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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次十二章 曲面积分教学目的： 1.懂得第一、二型曲面积分的有关概念,并把握其运算方法,同时明确它们的联系； 2.把握高斯公式与斯托克斯公式；3.懂得有关场的概念,把握梯度场、散度场、旋度场、治理场与有势场的性质及应用；教学重点难点 ：本章的重点是曲面积分的概念、运算；难点是其次型曲面积分；教学时数 ：18 学时 1 第一型曲面积分一. 第一型面积分的定义 : 1. 几何体的质量 : 已知密度函数 , 分析平面区域、空间几何体的质量定义及运算2.曲面的质量 : .3.第一型面积分的定义 : 定义及记法 ., 面积分4.第一型面
2、积分的性质 : 名师归纳总结 二. 第一型面积分的运算 : 第 1 页,共 11 页1.第一型曲面积分的运算 : - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Th22.2 设有光滑曲面学习必备欢迎下载.为上的连续函数 ,就运算积分, 其中是球面. 被平面例 4 所截的顶部 . P281 2 其次型曲面积分一. 曲面的侧 : 1. 单侧曲面与双侧曲面 : 2. 双侧曲面的定向 : 曲面的上、下侧,左、右侧,前、后侧 . 设法向量为 , 就上侧法线方向对应第三个重量 , 即选“+” 号时,应有,亦即法线方向与 轴正向成锐角 . 类似确定其余各侧的法线方向 闭合曲面分
3、内侧和外侧. 名师归纳总结 二. 其次型曲面积分 : 第 2 页,共 11 页1. 稳流场的流量 : 以磁场为例 . P2842. 其次型曲面积分的定义 : P284 . 闭合曲面上的积分及记法 . 3. 其次型曲面积分的性质 : 线性 , 关于积分曲面块的可加性 . 4. 其次型曲面积分与第一型曲面积分的关系: - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设为曲面学习必备欢迎下载的指定法向 , 就.三. 其次型曲面积分的运算 : Th22.2 设是定义在光滑曲面D上的连续函数 , 以的上侧为正侧 即, 就有. 证 P类似地 , 对光滑曲面D, 在其前侧上的积分
4、. 对光滑曲面D, 在其右侧上的积分. 运算积分 时, 通常分开来运算三个积分名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - , 学习必备, 欢迎下载. 为此 , 分别把曲面投影到 YZ 平面, ZX 平面和 XY 平面上化为二重积分进行运算 . 投影域的侧由曲面的定向打算 . 是球面在例 1 运算积分,其中部分取外侧 . P287 例 2 运算积分,为球面取外侧 . 解对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的外侧 , 就有因此 , : : =+ = ; . . 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精
5、选学习资料 - - - - - - - - - 对积分学习必备欢迎下载记右半球面和左半球面的, 分别用和外侧 , 就有因此 , : += ; : . . 对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 就有因此 , : =+ = ; : . . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 综上, 学习必备欢迎下载=. 3 Gauss 公式和 Stokes 公式一. Gauss 公式: Th22.6 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面围成 . 如函数在 V上连续 , 且有连续的一阶偏导数 , 就, 其中 取外侧 .称上述
6、公式为 Gauss 公式或 Gauss 公式 . 证 只证 . 设 V 是型区域 即型体 , 其边界曲面由曲面以及垂直于下侧 , D, =.上侧 , D. 平面的柱面外侧 组成 . 留意到, 有= 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载= . 可类证, . 以上三式相加 , 即得 Gauss 公式. 例 1 运算积分,为球面取外侧 . 解. . 由 Gauss 公式例 2 运算积分,其中是边名师归纳总结 长为的正方体 V 的表面取外侧 . V : . P291 第 7 页,共 11 页解应用 Gaus
7、s 公式 , 有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载. 例 1运算积分,为锥面在平面下方的部分,取外法线方向 . ; 构成由其所围锥体解设为圆取上侧 , 就V 的表面外侧, 由 Gauss 公式 , 有=锥体 V 的体积而因而 , . 例 1设 V 是三维空间的区域 , 其内任何封闭曲面都可不通过V 外的点连续收缩为 V 上的一点 . 又设函数、, 和在 V 上有连续的偏导数 . 表示 V 内任一不自交的光滑封闭曲面是的外法线 . 试证明: 对 V 内任意曲面恒有的充要条件是在 V 内到处成立 . 名师归纳总结 - - - - - -
8、-第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证学习必备欢迎下载. 由 Gauss 公式直接得到 . 反设不然, 即存在点V, 使, 不妨设其. 由在点连续 , 存在以点为中心且在 V内的小球, 使在其内有. 以表示小球的表面外侧 , 就有, 与 冲突 . 二. Stokes 公式 : 空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L 正向的匹配关系 : 右手螺旋法就 , 即当人站在曲面的正侧上 , 沿边界曲线 L 行走时 , 如曲面在左侧 , 就把人的前进方向定为 L 的正向 . 名师归纳总结 1. Stokes 定理: 第 9 页,共 11 页- - - - - - -精
9、选学习资料 - - - - - - - - - Th22.7 设光滑曲面学习必备欢迎下载的边界 L 是按段光滑的连续曲线 . 如函数、和在 连同 L 上连续 ,且有一阶连续的偏导数 , 就. 其中 的侧与 L 的方向按右手法就确定 .称该公式为 Stokes 公式 . 证先证式. 详细证明参阅 P292. Stokes 公式 也记为 . 例 5 运算积分, 其中L 为平面与各坐标平面的交线 , 方向为 : 从平面的上方往下看为逆时针方向 . : P2942. 空间曲线上其次型曲线积分与路径无关性空间单连通、复连通域 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - Th 22.5 设R学习必备欢迎下载、为空间单连通区域 . 如函数和 对于在上连续 , 且有一阶连续的偏导数, 就以下四个条件等价 : 内任一按段光滑的封闭曲线L , 有; 对于内任一按段光滑的封闭曲线L , 曲线积分与路径无关 ; 是内某一函数的全微分 ; P294 在内到处成立 . 3. 恰当微分的原函数 : 名师归纳总结 恰当微分的验证及原函数求法. 与路径无关, 并第 11 页,共 11 页例 6 验证曲线积分求被积表达式的原函数. P295- - - - - - -