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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第十五章 Fourier 级数教学目的： 1.明确熟悉三角级数的产生及有关概念；2.懂得以 为周期的函数的 Fourier 级数的有关概念、定义和收敛定理；3.明确 2L 为周期的函数的 Fourier级数是 为周期的函数的 Fourier 级数的推广,并懂得奇、偶函数的 Fourier级数和 Fourier 级数的收敛定理；教学重点难点 ：本章的重点是将一个函数绽开成 级数的收敛性的判别；教学时数 ：10 学时Fourier 级数；难点是 Fourier一 1 Fourier 级数 . 倍频 . 三角级数与正交函数系 . 1
2、背景：波的分析：频谱分析 . 基频 函数绽开条件的减弱: 积分绽开 . 中用 Descates 坐标系建立坐标表示向量思想的推广: 调和分析简介 : 十九世纪八十岁月法国工程师 论的基础 .Fourier 建立了 Fourier 分析理名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.学习必备欢迎下载. 三角级数的一般形式 : 一般的三角级数为由于 , 设, 得三角级数的一般形式3. 三角级数的收敛性 : Th1 如级数收敛 , 就级数在 R 内肯定且一致收敛 . 证 用 M 判别法 .4.三角函数正交系统 : （ 1. ）
3、内积和正交 : 由 R 中的内积与正交概念引入 . 设函数 和 在区间 上 R可积 . 定义内积为. 名师归纳总结 当时 , 称函数和在区间上正交 . 第 2 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数的正交性与区间有关 . 学习必备欢迎下载和在区间例如函数上并不正交 由于: , 但在区间却是正交的 .（2）.正交函数系统标准正交系 幺正系 , 完全系 .三角函数系统是区间上的正交系统 . 验证如下 : , ; , 对且,有该系统不是标准正交系, 由于和. , 因此 , 三角函数系统名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 2
4、1 页精选学习资料 - - - - - - - - - 是标准正交系 . （与 R学习必备欢迎下载比较 ）中的坐标系二.以为周期函数的 Fourier 级数：1 三角级数的系数与其和函数的关系：Th2 如在整个数轴上且等式右端的级数一样收敛,就有如下关系式,证 P642 Fourier 系数和 Fourier 级数：Euler Fourier 公式： 设函数在区间上（R）可积,称公式,为 Euler Fourier 公式. 称由 Euler Fourier 公式得到的和为函数名师归纳总结 的 Fourier 系数 . 并称以 Fourier 系数和为系数的三角级数第 4 页,共 21 页- -
5、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为函数学习必备欢迎下载的 Fourier 级数 , 记为例 1, . 求函数的 Fourie r 级数 . 解是上的奇函数 , ; . 因此 , . 例 2设函数满意条件 称满意该条件的函数为反周期函数. 问这种函数在区间内的 Fourier 系数具有什么特性 . 解. 而. 名师归纳总结 因此 , 时, , . ; 第 5 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同理得. 学习必备欢迎下载三. 收敛定理 : 1. 按段光滑函数 : . 定义 如 的导函数 在区间 上连续
6、, 就称函数 在区间上光滑 .如函数 在区间 上至多有有限个第一类间断点 , 且仅在区间 上有限个点处不连续且为第一类间断点 , 就称 是区间 上的按段光滑函数 . 按段光滑函数的性质 : 设函数 在区间 上按段光滑 , 就 在区间 上可积 ; 对 , 都存在 , 且有, 用 Lagrange 中值定理证明 名师归纳总结 在区间上可积 . 上按段光第 6 页,共 21 页2.收敛定理 : Th3 设函数是以为周期的周期函数且在区间滑 , 就在, 的 Fourier 级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值, 即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备
7、欢迎下载, 其中和为函数的 Fourier 系数 . 证明放到以后进行 系 如 是以 为周期的连续函数 , 在 上按段光滑 ,且就 的 Fourier 级数在 内收敛于 . 3. 函数的周期延拓 : 四. 绽开举例 : 例 3 把函数 绽开为 Fourier 级数 . 解 参阅例 1 , 有例 4绽开函数. 解在; 上连续且按段光滑 , . , 因此有函数又. 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 倘令, 就有学习必备欢迎下载, 例 5 设求函数的 Fourier 级数绽开式 . P67 . 例 1例 6把函数绽开成
8、Fourie r 级数. P68 例 2 例 7在区间内把函数绽开成 Fourier 级数 .练习 1（2）（ i）解法一 直接绽开 ; ; . 函数在区间内连续且按段光滑 , 因此有, . 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于, 学习必备欢迎下载上成立 . 该绽开式在 在该绽开式中 , 取得, ;取, . 解法二 间接绽开 : 对例 3 中的绽开式作积分运算 由例 3 , 在区间内有. 对该式两端积分 , 由 Fourier 级数可逐项积分 ,有 . 为求得, 上式两端在上积分 , 有, 因此 , , . 2
9、以为周期的函数的绽开式名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一.以为周期的函数的学习必备欢迎下载Fourier 级数 : 设函数以为周期 , 在区间上 R 可积 . 作代换, 就函数以为周期 . 由是线性函数 , 在区间上R 可积 . 函数的 Fourier 系数为 . . , , 仍原为自变量, 留意到, 就有其中 , , 当函数在区间上按段光滑时 , 可绽开为 Fourie r 级数 . 註三角函数系是区间上的正交函数系统 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页精选学习资料 - -
10、- - - - - - - 例 1把函数学习必备欢迎下载绽开成 Fourier 级数 . P72 例 1 二. 正弦级数和余弦级数 : 1.区间上偶函数和奇函数的Fourier 级数 : 2.奇绽开和偶绽开 : 求的 Fourier 级数绽开式 . 例 2设, . P74 例 2 例 3把定义在上的函数 其中之一绽开成正弦级数 . 例 4把函数在内绽开成 : 正弦级数 ; 余弦级数 . P76 例 4名师归纳总结 3 收敛定理的证明第 11 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Dini 定理设以学习必备欢迎下载上按段光滑 , 就在为周期的
11、函数在区间每一点即, 的 Fourier 级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值 , , 其中和为的 Fourier 系数. 证明思路 : 设对每个, 我们要证明 . 即证明. 方法是把该极限表达式化为积分 的极限为零 . 施证方案 : , 利用 Riemann Lebesgue 定理证明相应积分式为1.写出的简缩形式 . 称这一简缩形的积分形式 , 或称为 Dirichlet 积分 , 即. 利用该表示式 , 式 可化为名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载+ , 于是把问题归结为证明, 和 .
12、这两式的证明是相同的 , 只证第一式 . 名师归纳总结 2.为证上述第一式 , 先利用三角公式第 13 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 建立所谓 Dirichlet 积分学习必备欢迎下载表示为积, 利用该式把分,即把 表示为 Dirichlet 积分. 于是又把上述 1 中所指的第一式左端化为. 3. 利用所谓 Riemann Lebesgue 定理证明上述极限为零 . 为此 , 先证明 Bessel 不等式 P78 预备定理 1 , 再建立 Riemann Lebesgue定理, 然后把以上最终的式子化为. 4.把上式化为应用Rie
13、mann Lebesgue 定理的形式 , 即令, 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就学习必备欢迎下载. 为使最终这一极限等于零 , 由 Riemann Lebesgue 定理, 只要函数在区间 上可积 . 因此期望 存在. 由函数 在区间 上按段光滑 , 可以验证 存在 . 预备定理及其推论 : 为实施以上证明方案 , 我们先建立以下预备定理和其推论 . 预备定理 1 Bessel 不等式 如函数在区间上可积 , 就有Bessel 不等式, 其中和为函数的 Fourier 系数 .证P78 . 在区间上可积
14、, 推论 1 Riemann Lebesgue 定理 如函数就有, . 证 P79 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 推论 2 如函数在区间学习必备欢迎下载上可积 , 就有, . 证 P79.预备定理 2 如是以为周期的周期函数 , 且在区间上可积, 就函数的 Fourie r 级数部分和有积分表示式. 当 时, 被积函数中的不定式由极限来确定 . 证 P80 81. Dirichlet 积分: . 证 由三角公式名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 21 页精选学习资料 - - - -
15、- - - - - 学习必备 欢迎下载, .Dini 定理的证明 : P8182 . 附註1.Parseval 等式 或称 等式 设可积函数的 Fourie r级数在区间上一样收敛于, 就成立 Parseval 等式. 证法一 留意到此时函数在区间可积 ,由 Bessel 不等式 , 有. 现证对, 有. 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 事实上 , 令学习必备欢迎下载由一样收敛于,对对, 有, 因此 , . 即当 时有. 令, . 由的任意性, 有. 综上即得所证 .而证法二由一样收敛于, . . 因此 , .
16、 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由双逼原理 , 即得所证等式 .证法三利用内积的连续性 可参阅一般泛函书 , 有=. Parseval 等式仍可用公式 其中、与、分别是函数和的 Fourier 系数（ 参阅吉林高校邹. 承祖等编数学分析习题课讲义上册P427 ）证明；也可用所谓卷积函数证明Parseval 等式的意义： 设在幺正系下函数的 Fourier 系数为和,可见,；,；同理有; 其中和为函数的通常 Fourier 系数. 名师归纳总结 于是 , Parseva l 等式即成为第 19
17、 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载. 留意到 , 就有, 这是勾股定理的推广 , 即在坐标系中的勾股定理 . 因此, 可称 Parseval 等式是无穷维空间中的勾股定理 . 与三维空间中的勾股定理做比较 .2. Fourier 级数与三角级数 : Fourier 级数与三角级数的区分：Fourier级数是三角级数,但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的 Fourier 级数.一个三角级数是 Fourier 级数 即是某个可积函数的 条件为 : Fourier 级数 的必要如三角级数 为 Fourier 级数 , 就
18、数项级数收敛 . 参阅复旦高校编 数学分析 下册 P116 117 . 比如正弦级数是收敛的三角级数 利用 Dirichlet 判别法 , 由级数不是 Fourier 级数 . 发散 , 正弦级数名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例证明 : 当学习必备欢迎下载在 R 内收敛 , 但其和函时, 三角级数数 在区间 上不是 R 可积的 . 证 由 Dirichlet 判别法 , 可得该级数在 内收敛 . 反设和函数在区间在 上 R 可积 , 就该三角级数是函数 的 Fourier 级数 . 由于 也在 上 R 可积
19、, 就有 Bessel 不等式. 即有上式左端的正项级数收敛 . 但由, 冲突 . 可见, 函数在区间在上不是 R 可积的 . 因此 , 本例中的三角级数不是 Fourier 级数. 名师归纳总结 一个三角级数是否为Fourier 级数 , 与所用积分有关 . 在某种积分意义下第 21 页,共 21 页不是 Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier 级数 . 近代或现代有些积分的建立 ,其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier 级数 . 最新的一个讨论结果是 : 在所谓 SCP 积分 Symmetric Cesaro Pe rron 积分 意义下 , 上例中的三角级数是Fourier 级数.- - - - - - -