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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案与圆有关的位置关系重点、难点：1. 重点：（1）点与圆、直线与圆位置关系的判定；（2）三角形外接圆的性质；（3）切线的识别及切线性质的应用；（4）切线长定理；（ 5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内切 圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形；（6）两圆相交、相切的性质和判定；（7）圆和圆的位置关系；2. 难点：（1）直线与圆相切的性质和判定；（2）切线的判定方法：切线的性质；（ 3）要充分发挥基本图形在证、解题中的作用,正确恰当地依据基本规律来添加帮助 线；两圆相交,可作公共
2、弦；两圆相切,可作公切线；有半圆,可作整圆；有直径,可作直径所对的圆周角；圆与圆要心连心,即作连心线；【学问纵览】1. 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情形,这三种情形,与点到 圆心的距离（ d）、圆的半径（ r）之间有着紧密的联系；也就是说：点与圆的位置关系,不仅 可以用图形来表现,仍可以由数量关系来表示,其对应关系可简明地表示如下：图形（点与圆）的位置关系数量（ d 与 r）的大小关系点在圆内 d r 点在圆上 d r 点在圆外 d r 2. 直线与圆的位置关系的性质与判定设 r 为圆的半径, d 为圆心到直线的距离,直线与圆的位置关系如下表：位置关系
3、相离相切相交图形名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 公共点个数0 名师精编优秀教案2 1 数量关系dr dr dr 3. 三角形内心与外心的区分图形名称确定方法直性质外心（三角形外三角 形三边垂OA OBOC；外心不接圆的圆心）平分线的交点角肯定在三角形的内部内心（三角形内三角 形三个内 OD OE OF； OA 、切圆的圆心）的平分线的交点OB、OC 分别平分 BAC 、ABC 、 ACB 4. 两圆的位置关系、数量关系及识别方法设两圆的半径分别为R 和 r,圆心距（圆心间的距离）为d；R、r 与 d 的关系位置关
4、系图形公共点个数外离0 dRr外切1 dRr相交2 RrdRr内切1 dRr名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 内含名师精编优秀教案0 dRr上表中,两圆内含时,假如【典型例题】d0,就两圆同心,这是内含的一种特别情形；例 1. O 的半径为 2.5,动点 P 到定点 O 的距离为 2,动点 Q 到 P 点距离为 1；问：P 点、Q 点和 O 是什么位置关系？为什么？解： PO22.5 P 点在 O 内部 Q 点和 O 点的距离较复杂,如下图,需分类争论；当 Q 点在 OP 延长线上时,就Q 点和 O 点距离最大,最
5、大距离为213；当 Q 点在 OP 上时,就 Q 点和 O 点距离最小,最小距离为211；当 Q 点处在Q1点和Q2点时,就QO2 5. ,如上图所示；综上所述, Q 点既可能在 O 上,也可能在O 外,或在 O 内；例 2. 在平面直角坐标系xOy 中,当以点O（4,3）为圆心的圆分别满意以下条件时,求其半径 r 的取值范畴；（1）与坐标轴有惟一交点；（2）与坐标轴有两个交点；（3）与坐标轴有三个交点；（4）与坐标轴有四个交点；名师归纳总结 解： 如下图,由题意,圆心O到 x 轴的距离d x3,到 y 轴的距离dy4；第 3 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - -
6、 - - - - - - 名师精编 优秀教案（1） O与坐标轴有惟一公共点只可能与x 轴有惟一公共点r5；rd x3（2）由条件知,O与 x 轴相交,但与y 轴无公共点3 r 4（3） O与坐标轴有三个交点 O与 x 轴必相交且与y 轴必有公共点如 O与 y 轴有惟一公共点,就r4 如 O与 y 轴有两个公共点,就其中一个公共点必为原点,故所求 r 的值为 r4 或 r5 （4） O与坐标轴有四个交点 O与两坐标轴都相交,且不过原点 r4 且 r 5 例 3. 如下列图,已知：AB 是 O 的直径, BC 是 O 的切线,切点为B；OC 平行于弦AD ,试说明： DC 是 O 的切线；解： 连
7、结 OD 由于 OA OD,所以 1 2 又由于 AD OC,所以 1 3, 2 4 因此 3 4 而 OB OD,OC 公共,于是将OBC 沿 OC 翻折可与ODC 重合所以 ODC OBC 名师归纳总结 又 BC 是 O 的切线,所以OBC 90第 4 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案从而 ODC90 , OD DC,故 DC 是 O 的切线例 4. 如下列图,已知 AB 、AC 分别是 O 的直径和弦, D 为劣弧AC 上一点, DEAB于点 H,交 O 于 E,交 AC 于点 F,P 为 ED 延长线上一点；
8、（1）当 PCF 满意什么条件时,PC 与 O 相切,请说明理由；（2）当点 D 在劣弧AC 上的什么位置时,才能使AD2DEDF；精析与解答： （1）如下列图,当PCF 为等腰三角形,PC PF 时, PC 与 O 相切连结 OC,当 PCPF 时, PCF PFC DEAB , 1 AFH 90 1 PFC90 ,即 1 PCF90又 OA OC, 1 2 2 PCF 90 ,即 PC 与 O 相切于点 C （2）当 D 为劣弧AC 中点时, AD2DEDF连结 AE, D 为AC 中点, 3 4 又 ADF EDA , ADF EDA ADDF2DEDFEDDA ,即AD例 5. 如下图
9、, AB 是半圆 O 的直径, C 为半圆上一点,点 D, C 以 CD 为半径；CD 切 O 于点 C,AD CD 于名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案求证： AB 是 C 的切线；分析： 要证 AB 是 C 的切线,就是要证点C 到 AB 的距离 CECD；即要证ACD 和 ACE 全等；证明： 过点 C 作 CE AB 于点 E,连结 AC 、BC 、OC CD 是 O 的切线, AB 是 O 的直径CD OC,AC BC ACDACO90,ACOOCB90ACDOCBOCB ,BBAC90
10、ACEBAC90ACDBACE在 ACD 和 ACE 中CDACEA90,ACDACE,ACAC ACD ACE CECD AB 是 C 的切线例 6. 如下图,设 I 与 ABC 的三边 AB 、BC、AC 分别相切于点 F、D、E,连结 BI 、CI、ED、FD；如 A60 ,就 BIC _, EDF_；分析： 此题所求的两个角分别是I 的圆心角和圆周角；假如考虑用圆心角等性质来求；但条件不足,所以只能用三角形的内心性质及三角形的内角和定理来求；解： 连结 IE、IF I 是 ABC 的内切圆名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页精选学习资料 - - - - -
11、- - - - IBC1 2名师精编优秀教案ABC,ICB1ACB2BIC180IBCICB180（1ABC1ACB）221801（ABCACB）21801（180A）218011202120 I 分别切 AB 、AC 于 F、E IF AB ,IEAC AFI AEI 180 A EIF 180EIF180A18060120O 相交EDF1EIF602例 7. 如下列图, O 半径为 R,CD 为 O 直径,以 D 为圆心； r 为半径的圆与于 A、B,BD 的延长线交 D 于 E 点；求证：r2RAEAD ；可知 AD 即为 O证明： 此题中的 O 经过 D 的圆心,是一种特别相交,就连接
12、的弦,又为 D 的半径,两圆相交可作公共弦,连接 形找到共边型的相像三角形；连结 AD 、AB、OA 、AC AOD2 ,ADE2B又 C B AB ,对 R、 r 进行挑选,然后用三点定名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 AOD ADE AOD 与 ADE 都是等腰三角形且顶角相等它们的底角也相等,即ADO DAE AOD ADE AD AERAOAD （相像三角形对应边成比例）AD2AOAE即r2AE例 8. 已知：如下列图,在直角梯形ABCD 中, AD BC, B90 , AB 8cm,A
13、D 24cm,BC26cm,AB 为 O 的直径,动点 P 从点 A 开头沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动,动点 Q 从点 C 开头沿 CB 边向点 B 以 3cm/s 速度运动； P、Q 分别从点 A 、C 同时出发,当其中一点到端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 t 秒,求：（1）t 分别为何值时,四边形（2）当 t 分别为何值时,直线PQCD 为平行四边形？等腰梯形？PQ 与 O 相切？相交？相离？精析与解答： （1）四边形 PQCD 为平行四边形时,只要 PDCQ 即可；四边形 PQCD为等腰梯形时,就要 PQCD ,PD QC 当 QC PD 时,有 3 t
14、24 t ,解得 t6 当 t6s 时,四边形 PQCD 为平行四边形过 P、D 分别作 BC 的垂线交 BC 于 E、F（如图甲所示） ,就由等腰梯形的性质可知 EFPD,QE FC2,QC PD4 名师归纳总结 3 t24t4,解得 t7 第 8 页,共 21 页当 t7 时得四边形PQCD 为等腰梯形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案甲（2）争论动直线 PQ 与 O 的位置关系,关键是要抓住直线 PQ 与 O 相切时的情形计算出 t 的值,加以分析推理可以得出 PQ 与 O 相交、相离时 t 的值；设运动 t s 时,直线 PQ
15、 与 O 相切于点 G,过 P 作 PHBC,垂足为 H（如图乙所示）乙PHAB ,BHAP 即 PH8,HQ 264t 由切线长定理,得：PQAPBQt263 t262tD,但由勾股定理,得：PQ2PH2HQ2即262 t22 8264 t2得 3 t226 t160,解得t12,t283 t0 时,PQ 与 O 相交,当t8 2 3s时, Q 点运动到 B 点, P 点尚未运动到点也停止运动,此时PQ 直线与 O 相交t2 3 或 8s 时,直线 PQ 与 O 相切；当0t2或8t8 2 3时,直线 PQ 与 O 相交；3当2t8时,直线 PQ 与 O 相离；3例 9. 如图甲所示,施工工
16、地的水平面上,有三根外径都是 起,就其最高点到地面的距离是多少？1 米的水泥管两两相切摞在一名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案甲精析与解答： 如图乙所示,连结O O 3,O O 2乙设O1与O2外切于点 A,就O AO O 2B 作任一在Rt O AO3中,O O31,O A12O A2 O O 3O A232最高点 C 到水平面的距离CBO A2AB312例 10. 如下列图,两等圆O1 和 O2 相交于 A、B 两点,且两圆互过圆心,过直线,分别交O1 、 O2 于 C、D 两点,连结AC 、
17、AD ；（1）试猜想ACD 的外形,并给出说明；（ 2）如已知条件中两圆不肯定相互过圆心,试猜想三角形的外形是怎样的？说明你的结论成立的理由；（3）如O1,O2是两个不相等的圆,半径分别为R 和 r；那么（ 2）中的猜想仍成名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案立吗？如成立,说明理由；如不成立,那么 由；AC 和 AD 的长与两圆半径有什么关系？说明理精析与解答： （1） ACD 为等边三角形理由：由于两圆是等圆,且相互过圆心,连结AO 1、AO 2、BO 1、BO 2、O O 2就AO 1AO2B
18、O1BO2O O2所以AO B 1AO B 2120所以 ADB ACB 60所以 ACD 为等边三角形（2） ACD 为等腰三角形理由：由于两圆是等圆,连结2AO 1、AO 2、BO 1、BO 2就AO 1AO 2BO1BO所以AO B 1AO B 2所以 ADB ACB 所以 ACD 为等腰三角形AC R（3）不成立,此时 AD r如下列图, 分别作O1、O2的直径 AE 和 AF 分别交两圆于 E、F 点,连结 CE、DF、AB ,就 ACE ADF 90名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABDABC180
19、名师精编优秀教案180,ABCAECABDAECAECAFDABDAFD, ACE ADF AC ADAE2RRAF2rr【模拟试题】（答题时间： 80 分钟）一. 挑选题（每道题 4 分,共 24 分）1. 以下语句不正确选项（）A. 过一点可以作很多个圆B. 过两点可以作一个圆C. 过任意三点都可以作一个圆D. 过任意四个点不肯定能作圆2. O 的直径是 8cm,直径 l 和 O 相交,圆心 O 到直线 l 的距离是 d,就 d 应满意（）A. d 8 cm B. 4 cm d 8 cmC. 0 cm d 4 cm D. d 0 cm3. 如下列图, P 是 O 外一点,自 P 点向 O
20、引切线 PA,PB,切点为 A,B,CD 切 O于 E,交 PA,PB 于 C,D,如 PA20,就PCD 的周长为（）30 1A. 20 B. 30 C. 2 D. 40 名师归纳总结 4. 设 ABC 的内切圆的半径为2, ABC 的周长为 4,就 ABC 的面积为（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 ）5. 两圆半径分别为5 和 3,d 为圆心距,当2d8时,两圆的位置关系是（A. 外切B. 内切C. 外离D. 相交B,C 的一动6. 如下列图, AB ,AC 与 O 相切于点 B,C, A50 ,点 P 是圆上异于点,就 BPC 的度数是（）第 12 页,共 21 页- - -
21、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. 65 B. 115名师精编优秀教案D. 130 和 50C. 65 或 115二. 填空题（每道题2 分,共 12 分）B7. 如下列图, AB是 O 的直径, AB AC ,AC 是 O 的切线, A 是切点,就_；8. 如下列图, PA,PB 是 O 的切线, A ,B 为切点, AC 是 O 的直径, P30 ,就CAB _；9. ABC 的内切圆 O 与 AC ,AB, BC 分别相切于点D,E,F,且 AB 4,BC8,AC 6,就 AE _,BF_,CD _；10. 如下列图,已知O 是 ABC 的内切圆,与AB
22、 ,BC,CA 分别相切于点D,E,F,B50 , C40 ,就 DOF _, DEF _；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案11. O 的半径为 3cm,如 O与 O 外切时,圆心距为 心距为 _cm；10cm,就 O与 O 内切时,圆12. 如下列图,已知Rt ABC 中, C 90 ,AC2,BC1,如以 C 为圆心, CB为半径的圆交AB 于 P,就 AP_；三. 综合题（每道题6 分,共 24 分）13. 如下列图, AB 是 O 的直径, 点 D 在 AB 的延长线上, 且 DB B
23、O,过点 A 作弦 AC,使 CAB 30 ,连结 DC, DC 是 O 的切线吗？为什么？14. 如下列图, AC 为 O 的直径, PA,PB 是 O 的切线, OP 交 AB 于点 E,交 AB于点F, CAB 30 , AC 8cm；求：（1） APB 的度数；（2）OP 的长；（3）PE 的长；（4） ABP 的面积；15. 如下列图, O 为 ABC 的内切圆,连结 OB ,OC；（1）当 B80 , C30 时,求 BOC；（2）当 A 70 时,求 BOC ；名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
24、精编 优秀教案（3）当 A 时,求 BOC ；16. 如下列图, AB 是 O 的直径, BE 是 O 的切线,切点为 B,点 C 为射线 BE 上一动点（点 C 与点 B 不重合）,且弦 AD 平行于 OC；（1）求证 CD 是 O 的切线；（2）设 O 的半径为 r,试问：当动点 C 在射线 BE 上运动到什么位置时, 有AD2 r？证明你的结论；四. 开放与沟通（共 10 分）17. 如下列图,在直角坐标系内,以点M （2, 0）为圆心, 3 为半径作 M；名师归纳总结 - - - - - - -（1）分别画出当k4,b1；当k2,b2；当k3,b15 . 时的图形,并判定直线ykxb与
25、 M 的位置关系；（2）试判定直线与M 相交和 k,b 的取值是否有关,请说明理由,得出结论；第 15 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五. 摸索与探究（每道题名师精编优秀教案6 分,共 12 分）18. 如下列图, AB 是半圆 O 的直径, 点 M 是半径 OA 的中点,点 P 在线段 AM 上运动（不与点 M 重合）,点 Q 在半圆 O 上运动,且总保持PQPO,过点 Q 作半圆 O 的切线交BA的延长线于点C；（1） QPA60 时,请你对QCP 的外形作出猜想,并赐予证明；（2）当 QPAB 时,QCP 的外形是 _三角形；（3）由（ 1）,（2）得
26、出的结论,请进一步猜想当点 QCP 肯定是 _三角形；P 在线段 AM 上运动到任何位置时,19. 如下图（ 1）所示,以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 是小圆的切线,点P为切点；（1）判定 AP 与 BP 的关系,并说明理由；（2）当弦 AB 向上平移分别与小圆交于点C,D 时,如下图（ 2）所示,判定AC 与 BD的关系,并说明理由；六. 回忆与猜测（第 2023 小题各 3 分,第 24 小题 6 分,共 18 分）20. （2003 南京）阅读下面材料,然后回答疑题；对于平面图形 A,假如存在一个圆,使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径,就称图形 A 被这
27、个圆所掩盖；对于平面图形 A,假如存在两个或两个以上的圆,使图形 A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径,就称图形A 被这些圆所掩盖；例如：如下图所示,图（1）中的三角形被一个圆所掩盖,图（2）中的四边形被两个圆所掩盖；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案（1）边长为 1 cm 的正方形被一个半径为（2）边长为 1 cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所掩盖, r 的最小值是 _cm；r的圆所掩盖, r 的最小值是 _ cm；（3）长为 2cm,宽为 1cm 的矩形被两个半
28、径都为 r 的圆所掩盖, r 的最小值是 _ cm,这两个圆的圆心距是 _ cm；21. （2004 重庆）某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上,向内放入两个半径为 5 cm 的钢球,测得上面的一个钢球顶部高 DC 16 cm（钢管轴截面如下图所示）,就钢管的内直径 AD 长为 _ cm；22. （2004 兰州）如下图所示,圆A 的半径为 r,圆 O 的半径为 4r,圆 A 从圆上所示位置动身绕圆O 作无滑动的滚动,要使圆A 的圆心返回到原先的位置,圆A 滚动的圈数是_；23. （2004 海口）如下图所示,已知AOB 30 , M 为 OB 边上一点,以M 为圆心,2
29、cm 为半径作 M ,如点 M 在 OB 边上运动, 就当 OM _ cm 时,M 与 A 相切；24. （2004 南京）如下图（1）所示,在矩形ABCD 中, AB 20 cm,BC4 cm,点 P名师归纳总结 - - - - - - -从 A 开头沿折线A BCD 以 4 cm/s 的速度移动,点Q 从 C 开头沿 CD 边以 1 cm/s 的速度移动,假如P,Q 分别从 A,C 同时动身,当其中一点到达D 时,另一点也随之停止运动；设运动时间为t（s）；（1）t 为何值时,四边形APQD 为矩形？第 17 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀
30、教案（2）如下图（ 2）所示,假如 P 和 Q 的半径都是 外切？2 cm,那么 t 为何值时, P 和 O名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案【试题答案】1. C 2. C 3. D 4. B 5. D 6. C 7. 458. 159. 1；3；5 10. 90 ； 4511. 4 312. 313. 解： DC 是 O 的切线；理由是：如下图所示,连结 CO CAB 30 , COAO ACO 30 , COD60COBO , BCOB DB BO , DB OB BC COD 为直角三角形
31、,OCD 90DC 是 O 的切线 14. （1） APB 60（2）OP8 cm （3）PE6 cm （4）SABP1232 cmBOC901CD 与 O 的公共点是D,故15. （1）125 ；（ 2）125 ；（3）216. （1）提示： 如下图所示,欲证CD 是 O 的切线；由于只要连结 OD ,再证 OD DC 即可；名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）解： 如上图所示,当BC名师精编优秀教案2 rr 时,有AD这是由于： BC 是 O 的切线, OBC 90又BCrOB,345AD OC, A 3
32、45又 OA OD, 1 A 45 AOD 90ADOA2OD2r2r22 r17. 提示：（1）图略；相交；相交；相交；（2）略 18. （1）解： QCP 是等边三角形；证明过程如下：连结 OQ,就 CQOQ PQPO, QPC60 POQ PQO30C90306060CQPCQPC QPC 是等边三角形（2）等腰直角（3）等腰 19. 解：（1）APBP 理由是：连结 OP AB 切小 O 于点 P, OPAB 又 AB 是大圆的弦,APBP （2）AC BD 理由是：过点O 作 OGAB 于点 G 1可知AGBG,CGDGAGCGBGDGACBD23220. （1）2 ；（2）3 ；（
33、3）221. 18 22. 4 23. 4 名师归纳总结 24. 解：（1）由题意知,当AP DQ,AP DQ , A 90 时,四边形APQD 为矩形第 20 页,共 21 页此时, 4t20t , t4（s）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - t 为 4 s 时,四边形名师精编优秀教案APQD 为矩形（2）当 PQ4 时, P 与 Q 外切假如点 P 在 AB 上运动,只有当四边形APQD 为矩形时, PQ4,由（ 1）得 t4 s；名师归纳总结 - - - - - - -假如点 P 在 BC 上运动,此时t5,就 CQ5,PQ CQ54, P 与 Q 外离；假如点 P 在 CD 上运动,且点P 在点 Q 的右侧,可得CQt, CP4 t24当CQCP4 时, P 与 Q 外切,此时t4 t244,t20s3假如点 P 在 CD 上运动, 且点 P 在点 Q 的左侧, 当CPCQ4 时,P 与 Q 外切；此时4 t24t4,t28s3点 P 从 A 开头沿折线ABCD 移动到 D 需要 11 s,点 Q 从 C 开头沿 CD 边移动到 D 需要 20 s,而28113当 t 为 4 s,20s,28s时, P 与 Q 外切；33第 21 页,共 21 页