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1、考点规范练56离散型随机变量的均值与方差基础巩固组1.(2017陕西西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.4002.离散型随机变量X的分布列如下:X01Pa2a22则X的数学期望E(X)=()A.2B.2或12C.12D.13.若B(n,p),且E()=6,D()=3,则P(=1)的值为()A.32-2B.32-10C.2-4D.2-84.随机变量X的分布列为X124P0.40.30.3则E(5X+4)=()A.11B.15C.35D.395.(2017浙
2、江绍兴期中)已知随机变量的分布列为下表所示,若E()=14,则D()=()-101P13abA.56B.4148C.1D.236.设一随机试验的结果只有A和A,且P(A)=p,令随机变量X=1,A出现,0,A不出现,则X的方差D(X)等于.7.(2017浙江湖州考试)甲,乙两人被随机分配到A,B,C三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位),记分配到A岗位的人数为随机变量X,则随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=.8.盒中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中随机摸出3个小球,记摸到黑球的个数为X,则P(X=2)=,E(X)=.能力提升组9.已知X的分布列为X-101P121316且Y
3、=aX+3,E(Y)=73,则a的值为()A.1B.2C.3D.410.已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为()X4a9P0.50.1bA.5B.6C.7D.811.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)=()A.85B.65C.45D.2512.设是离散型随机变量,P(=x1)=23,P(=x2)=13,且x1x2,又已知E()=43,D()=29,则x1+x2的值为()A.53B.73C.3D.11313.设10x1x2x3D(2)B.D(1)=D(2)C.D(1)D(2)D
4、.D(1)与D(2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关14.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=.15.(2017安徽合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项,2为公比的等比数列,相应的奖金分别是7 000元,5 600元,4 200元,则参加此次大赛获得奖金的期望是元.16.(2017浙江名校联考)一个口袋里装有大小相同的6个小球,其中红色、黄色、绿色的球各2个,现从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球同颜色的概率是.若取
5、到红球得1分,取到黄球得2分,取到绿球得3分,记变量为取出的三个小球得分之和,则的期望为.17.(2017浙江台州调研)为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14,16;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12,23;两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望E(),方差D
6、().18.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电
7、机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?答案：1.B设没有发芽的种子有粒,则B(1 000,0.1),且X=2,所以E(X)=E(2)=2E()=21 0000.1=200.2.C由离散型随机变量的分布列知a2+a22=1,所以a=1,所以E(X)=012+112=12.3.BE()=np=6,D()=np(1-p)=3p=12,n=12,P(=1)=C1211212=3210.4.BE(X)=10.4+20.3+40.3=2.2.所以E(5X+4)=5E(X)+4=15.故选B.5.B由E()=-113+0a+1b=14,整理得b=712,由1
8、3+a+b=1,得a=1-13-712=112,所以D()=-1-14213+0-142112+1-142712=4148.6.p(1-p)X服从两点分布,故D(X)=p(1-p).7.2349甲,乙两人被随机分配到A,B,C三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位),记分配到A岗位的人数为随机变量X,则X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=2233=49,P(X=1)=2C2133=49,P(X=2)=C2233=19,所以X的分布列为X012P494919所以E(X)=049+149+219=23,D(X)=0-23249+1-23249+2-23219=49.8.155698P(X=2
9、)=C51C32C83=1556,P(X=0)=C53C83=1056,P(X=1)=C52C31C83=3056,P(X=3)=C33C83=156,所以的分布列为0123P105630561556156E(X)=130+215+3156=6356=98.9.BE(X)=-112+013+116=-13,E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-13a+3=73,所以a=2.故选B.10.C由题意知0.5+0.1+b=1,所以b=0.4,所以E(X)=40.5+a0.1+90.4=6.3,所以a=7.11.B由题意,XB5,3m+3,又E(X)=53m+3=3,所以m=2,则XB5,35,
10、故D(X)=5351-35=65.12.C由E()=43,D()=29,得23x1+13x2=43,x1-43223+x2-43213=29,解得x1=53,x2=23或x1=1,x2=2,x1x2,x1=1,x2=2,x1+x2=3.13.A由题意可知E(1)=15(x1+x2+x3+x4+x5),E(2)=15x1+x22+x2+x32+x3+x42+x4+x52+x5+x12=15(x1+x2+x3+x4+x5),则E(1)=E(2),且不妨设E(1)=E(2)=m,则D(1)=15(x1-m)2+(x5-m)2,D(2)=15x1+x22-m2+x5+x12-m2,又10x1x2x3D
11、(2).14.65由题意知,X可能的取值为0,1,2,3.若X=0,观察知题图中位于大正方体内部的27个小正方体无涂漆面,则P(X=0)=27125;若X=1,观察知题图中位于各面中部的9个小正方体涂1面漆,则P(X=1)=69125=54125;若X=2,观察知题图中位于各棱中部的3个小正方体涂2面漆,则P(X=2)=123125=36125;若X=3,观察知题图中位于大正方体顶点处的8个小正方体涂3面漆,则P(X=3)=8125.故E(X)=027125+154125+236125+38125=65.15.5 000由题意知a+2a+4a=1,所以a=17,所以获得一、二、三等奖的概率分别
12、为17,27,47,所以所获奖金的期望是E(X)=177 000+275 600+474 200=5 000(元).16.356根据题意,知任取3个小球共有C63=20(种)取法,而其中恰有2个小球同颜色的有3C22C41=12(种)取法,故所求概率为P=1220=35.由题意得,随机变量的可能取值为4,5,6,7,8,P(=4)=C22C2120=110,P(=5)=2C22C2120=15,P(=6)=C21C21C2120=25,P(=7)=2C22C2120=15,P(=8)=C22C2120=110,因此E()=4110+515+625+715+8110=6.17.解 (1)两人所付
13、费用相同,相同的费用可能为0,40,80元,两人都付0元的概率为P1=1416=124,两人都付40元的概率为P2=1223=13,两人都付80元的概率为P3=1-14-121-16-23=1416=124,则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=124+13+124=512.(2)设甲、乙所付费用之和为,则的可能取值为0,40,80,120,160,则P(=0)=1416=124,P(=40)=1423+1216=14,P(=80)=1416+1223+1416=512,P(=120)=1216+1423=14,P(=160)=1416=124.所以的分布列为04080120160P
14、1241451214124E()=0124+4014+80512+12014+160124=80,D()=(0-80)2124+(40-80)214+(80-80)2512+(120-80)214+(160-80)2124=4 0003.18.解 (1)依题意,p1=P(40X120)=550=0.1.由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=C40(1-p3)4+C41(1-p3)3p3=9104+49103110=0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5
15、 000,E(Y)=5 0001=5 000.安装2台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40X80)=p1=0.2;当X80时,两台发电机运行,此时Y=5 0002=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列为Y4 20010 000P0.20.8所以E(Y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840.安装3台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-1 600=3 400,因此P(Y=3 400)=P(40X120时,三台发电机运行,此时Y=5 0003=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X120)=p3=0.1.因此得Y的分布列为Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620.综上所述,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.