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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -动点与线段的和与差一、 学问梳理模型 一. 两点之间线段最短【 1】肯定直线,异侧两定点已知：直线l 和它异侧两点A、 B,在直线 l 上求作一点P,使 PAPB 最小AlB【 2】肯定直线,同侧两定点已知：直线l 和它同侧两点A、 B,在直线 l 上求作一点P,使 PAPB 最小ABl【 3】两定直线,肯定点已知： MON 内部有一点P 在 OM 、ON 上分别作点A、B,使 PAB 周长最小MPO N【 4】两定直线,两定点已知： MON 内部有两点P、Q,在 OM 、ON 上分别作点A、B,使四边形PQ
2、BA 周长最小MPQ细心整理归纳 精选学习资料 ON 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -模型二 . 垂线段最短 1.如图 5,点 A 是 MON 外的一点,在射线OM上作点 P,使 PA与点 P 到射线 ON的距离之和最小；图 5 图 6 图 7 2. 如图 6 和 7,点 A 是 MON 内的一点,在射线 P 到射线 ON的距离之和最小；OM上作点 P,使 PA与点例题 1（2022 年钦州）18如图,在正方形 ABCD中
3、,E是 AB上一点,BE=2,AE=3BE,P 是 AC上一动点,就 PB+PE的最小值是思想方法模型【 2】肯定直线,同侧两定点已知：直线l 和它同侧两点A、 B,在直线 l 上求作一点P,使 PAPB 最小ABl细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -练习1练习 2（2022 年广西百色） 12如图,正 ABC的边长为 2,过点 B 的直线 lAB,且 ABC与 ABC关于直线 l 对称,D 为线段
4、 BC上一动点,就 AD+CD的最小值是（）A4 B3 C2 D2+练习 3 （2022.南宁）如图, AB 是 O 的直径, AB=8,点 M 在 O 上, MAB=20 ,N 是弧 MB 的中点, P 是直径 AB上的一动点如MN=1 ,就 PMN 周长的最小值为（）A4 B 5 C6 D7 7（ 2022.安顺）如图, MN 是半径为 1 的 O 的直径,点A 在 O 上, AMN=30 ,点 B为劣弧 AN 的中点 P 是直径 MN 上一动点,就PA+PB的最小值为（） 第 3 页,共 8 页 AB 1 C2 D2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -
5、- - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -练习 4 （2022.内江）如图,正方形ABCD的面积为 12, ABE是等边三角形,点E 在正方形 ABCD内,在对角线 AC上有一点 P,使 PD+PE最小,就这个最小值为（）AB 2 C2 D例题 2 如图,点 P 关于 OA 、OB 的对称点分别为 C、D,连接 CD,交 OA 于 M ,交 OB 于 N,如 CD18cm ,就 PMN 的周长为 _；思想方法【 3】两定直线,肯定点M已知：MON 内部有一点 P 在 OM 、ON 上P分别作点 A、
6、B,使 ABPB 最小O N练习 1 如图 3,AOB=45 ,P 是AOB 内一点,B PO=10 ,Q、R 分别是 OA 、OB 上的动点,R P 求PQR 周长的最小值O Q A 图 3 练习 2 （2022 年滨州） 11 如图,AOB=60 ,点 P 是AOB 内的定点且OP= 3,如点 M 、N 分别是射线 OA 、OB 上异于点 O 的动点,就 PMN 周长的最小值是（）A36/2B33/2C6D3 第 4 页,共 8 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - -
7、 - - - - - - - - - - - - -例题 3 13（2022 .武汉）如图, AOB=30 ,点 M 、N 分别在边 OA 、OB 上,且 OM=1 ,ON=3 ,点 P、Q 分别在边 OB 、OA 上,就 MP+PQ+QN的最小值是M思想方法【 4】两定直线,两定点已知： MON 内部有两点P、Q,在 OM 、ON 上分别OPQN作点 A、B,使四边形PQBA 周长最小练习 1 18 （3 分）（2022 .玉林）如图,已知正方形ABCD 边长为 3,点 E 在 AB 边上且 BE=1 ,点 P,Q 分别是边 BC, CD 的动点（均不与顶点重合） ,当四边形AEPQ 的周长
8、取最小值时,四边形 AEPQ 的面积是例题 4 2022 年贵港 11如图,在 Rt ABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,AD 是BAC的平分线如 P,Q 分别是 AD 和 AC上的动点,就 PC+PQ的最小值是（）D5AB 4 C思想方法模型二 . 垂线段最短1. 如图 5,点 A 是 MON 外的一点,在射线 OM上作点 P,使 PA与点 P 到射线 ON的距离之和最小；图 5 图 6图 7 2. 如图 6 和 7,点 A 是 MON 内的一点, 在射线 OM上作点 P,使 PA与点 P 到射线 ON的距离之和最小；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -
9、 - - - - - 第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -练习 1 如图,在锐角 ABC 中, AB42,BAC45,BAC 的平分线交 BC 于点 D,M 、N 分别是 AD 和 AB 上的动点,就 BM+MN 的最小值是 _练习 2 （2022 .绥化）如图,在矩形 ABCD 中,AB=10 ,BC=5 如点 M 、N 分别是线段 AC,AB 上的两个动点,就BM+MN的最小值为（）A10 B8 C5D6 练习 3 （2022.鄂尔多斯）如图,在Rt ABC中, C=90, AC=
10、6,BC=8,D 是 AB 上的动点, E 是BC上的动点,就 AE+DE的最小值为（）A3+2 B10 CD细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -作业1（2022 .日照）问题背景：如图（ a）,点 A、B 在直线 l 的同侧,要在直线 l 上找一点 C,使 AC 与 BC 的距 离之和最小, 我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B,连接 AB与直线 l 交于点 C,就点 C 即为所求（1）实践
11、运用：如图（ b ）,已知, O 的直径 CD 为 4,点 A 在O 上,ACD=30 ,B 为弧 AD 的中点, P 为直径 CD 上一动点,就 BP+AP 的最小值为（2）学问拓展：如图（ c）,在 Rt ABC 中,AB=10 ,BAC=45 ,BAC 的平分线交 BC 于点 D,E、F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点,求 BE+EF 的最小值,并写出解答过 程2（2022 黄冈中考）如图,圆柱形玻璃杯高为14cm ,底面周长为 32cm ,在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上 沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处,就蚂蚁从外壁 A 处到内
12、壁 B 处的最短距离为cm （杯壁厚度不计） 第 7 页,共 8 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3、问题探究（1）如图,四边形ABCD是正方形,AB10 cm,E 为边 BC 的中点, P 为 BD上的一个动点,求PCPE 的最小值；AB10 cm,ABC45 , E 为边 BC（2）如图,如四边形ABCD 是菱形,上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC 垂线段最短）PE 的最小值；（结合勾股,利用问题解决（
13、 3）如图,如四边形ABCD 是矩形,AB10 cm,BC20 cm, E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC 称,垂线短最短,结合相像）PE 的最小值；（利用对A D A A D D P B E C B C B C 4、（2022 年贵港） 17如图, MN 为 O 的直径,A、B 是 O 上的两点,过 A 作 ACMN 于点 C,过 B 作 BDMN 于点 D,P 为 DC 上的任意一点,如 MN 20,AC8,BD6,就 PAPB的最小值是 _；5（ 2022.东营）在 O 中, AB 是 O 的直径, AB=8cm,=,M 是 AB 上一动点, CM+DM 的最小值DC是cm5 如图,菱形 ABCD 中, AB=2, BAD=60 ,点 E、F、P 分别是 AB、BC、AC 上的动点,AEPBF 第 8 页,共 8 页 就 PE+PF 的最小值为 _. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -