《2022年排列组合知识点总结+典型例题及答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年排列组合知识点总结+典型例题及答案解析.docx（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点排列组合学问点总结 +典型例题及答案解析一基本原理1加法原理：做一件事有 n 类方法,就完成这件事的方法数等于各类方法数相加；2乘法原理：做一件事分 n 步完成,就完成这件事的方法数等于各步方法数相乘；注：做一件事时,元素或位置答应重复使用,求方法数经常用基本原理求解；二 排 列 ：从 n 个 不 同 元 素 中 , 任 取 m（m n）个 元 素 , 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一m列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列,所 有排列的个数记为 A n .1. 公式： 1. A n mn n 1 n
2、2n m 1 n .n m .2. 规定： 0. 11 n . n n 1., n 1 n . n 1. 2 n n . n 1 1 n . n 1 n . n . n 1. n ；3 n n 1 1 n 1 1 1 1 n 1. n 1. n 1. n 1. n . n 1.三组合：从 n 个不同元素中任取 m（mn）个元素并组成一组,叫做从 n 个不同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn ；1. 公式：CmAmn n1 nm1n.m.规定：C01nnmm .nAm nm2. 组合数性质：CmCnm,CmC n m1Cm1,C0C1Cn2nnnnnnnnCr1；注：Crr C
3、r1r C r2Cr1Crr C r1Cr1r C r2Cr1CrCr1r C r2Cr1Crrnn1rnnr2nnn1如Cm 1nC n m 2就m =m2或m +m2n有序仍是无序四处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事 （审题）第 1 页,共 14 页分步仍是分类；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：直接法；间接法：对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的全部情形去掉；这是解 决排列组合应用题时一种常用的解题方法；（2）分类处理： 当问题总体不好解决时,
4、 常分成如干类, 再由分类计数原理得出结论；留意：分类不重复不遗漏；即：每两类的交集为空集,全部各类的并集为全集；（3）分步处理：与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,经常分成如干步,再由分步计 数原懂得决； 在处理排列组合问题时, 经常既要分类, 又要分步；其原就是先分类,后分步；（4）两种途径：元素分析法；位置分析法；3排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将全部满意题设条件的排列与组合逐一列举出来； 2、特别元素优先考虑、特别位置优先考虑；（3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“ 捆绑” 起来,看作一“ 大” 元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行
5、排列；（4）、全不相邻问题,插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特别位置时可采纳插空 法. 即先支配好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两 端的间隙之间插入；（5）、次序肯定,除法处理；先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按肯定的次序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数；即先全排, 再除以定序元素的全排列；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参与排列,先对其他元素进行排
6、列,剩余的几个 位置放定序的元素, 如定序元素要求从左到右或从右到左排列,就只有 1 种排法；如不要求,就有 2 种排法；（6）“ 小团体” 排列问题采纳先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“ 小团体” 时,可先将“ 小团体” 看作一个元素与其余元素排列,最终再进行“ 小团体” 内部的排列；（7）分排问题用“ 直排法” 把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理；（8）数字问题（组成无重复数字的整数） 能被 2 整除的数的特点：末位数是偶数；不能被2 整除的数的特点：末位数是奇数；能被 3 整除的数的特点：各位数字之和是3 的倍数；4 整除的数的特点：末两位是4能被
7、9 整除的数的特点：各位数字之和是9 的倍数能被的倍数； 能被 5 整除的数的特点：末位数是0 或 5；能被 6 整除的数的特点：各位能被 25 整除的数的特点：末两位数是25,50,75；数字之和是 3 的倍数的偶数；4组合应用题：（ 1）. “ 至少” “ 至多” 问题用间接排除法或分类法: （2） “ 含” 与“ 不含”用间接排除法或分类法 : 3分组问题：匀称分组：分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘；即除法处理；非匀称分组：分步取,得组合数相乘；即组合处理；混合分组：分步取,得组合数相乘,再除以匀称分组的组数的阶乘；4安排问题：定额安排：（指定到详细位置）即固定位置固定人数,分步取
8、,得组合数相乘；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点随机安排：（不指定到详细位置）即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,留意平均分堆除以匀称分组组数的阶乘；5隔板法：不行辨论的球即相同元素分组问题例 1. 电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,要求首尾必需播放公益广告,就共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必需播放公益广告的有 A2 2种；中间 4 个为不同的商业广告有 A4 4 种,从而应当填 A 2 2A4 4
9、48. 从而应填 48例 3.6 人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法？解一：间接法：即6 A 65 A 55 A 54 A 47202 120245041 A 4解二：（ 1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类. 1 甲排在最右端时 , 有A 种排法； 2 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时,就甲有种排法,乙有A 种排法,其他人有A 种排法,共有1 A 41 A 4A 种排法,分类相加得共有A +1 A 41 A 4A =504种排法例. 有 4 个男生, 3 个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法？分析一：先在 7 个位置
10、上任取 4 个位置排男生,有A 7种排法 . 剩余的 3 个位置排女生,因要求“ 从矮到高” ,只有1 种排法,故共有 A 71=840种. 1. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 就不同的取法共有3 台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,解析 1：逆向摸索,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,名师归纳总结 故不同的取法共有3 C 9C3C370种, 选. C第 4 页,共 14 页45- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情形：甲型 1 台乙型 2 台；
11、甲型 2 台乙型1 台；故不同的取法有 C C 2 14 C C 14 270 台, 选 C . 2从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参与辩论竞赛（1）假如 4 人中男生和女生各选 2 人,有 种选法；（2）假如男生中的甲与女生中的乙必需在内,有 种选法；（3）假如男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,有 种选法；（4）假如 4 人中必需既有男生又有女生,有 种选法分析：此题考查利用种数公式解答与组合相关的问题 组合问题 . . 由于选出的人没有位置的差异, 所以是解：（1）先从男生中选 2 人,有C 种选法,再从女生中选 2 人,有C 种选法,所以共有C C =60（种）；（
12、2）除去甲、乙之外,其余 2 人可以从剩下的 7 人中任意挑选, 所以共有 C C =21（种）；（3）在 9 人选 4 人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉, 得到符合条件的选法数：C 94C =91（种）；直接法,就可分为23 类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙,得到符合条件的方法数1 C C31 C C32 C CC3C3C =91（种） . 77777（4）在 9 人选 4 人的选法中,把只有男生和只有女生的情形排除掉,得到选法总数C4C4C =120（种） . 1、2、3 人分类,得到符合条件的选法为1 C C32 C C2C C =12095直接法：分别根据含男生44（种） . 名师归
13、纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点16 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,就不同的乘车方法数为 A40 B50 C60 D70 3 解析 先分组再排列,一组 2 人一组 4 人有 C 615 种不同的分法；两组各 3 人共有C A种不同的分法,所以乘车方法数为25 250,应选 B. 2有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,就恰有两个空座位相邻的不同坐法有 A36 种 B48 种 C 72 种 D96 种 解析 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插3
14、 2空,从而共 A 3A 472 种排法,应选 C. 3只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数, 规定这三个数必需同时使用,且同一数字不能相邻显现,这样的四位数有 A6 个 B9 个 C18 个 D36 个 解析 留意题中条件的要求,一是三个数字必需全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有 C 33 种 选法,即 1231,1232,1233 ,而每种挑选有 A 2 C 36 种排法,所以共有 3 618 种 情形,即这样的四位数有 18 个4男女同学共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同的选法,其中女生有 A2 人或 3 人 B 3 人或 4
15、人 C3 人 D4 人 解析 设男生有 n 人,就女生有 8 n 人,由题意可得 C nC 8n30,解得 n5 或 n6,代入验证,可知女生为 2 人或 3 人5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,如规定从二楼到三楼用 8 步走完,就方法有 第 6 页,共 14 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点6 步,一步两个台阶的有2A45 种B36 种 C28 种D25 种 解析 由于 10 8 的余数为 2,故可以确定一步一个台阶的有2步,那么共有 C 828 种走法6某公司聘请来 8
16、名员工,平均安排给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,就不同的安排方案共有 A24 种 B36 种 C 38 种 D108 种 解析 此题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有 21种方法,其次步将 3 名电脑编程人员分成两组,一组 1 人另一组 2 人,共有 C 3种分法,然后1 2再分到两部门去共有 C 3A 2种方法,第三步只需将其他 3 人分成两组,一组 1 人另一组 2 人即1可,由于是每个部门各 4 人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有 C 3种方法,由分步乘法计数原理共有
17、 2C 3A 2C 336种 7已知集合 A5 ,B1,2 ,C1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,就确定的不同点的个数为 A33 B34 C35 D36 1 3 解析 所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C 2 A 312 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1 个 1 的有 C 2 A 3A 318 个；12 个 1 的有 C 33 个故共有符合条件的点的个数为 1218333 个,应选 A. 8由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 A72 B96 C
18、108 D144 2 1 2 2 3 3 解析 分两类：如 1 与 3 相邻,有 A 2 C 3A 2A 372个 ,如 1 与 3 不相邻有 A 3 A 336个 名师归纳总结 第 7 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点故共有 7236108 个9假如在一周内 周一至周日 支配三所学校的同学参观某展览馆,每天最多只支配一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的支配方法有 A50 种 B60 种 C 120 种 D210 种 解析 先支配甲学校的参观时间, 一周内两天连排的方法一共有 6 种：
19、1,2 、2,3 、3,4 、4,5 、5,6 、6,7 ,甲任选一种为 C 6,然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地支配其余两所2 学校参观,支配方法有 A 5种,根据分步乘法计数原理可知共有不同的支配方法C 6 A 5120 种,应选 C. 10支配 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能支配在 5 月 1 日和 2 日,不同的支配方法共有_种 用数字作答 5 解析 先支配甲、乙两人在后 5 天值班,有 A 520种 排法,其余 5 人再进行排列, 有 A 5120种 排法,所以共有 20 1202400 种 支配方法11今有 2 个
20、红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分, 将这 9 个球排成一列有 _种不同的排法 用数字作答 解析 由题意可知,因同色球不加以区分, 实际上是一个组合问题, 共有 C 9 C 5 C 31260种排法12将 6 位理想者分成 4 组,其中两个组各2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的安排方案有 _种 用数字作答 2 解析 先将 6 名理想者分为 4 组,共有C A 6C2种分法,再将 4 组人员分到 4 个 42 24 C 6C 4不同场馆去,共有 A 4种分法,故全部安排方案有：A 22A 41 080 种13要在如下列图的花圃中的5 个区域中种入 4 种
21、颜色不同的花, 要求相邻区域不同色,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点有_种不同的种法 用数字作答 解析 5 有 4 种种法, 1 有 3 种种法, 4 有 2 种种法如 1、3 同色, 2 有 2 种种法,如 1、3 不同色, 2 有 1 种种法,有 4 3 2 1 21 1 72 种14. 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中如每个信封放 2张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,就不同的方法共有（A）12 种（B）18 种（C）36 种（D）54 种
22、【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,应选 B. 15. 某单位支配 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,如 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 共有10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,就不同的支配方案A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2 号或 6、7 号 共有22 A 21 A 44 A 4种方法甲乙排中间 , 丙排 7 号或不排 7 号,共有4A 2 2A 4 4A 3 1A 3 1A 3 3种方法故共有 10
23、08 种不同的排法排列组合 二项式定理 1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类方法相互独立每类方法又有多种不同的方法（每一种都可以 独立的完成这个事情）名师归纳总结 分步计数原理完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法第 9 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2,排列排列定义：从n 个不同元素中,任取m（mn）个元素（被取出的元素各不相同）,根据肯定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列；排列数定义；从n 个不同元素中,任取m（mn）个元素的全部排列的个数m A n公式m
24、A=nn.规定 0！ =1 m3,组合组合定义从 n 个不同元素中,任取m（mn）个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数从 n 个不同元素中,任取mm（mn）个元素的全部组合个数Cmnm C=n.Cm1m nm.m C=Cn mCm1C性质nnnn排列组合题型总结 一直接法 1 .特别元素法 例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满意以下条件的四位数各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位,数字 6 不在千位；分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供挑选2 A ,其余 2 位有四个可供挑选2 A ,由乘法
25、原理：2 A 52 A =240 2特别位置法（2）当 1 在千位时余下三位有3 A =60 ,1 不在千位时,千位有1 A 种选法,个位有1 A 种,余下的有2 A ,共有1 A 4A12 A =192 所以总共有 192+60=252 第 10 页,共 14 页4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二 间接法名师总结优秀学问点2）可用间接法4 A 623 A 52 A 4=252 当直接法求解类别比较大时,应采纳间接法；如上例中（例：有五张卡片,它的正反面分别写0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并
26、排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数？分析：任取三张卡片可以组成不同的三位数3C33233 A 3个,其中 0 在百位的有C2222 A 个,这是不合题54意的；故共可组成不同的三位数C2A 3 3-C222A =432 254例： 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必需全排在一起 有多少种排法（捆绑法）（2）女生必需全分开（插空法 须排的元素必需相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）假如三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法二插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法；例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中, 暂时插入两个唱歌节目, 且保持
27、原节目次序, 有多少中插入方法？分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档,插入一个节目后, 空档变为 10 个,故有 A 19 A 10 1=100 中插入方法；三捆绑法 当需排元素中有必需相邻的元素时,宜用捆绑法；2 31四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,如使每个盒子不空,就不同的放法有 种（C 4A 3）,2,某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的同学参观, 但每天只能支配一所学校,其中有一所学校人数较1 19多,要支配连续参观 2 天,其余只参观一天,就植物园 30 天内不同的支配方法有（C 29 A 28）（留意连续参观 2 天,即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天
28、作为一个整体来选有 C 29 1其余的就是 19 所学校选 28 天进行排列）四阁板法 名额安排或相同物品的安排问题,相宜采阁板用法例 5 某校预备组建一个由 12 人组成篮球队, 这 12 个人由 8 个班的同学组成, 每班至少一人, 名额安排方案共 种 ；分析：此例的实质是 12 个名额安排给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空当中插名师归纳总结 第 11 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的安排方式,故有优秀学问点C7种11五 平均分推问题例：6 本不同的书
29、按一下方式处理,各有几种分发？（1）平均分成三堆,（2）平均分给甲乙丙三人（3）一堆一本,一堆两本,一对三本（4）甲得一本,乙得两本,丙得三本（一种分组对应一种方案）（5）一人的一本,一人的两本,一人的三本分析： 1,分出三堆书（ a1,a2）,a3,a4,（a5,a6）由次序不同可以有2 2 2C 6 C 4 C 2堆方式,故 6 本不同的书平均分成三堆方式有 3 =15 种A 32,六本不同的书,平均分成三堆有 x 种,平均分给甲乙丙三人3 2 2 2就有 x A种 C C C 21 2 3 3 1 2 33,C C C 3 5,A 3 C C C 3五合并单元格解决染色问题A =6 种,
30、而这 6 种分法只算一种分Eg 如图 1,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜 色可供挑选,就不同的着色方法共有 种（以数字作答）；分析：颜色相同的区域可能是 2、3、4、5下面分情形争论 : 当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时,将 2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于4 个元第 12 页,共 14 页素的全排列数 A 4 42,4（）当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时,与情形 类似同理可得 A 4种着色法4（）当2、 42,4与 3、5 分别同色时,将 2、4；3、5 分别合并,这样仅有三个单元格 3,5名师归纳
31、总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有C33 A 3种方法4由加法原理知：不同着色方法共有24 A 4C33 A 3=48+24=72（种）4练习 1（天津卷（文）将 3 种作物种植1 2 3 4 5 在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共种（以数字作答）（72 ）2某城市中心广场建造一个花圃,花圃6 分为个部分（如图 3）,现要栽种 4 种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话,不同的栽种方法有种（以数字作答）
32、（120 ）5B61423ACDE图 3 图 4 3如图 4,用不同的 5 种颜色分别为ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,就符合这种要求的不同着色种数（540 ）4如图 5：四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必需穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是14种（ 84 ）CAD图 6 E第 13 页,共 14 页名师归纳总结 23B图 5 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点5将一四棱锥 图 6 的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如只有五种颜色可供使用,就不同的染色方法共种（420 ）第 14 页,共 14 页名师归纳总结 - - - - - - -