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1、山西省太原市第五中学2019届高三数学下学期5月阶段性考试试题 理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)1. 若复数 满足 （ 为虚数单位），则 A. B. C. D. 2. 若集合 ，则下列结论中正确的是 A. B. C. D. 3. 某中学的高中女生体重 （单位：）与身高 （单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法近似得到回归直线方程为 ，则下列结论中不正确的是 A. 与 具有正线性相关关系B. 回归直线过样本的中心点 C. 若该中学某高中女生身高为 ，则可断定其体重必为 D. 若该中学某高中女生身高增加 ，则其体重约增加 4.
2、在 中，则 A. B. 或 C. D. 或 5. 在等比数列 中，若 ，则 的值是 A.4B.8 C.16D. 326. 已知平面向量 ， 满足 ，则 的值是 A. B. C. D. 7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为 A. B. C. D. 8小明在花店定了一束鲜花，花店承诺将在第二天早上7：308：30之间将鲜花送到 小明家若小明第二天离开家去公司上班的时间在早上8：009：00之间，则小明在离开家之前收到这束鲜花的概率是() A. B. C. D.9. 已知函数 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且函数 是偶函数，下列判断正确的是
3、A. 对称函数 的最小正周期为 B. 函数 在 上单调递增 C. 函数 的图象关于直线 D. 函数 的图象关于点 对称 10. 在平面直角坐标系 中，双曲线 的右支与焦点为的抛物线 交于 ， 两点，若 ，则该双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 11.已知 ，不等式 的解集为 A. B. C. D. 12如图，在四面体中，、分别是中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为A B C D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若不等式组，所表示的平面区域存在点，使 成立，则实数的取值范围是_.
4、 14. 已知 ，则 15. 已知直线 ： 与圆 相交于 ， 两点， 是线段 中点，则 到直线 的距离的最大值为 16.等边的边长为1，点在其外接圆劣弧上，则的最大值 为 三、解答题(本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12分）已知数列中， ， .（1）求证： 是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.18.（12分）如图，在棱长为的正方体中，分 别是棱，的中点，点，分别在棱，上移动，且.（1）当时，证明：直线平面；（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19.（12分）第四届世界互联网大会在浙
5、江乌镇隆重召开，人工智能技术深受全世界人民的关注，不同年龄段的人群关注人工智能技术应用与发展的侧重点有明显的不同，某中等发达城市的市场咨询与投资民调机构在该市对市民关注人工智能技术应用与发展的侧重方向进行调查，随机抽取1 000名市民，将他们的年龄分成6段：20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70)，70,80，并绘制了如图所示的频率分布直方图(1)求这1 000名市民年龄的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)调查发现年龄在20,40)的市民侧重关注人工智能技术在学习与工作方面的应用与发展，其中关注智能办公的共有100人，将样本的频率视为总
6、体的频率，从该市年龄在20,40)的市民中随机抽取300人，请估计这300人中关注智能办公的人数；(3)用样本的频率代替概率，现从该市随机抽取20名市民调查关注人工智能技术在养老服务方面的应用与发展的情况，其中有k名市民的年龄在60,80的概率为P(Xk)，其中k0,1,2，20，当P(Xk)最大时，求k的值20.（12分）已知，点是动点，且直线和直线的斜率之积为. （1）求动点的轨迹方程； （2）设直线与（）中轨迹相切于点，与直线相交于点，且， 求证：.21.（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为 ( 1 ) 求的值； ( 2 ) 证明: .说明：请在22、23题中任选一题做答，写清题号
7、如果多做，则按所做第一题记分22（10分）已知曲线 的参数方程是 （ 是参数），以坐标原 点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 （1）写出 的极坐标方程和 的直角坐标方程；（2）已知点 ， 的极坐标分别为 和 ，直线 与曲线 相交于两点 ，射线 与曲线 相交于点 ，射线 与曲线 相交于点 ，求 的值 23（10分）已知函数 ，（1）当 时，解不等式 ；（2）若存在 满足 ，求 的取值范围数学答案（理）选择题DCCDA C A D B C A B 填空题13.14. 15.416.17. 1.【答案】(1)答案见解析；(2). （2），-得. 18.（1）见解析；（2）
8、. （2）设平面的一个法向量为，则由，得，于是可取.设平面的一个法向量为，由，得，于是可取.若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得，显然满足.故存在，使面与面所成的二面角为直二面角. 19.解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的1 000名市民年龄的平均数250.05350.1450.2550.3650.25750.154(岁)设1 000名市民年龄的中位数为x，则0.050.10.20.03(x50)0.5，解得x55，所以这1 000名市民年龄的平均数为54，中位数为55.(2)由频率分布直方图可知，这1 000名市民中年龄在20,40)的市民共有(0.050.10)1 00
9、0150人，所以关注智能办公的频率为，则从该市年龄在20,40)的市民中随机抽取300人，这300人中关注智能办公的人数为300200.故估计这300人中关注智能办公的人数为200.(3)设在抽取的20名市民中，年龄在60,80的人数为X，X服从二项分布，由频率分布直方图可知，年龄在60,80的频率为(0.0250.010)100.35，所以XB(20,0.35)，所以P(Xk)C0.35k(10.35)20k，k0,1,2，20.设t，k1,2，20.若t1，则k7.35，P(Xk1)P(Xk)；若t7.35，P(Xk1)P(Xk)所以当k7时，P(Xk)最大，即当P(Xk)最大时，k的值为
10、7.20.解：（1）设，则依题意得，又，所以有，整理得，即为所求轨迹方程. 5分 （2）设直线：，与联立得，即，依题意，即， 8分，得，而，得，又， 10分又，则.知，即. 21.（1）解：，由题意有，解得 4分（2）证明：（方法一）由（1）知，.设则只需证明，设则，在上单调递增，使得 7分且当时，当时，当时，单调递减当时，单调递增 8分，由，得， 10分 设，当时，在单调递减，因此12分（方法二）先证当时，即证设，则，且，在单调递增，在单调递增，则当时，8分（也可直接分析显然成立）再证设，则，令，得且当时，单调递减；当时，单调递增.，即又，12分法三：要证不等式等价于令，分别求最值.22.（1）由题得曲线的普通方程为，化成极坐标方程为曲线 的直角坐标方程为 （2） 易知在直角坐标系下，则线段 是圆 的一条直径，所以 ，由 ，得 由于 ， 是椭圆 上的两点，在极坐标下，设 ，分别代入 中，得 所以 则 即 所以 23（1） 当 时，由 得 当 时，不等式等价于 ，解得 ，所以 ；当 时，不等式等价于 ，即 ，所以此时不等式无解；当 时，不等式等价于 ，解得 ，所以 所以原不等式的解集为 （2） 因为原命题等价于 ，所以 ，所以 为所求实数 的取值范围