《2022年数值研究Ch解非线性方程数值方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数值研究Ch解非线性方程数值方法.docx（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 解非线性方程的数值方法1. 二分法如设,且,就 在 内至少有一根；令 为 的中点,如,就 内有根,否 就 内 有 根 ； 类 似 地 进 行 步 之 后 , 设 有 根 区 间 为,就特点,可取；为的近似根,明显误差；2. 迭代法1. 迭代格式对非线性方程写,给定一个初值,依据某种方法产生一个序列式,使得,且；例 1 求方程在邻近的根；解将方程改为,据此建立迭代公；迭代结果见下表：k 1.5 k 1.32476 ,迭代结果0 5 1 1.35721 6 1.32473 2 1.33086 7 1.32472 3 1.32088 8 1.3247
2、2 4 1.32494 1.32472 将方程改写为,得迭代公式为k 0 1 2 3 1.5 2.375 12.3965 1904.01 1 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 迭代序列发散；2. 收敛性与误差估量定理1 如1对任意,有,有收敛于压缩映射 ；2存在正数,使对任意Lipschitz 条件 ,就对任意,迭代序列的唯独根,且有误差估量式；证 令,就由,得,且；如在, 就即 为在的 根 , 否 就 由 零 点 定 理 ,如内至少有一根,故上至少有一根； 存在性）有两个根,即,从而有,冲突,故；唯独性）；
3、由于,故即；收敛性）；,得；令,就有；3. 局部收敛性与局部收敛定理定义 1 如存在的某个邻域,使迭代公式对任意均收敛,就称此迭代在邻近具有局部收敛性；定理 2 如在邻近连续,且,就迭代公式在邻近具有局部收敛性；证由于 在 邻近连续,且,由连续函数性质,在 邻近成立,从而；依据定理 1,迭代在 邻近具有局部收敛性；2 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 收敛速度与收敛阶定 义2 设 迭 代 公 式,收 敛 于的 根, 如 迭 代 误 差定 理满意,就称为 p 阶收敛；3 对 迭 代 公 式, 如在附 近
4、连 续 , 且,就迭代在邻近是 p 阶收敛的；证由于在,由定理 2,迭代局部收敛；,将处 Taylor 绽开,就得,即,从而迭代在邻近 p阶收敛；5. 迭代公式的加工解出由定理 3,；,故对充分大的,可由此可将转化成一个新序列,此类处理方法称为 Aitken 加速方法；将 代入即得一个新的迭代：；习惯上写成以下形式：；3 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 牛顿法 切线法）1. 迭代格式设为根的近似值,由 Taylor 公式；如,就,略去最终一项后作为新的近似值,即,称之为牛顿公式；2. 牛顿法的几何意义
5、如 图 , 作 曲 线在处 的 切 线 ,轴；令,即为此切线在上的截距；3. 牛顿法的收敛性设为的单根,即,此时,故在的某邻域内,从而；由定理 2,牛顿法对邻近的初值收敛,即局部收敛；再由定理3 知,牛顿法为二阶收敛的；例 2用牛顿法求的一个根；,迭代结果解,取初始值为见程序；例 3 应用牛顿法于方程,导出求立方根的迭代公式,并争论其收敛性；4 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解,；因,即有下界；又,即单调下降,故收敛；例 4对于的牛顿公式为的根,证明收敛到,其中具有二阶连续导数；证；由,得,；,所以例 5 应用牛顿法于方程和,分别导出求的迭代公式,争论迭代公式的收敛性,并求；解牛顿公式为5 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 因,即有下界；又,即单调下降,故收敛；6 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页