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1、_2.4正态分布 1正态曲线正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)，xR，其中参数为正态分布变量的数学期望，(，)；为正态分布变量的标准差，(0，)正态变量的概率密度函数(即f(x)的图象叫做正态曲线期望为，标准差为的正态分布通常记作N(，2)，0，1的正态分布叫标准正态分布2正态曲线的性质(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x对称；(2)曲线在x时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；(3)曲线的形状由参数确定，越大，曲线“矮胖”；越小，曲线越“高瘦”3正态分布的3原则P(X)68.3%；P(2X2)95.4%；P(3X2)99.7%.可知正态
2、变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内，这就是正态分布的3原则1正态分布密度函数及正态曲线完全由变量和确定参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计2对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆 正态分布的概念及正态曲线的性质例1如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差思路点拨给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式精解详析从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值是，所
3、以20.由，得.于是概率密度函数的解析式是f(x)，x(，)，总体随机变量的期望是20，方差是2()22.一点通利用正态曲线的性质可以求参数，具体方法如下：(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x对称，由此性质结合图象求.(2)正态曲线在x处达到峰值，由此性质结合图象可求.1设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A10与8B10与2C8与10 D2与10解析：由正态曲线f(x)知，即10，2.答案：B2如图是正态分布N(，)，N(，)，N(，)(1，2，30)相应的曲线，那么1，2，3的大小关系是()A123 B321C132 D2
4、13解析：由的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，2越小，故有123.答案：A正态分布中的概率计算例2在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(1,1)内取值的概率思路点拨解答本题可先求出X在(1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x1对称知，X在(1,1)内取值的概率就等于在(1,3)内取值的概率的一半精解详析由题意得1，2，所以P(1X3)P(12X12)0.682 6.又因为正态曲线关于x1对称，所以P(1X1)P(1X3)P(1Xc1)P(Xc1)P(Xc1)，2，解得c2.答案：25若XN(5,1)，求P(5X7)解：XN(5,1)，5，1.因为该正态曲线关于x
5、5对称，所以P(5X7)P(3X7)0.954 40.477 2.正态分布在实际生活中的应用例3(10分)据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数思路点拨因为174，3，所以可利用正态分布的性质可以求解精解详析因为身高XN(174,9)，所以174，3，所以217423168，217423180，所以身高在(168,180范围内的概率为0.954 4.又因为174.所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为0.477 2，故该市高二男生身高在
6、(174,180)范围内的人数是3 0000.477 21 432(人)一点通解决此类问题一定要灵活把握3原则，将所求概率向P(X)，P(2X2)，P(3X3)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质6某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从XN(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为_解析：XN(50,102)，50，10.P(30X70)P(2X2)0.023，则P(2X2)()A0.477 B0.628C0.954 D0.977解析：因为随机变量XN(0，2)，
7、所以正态曲线关于直线x0对称又P(X2)0.023，所以P(X2)P(Xc)a，则P(X4c)等于()Aa B1aC2a D12a解析：因为X服从正态分布N(2，2)，所以正态曲线关于直线x2对称，所以P(X4c)P(Xc)1a.答案：B5己知正态分布落在区间(0.2，)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x_时达到最高点解析：由正态曲线关于直线x对称和其落在区间(0.2，)内的概率为0.5，得0.2.答案：0.26如果随机变量XN(，2)，且E(X)3，D(X)1，且P(2X4)0.682 6，则P(X4)_.解析：因为XN(，2)，E(X)3，D(X)1，故3，21.又P(2X4
8、)P(X)0.682 6，故P(X4)0.158 7.答案：0.158 77已知一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式；(2)求正态总体在(4,4上的概率解：(1)因为该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0，由，解得4，所以该函数的解析式为f(x)，x(，)(2)P(4X4)P(04X04)P(X)0.682 6.8某糖厂用自动打包机打包，每包重量X(kg)服从正态分布N(100,1.22)一公司从该糖厂进货1 500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量(1)(1001.2,1001.2)；(2)(10031.2,10031.2)解：(1)由正态分布N(100,1.22)，知P(1001.2X1001.2)0.682 6.所以糖包重量在(1001.2,1001.2)内的包数为1 5000.682 61 024.(2)糖包重量在(10031.2,10031.2)内的包数为1 5000.997 41 496.