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1、共 5 页第 1 页玩转函数第十招第 10招：玩转分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法. 一、分段函数的定义域和值域分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集, 在表示每一段函数中x 的取值范围时 ,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。例 1 求函数4,23,0123, 10 xxyxxxx的定义域和值域二、分段函数的求值在求分段函数的值0()f x时，一定首先要
2、判断0 x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式例 1、 （辽宁理）设,0.( ),0.xexg xlnx x则1( ( )2g g_ 2、（2006 山东）设1232(2),( )(1)(2).logxxf xxex则(2)ff A.0 B.1 C.2 D.3 3 、已 知)(xflog3(x + 1)(x6)3x6(x6)， 若 记)(1xf为)(xf的 反 函 数 ， 且),91(1fa则)4(af. 4 、 设222(1 ) ,( )1(1).1xxf xxx则1( )2ff ( ） A.12 B.413 C.95 D.25415、 已知sin(0),( )(1) 1(0).xxf
3、 xf xx则1111()()66ff的值为 . 三、分段函数的单调性例（2006 北京理）、已知(31)4 ,1( )log,1aaxa xf xx x是(,)上的减函数， 那么a的取值范围是（A）(0,1)（ B）1(0,)3（C）1 1, )7 3（D）1,1)7四、分段函数的图象 1. 作出函数1yx x的图象 2. 函数ln|1|xyex的图象大致是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 2
4、页x y 1 1 0 A x y 1 -1 0 B x x y y 1 1 1 1 0 0 C D 3 x y 0 1 1 2 -2 五 、分段函数的反函数（2006 年安徽卷）函数22 ,0,0 x xyxx的反函数是（）A,02,0 xxyx x B 2 ,0,0 x xyx x C,02,0 xxyx x D 2 ,0,0 x xyx x六、分段函数的解析式1、在同一平面直角坐标系中，函数)(xfy和)(xgy的图象关于直线xy对称 . 现将)(xgy的图象沿x轴向左平移2 个单位，再沿y轴向上平移1 个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2 所示） ，则函数)(xf的表达式为（
5、）A22, 10,( )2,02.2xxf xxxB22, 10,( )2,02.2xxf xxxC22,12,( )1,24.2xxf xxxD26,12,( )3,24.2xxf xxx2、 （2006 年上海春卷） 已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数 . 当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf. 3、 已知函数)(xf是定义在R 上的奇函数 ,且当20,( )23.xf xxx时求 f(x) 的解析式 . 七、分段函数的最值(2005 上海高考题 ) 对定义域分别是,fgD D的函数( ),( )yf xyg x. 规定：函数( ) ( ),( )( ),( )
6、,fgfggff x g xxxh xf xxxg xxxDDDDDD当且当且当且（I ）若函数21( ),( )1f xg xxx，写出函数( )h x的解析式；（II ）求问题（ I ）中函数( )h x的最大值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 3 页八、分段函数的奇偶性判断函数(1) (0),( )(1)(0).xxxf xxxx的奇偶性九、与分段函数有关的不等式问题1、 设函数2(1) .(
7、1)( )41.(1)xxfxxx， 则使得( )1f x的自变量x的取值范围是_ 2 已知1(0)( )1(0)xf xx，则不等式(2)(2)5xxf x的解集是 _ 3、 （山东理）设f(x)= 1232,2,log (1),2,xexxx则不等式 f(x)2 的解集为(A) （1，2）（3，+） (B)（10，+） (C)（1，2）（10，+） (D)（1，2）4、设f(x)=1()0 xx为有理数( 为无理数)，使所有x 均满足 xf(x)g(x) 的函数 g(x)是（）Ag(x)=sinx Bg(x)=x Cg(x)=x2Dg(x)=|x| 十、分段函数与方程的根1、.函数 f(x
8、)=)1|(|)1|(|12xxxx，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足A.a0 B.0a1 2、设定义为R的函数lg1 ,1,( )0,0.xxf xx则关于x的方程2( )( )0fxbf xc有 7 个不同的实数解的充要条件是（） A. 0b且0c B. 0b且0c C. 0b且0c D. 0b且0c3、设函数( )f x在(,)上满足(2)(2)fxfx，(7)fx(7)fx，且在闭区间0,7上，只有(1)(3)0ff. （）试判断函数( )yf x的奇偶性；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -
9、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 4 页x x x x y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 A B C D （）试求方程( )0f x在闭区间2005,2005上的根的个数，并证明你的结论. 十一、分段函数与导数 1. 一给定函数( )yfx的图象在下列图中，并且对任意1(0,1)a，由关系式1na= ()nf a得到的数列na满足1(*)nnaanN，则该函数的图象是（） 2. 已知函数,( 1,0,( ),(0,1).axb xf xxbxxa其中0,0ab，若0lim( )x
10、f x存在，且( )f x在( 1,1)上有最大值，则b的取值范围是（） A.1b B.112b C.1b D.01b十二、开放性自义分段函数 1. 定义在 R 的任意函数( )f x，都可以表示成一个奇函数( )g x和一个偶函数( )h x之和，如果( )lg(101)xf x，那么（） A. ( )g xx，( )lg(10102)xxh xB. 1( )lg(10102xg xx，1( )lg(101)2xh xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 5 页C. ( ), ( )lg(101)22xxxg xh x D. ( ), ( )lg(101)22xxxg xh x. 七、答案（ I ）( 23)(2) (1),( )2(1).xxxh xxx（II ）18九、 1（答：(, 20,10） ；2（答：3(,2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -