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1、课时分层训练(二十一)正弦定理和余弦定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1(2018兰州模拟)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定B由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2AA(0，)，sin A0，sin A1，即A.2在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是()A有一解B有两解C无解D有解但解的个数不确定C由正弦定理得，sin B1.角B不存在，即
2、满足条件的三角形不存在3(2016天津高考)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1B2C3D4A由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)故选A4(2018石家庄模拟)ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于() 【导学号：00090111】A BC或D或D由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B，即13BC23BC，解得BC1或BC2，当BC1时，ABC的面积SABBCsin B1.当BC2时，ABC的面积SABBCsin B2.总上之，ABC的面积等于或.5(
3、2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A()A B CDD过A作ADBC于D，设BCa，由已知得AD.B，ADBD，BDAD，DCa，ACa，在ABC中，由正弦定理得，sin BAC，故选D二、填空题6(2018青岛模拟)如图361所示，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_ 【导学号：00090112】图361sinBACsin(90BAD)cosBAD，在ABD中，有BD2AB2AD2ABADcosBAD，BD21892333，BD.7已知ABC中，AB，BC1，sin Ccos C，则ABC的面积为_由sin Cc
4、os C得tan C0，所以C.根据正弦定理可得，即2，所以sin A.因为ABBC，所以AC，所以A，所以B，即三角形为直角三角形，故SABC1.8(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A2sin Bcos Bsin(AC)又ABC，ACB2sin Bcos Bsin(B)sin B又sin B0，cos B.B.三、解答题9(2018陕西八校联考)已知ABC内接于单位圆，角A，B，C的对边分别为a，b，
5、c，且2acos Accos Bbcos C(1)求cos A的值；(2)若b2c24，求ABC的面积解(1)2acos Accos Bbcos C，2sin Acos Asin Ccos Bsin Bcos C，即2sin Acos Asin(BC)sin A4分又0A，sin A0.2cos A1，cos A.6分(2)由(1)知cos A，sin A.ABC内接于单位圆，2R2，a2sin A.8分由a2b2c22bccos A，得bcb2c2a2431，10分SABCbcsin A1.12分10(2017云南二次统一检测)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m(sin B,5
6、sin A5sin C)与n(5sin B6sin C，sin Csin A)垂直(1)求sin A的值；(2)若a2，求ABC的面积S的最大值 【导学号：00090113】解(1)m(sin B,5sin A5sin C)与n(5sin B6sin C，sin Csin A)垂直，mn5sin2B6sin Bsin C5sin2C5sin2A0，即sin2Bsin2Csin2A.3分根据正弦定理得b2c2a2，由余弦定理得cos A.A是ABC的内角，sin A.6分(2)由(1)知b2c2a2，b2c2a22bca2.8分又a2，bc10.ABC的面积Sbcsin A4，ABC的面积S的最
7、大值为4.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2016山东高考)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知bc，a22b2(1sin A)，则A()A B CDCbc，BC又由ABC得B.由正弦定理及a22b2(1sin A)得sin2A2sin2B(1sin A)，即sin2A2sin2(1sin A)，即sin2A2cos2(1sin A)，即4sin2cos22cos2(1sin A)，整理得cos20，即cos2(cos Asin A)0.0A，0，cos 0，cos Asin A又0A，A.2如图362，在ABC中，B45，D是BC边上的点，AD5，AC7，DC3，则AB的长为_图362在ADC中，AD5，AC7，DC3，由余弦定理得cos ADC，所以ADC120，ADB60.在ABD中，AD5，B45，ADB60，由正弦定理得，所以AB.3(2018昆明模拟)如图363，在四边形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC图363(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求CD的长. 【导学号：00090114】解(1)ADAB23，可设AD2k，AB3k.又BD，DAB，由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos，解得k1，AD2，AB3，sinABD.(2)ABBC，cosDBCsinABD，sinDBC，CD.