2 , L , g x n , L, p 1 , p 2 , L , p n , Lg ix 相等,就应将对应的 ip 相加作为 gix的概率；YPYy i如有某些先利用 X的概率密度fXx 写出 Y 的分布函数FYy PgX y ,再利用变上下限积分的求导公式求出f Yy ；不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页精选学习资
13、料 - - - - - - - - - 仅供个人参考（ 1）联合离散型第三章二维随机变量及其分布,假如二维随机向量（X,Y）的全部可能取值为至多可列分布个有序对（ x,y ）,就称为离散型随机量；设=（X,Y）的全部可能取值为x i,yji,j,12,且大事 =xi,yj的概率为 pij, , 称PX,Yx i,yjpiji,j,1,2为=（X,Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律；联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：X Y y1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pij这里 pij具有下面两个性质：连续型（1） pij 0（ i,j=1,2, ）；X,Y,
14、 如 果 存 在 非 负 函 数（2）p ij1 .ij对 于 二 维 随 机 向 量fx,yx,y,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=X,Y|axb,cyx1时,有 F（ x2,y ） Fx 1,y;当 y2y1时,有 Fx,y2 Fx,y1; （3）F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的,即（ 4）离散（4）F,FFx ,yFx0 ,y,Fx,yFx,y0;x,y dxdyF,yFx,0,F,1.（5）对于x 1x2,y1y2,x 1,y2Fx1,y10. fFx2,y2x2,y1FP Xx,YyPxXxdx,yYydy型 与 连 续型的关系（ 5）边缘离散型X
15、的边缘分布为p ij i,j,1 2 ,；分布P i.P Xx ijY 的边缘分布为连续型P .jP Yyjp iji,j1 2,；iX 的边缘分布密度为f Xxfx,ydy；Y 的边缘分布密度为f Yyfx,ydx .不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考（ 6）条件离散型在已知 X=xi 的条件下, Y取值的条件分布为分布P Yyj|Xxip ij；p i.在已知 Y=yj 的条件下, X取值的条件分布为连续型PXx i|Yyjpijj,p .在已知 Y=y 的条件下, X 的条件分布密
16、度为fx|yfx,y；fYy在已知 X=x 的条件下, Y 的条件分布密度为（ 7）独立一般型fy|xfx,yfXxFX,Y=F XxF Yy性离散型pijpi.p.j有零不独立连续型fx,y=fXxfYy 直接判定,充要条件：可分别变量 正概率密度区间为矩形二维正态分fx ,y212112e2 112x1122x1y2y222,布120 随机变量的 如 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn 相互独立, h,g 为连续函数,就：函数 h（X1,X2, Xm）和 g（Xm+1, Xn）相互独立；特例：如 X与 Y 独立,就： h（X）和 g（Y）独立；例如：如 X与 Y 独立,就： 3X+1 和
17、 5Y-2 独立；不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考（ 8）二维设随机向量（ X,Y）的分布密度函数为X,Y）匀称分布fx ,y1x ,y DS D,0其他其中 SD为区域 D的面积,就称（ X,Y）听从 D上的匀称分布,记为（U（D）；例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 ；y 1 O D11 x 图 3.1 y 1 D2O 1 2 x 图 3.2 y d D3c O a b x 图 3.3 不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页精选学
18、习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考（ 9）二维 正态分布设随机向量（ X,Y）的分布密度函数为fx ,y212112e2112x1122x1y2y222,12其中1,2,10,20|,|1是 5 个参数,就称（ X,Y）听从二维正态分布,记为（ X,Y） N（1,22,2,.12由边缘密度的运算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,（10）函数即 XN（1,2,YN2,2.2）；12但是如 XN（1,2,YN,22,X,Y未必是二维正态分布；12Z=X+Y 依据定义运算：F ZzPZzPXYz分布对于连续型, f Zz fx ,zx dx两个独立的正态分布
19、的和仍为正态分布（12,212n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍听从正态分布；Z=max,min如Ci2i,n2Ci22iiXiX1,X2相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为X 1,X 2, X n Fx 1x,Fxx Fx nx ,就Z=max,minX 1,X 2, X n的分布函数为：Fmaxx Fx 1x.Fx2x Fx nx x 1FxnxFminx11Fx 1x.1Fx2不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考2 分布设 n 个随机变量X1,X2,Xn相互独立,
20、且听从标准正态分布,可以证明它们的平方和Win1Xi2的分布密度为f1n1eu2 n ,u22u0,u2nn22我们称随机变量0 ,n的u0.2 分布,记为 WW听从自由度为其中n0xn1exdx .22所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量 分布中的一个重要参数；2 分布满意可加性：设Y i2ni,就t 分布ZkY i2n 1n22 n,nk.i1设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,且XN01, ,Y可以证明函数TXnY/的概率密度为ftn1n1.2n1t22tnn2我们称随机变量T 听从自由度为n 的 t 分布,记为Ttn ；t1ntn不得用于商业用途名师归纳总结 - - -
21、 - - - -第 12 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考F 分布设X2n 1,Y2n2,且n 1X 与 Y 独 立,可 以 证明FX/n 1的概率密度函数为n 1n1n 2Y/n2n 1n2fy2n 1211n1y2,y02yn 1n2n2n2（1）期望220,y0我们称随机变量F 听从第一个自由度为n1,其次个自由度为n2的 F 分布,记为Ffn1, n2. F1n 1,n2F1,n 1n2第四章随机变量的数字特点离散型连续型一 维设 X 是离散型随机变量, 其分布设 X是连续型随机变量, 其概率密随 机期望就是平均值律 为PXxk pk,度为
22、 fx,变 量的 数k=1,2, ,n ,EXxfx dx字 特n征EXxkpk（要求肯定收敛）k1（要求肯定收敛）函数的期望Y=gX n1gxkpkY=gX gxfx dxE YkE Y方差DX=EX-EXX2,DXkxkEX2pkDXxEX2fx dx标准差,XD不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考矩切比雪夫不等式对于正整数k,称随机变量X对于正整数k,称随机变量X 的的 k 次幂的数学期望为X 的 kk 次幂的数学期望为X的 k 阶原点阶原点矩,记为v k, 即矩,记为 vk, 即
23、k=EXk=ixk ipi, k=EX k=xkfx dx ,k=1,2, . k=1,2, . 对于正整数k,称随机变量X对于正整数k,称随机变量X 与与 E（X）差的 k 次幂的数学期E（X）差的 k 次幂的数学期望为X望为 X的 k 阶中心矩,记为k,的 k 阶中心矩,记为k,即即kEXEXk.kEXEXk.ixiEXkpi,=xEXkfxdx ,=k=1,2, .k=1,2, .设随机变量X 具有数学期望E（X）= ,方差D（X）=2,就对于任意正数 ,有以下切比雪夫不等式2P X2切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情形下,对概率P X 的一种估量,它在理论上有重要意义；（2）（1）
24、EC=C Xi期 望（2）ECX=CEX 的 性（3）nn质EX+Y=EX+EY ,ECiXiCiE（4）i1i1EXY=EX EY,充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关；（3）（1）DC=0；EC=C 方 差（2）DaX=a2DX ； EaX=aEX 的 性（3）DaX+b= a2DX ； EaX+b=aEX+b 质（4）DX=EX2-E2X （5）DX Y=DX+DY ,充分条件： X和 Y 独立；充要条件： X和 Y 不相关； DX Y=DX+DY 2EX-EXY-EY,无条件成立；而 EX+Y=EX+EY ,无条件成立；（4）0-1 分布B ,1p期望p方差p常
25、 见p 1分 布不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考的 期二项分布B n,pNEnp nMnp 1p望 和方差泊松分布P,11p几何分布G ppp2超几何分布Hn ,MnM1MNnNNNN1（5）匀称分布Ua,bEXba2ab212指数分布e 1122正态分布N,2n 2n 2分布nn2n2 t 分布0 期望nxfXx dx二 维Xxipi.随 机i1变 量函数的期望EnE YyfYy dy的 数 Yyjp.j字 特j1征EGX,YEGX,YiGxi,yjp ijGx ,yfx ,y dxdyj方差DXjixiEX2pi.DXxEX2fXx dxDYxjE Y2p .jD YyEY2fYy dy不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考协方差相关系数对于随机变量X 与 Y,称它们的二阶混合中心矩11为 X 与 Y 的协方