浅谈小学生数学几何空间思维能力的培养.doc

.\ 浅谈小学生数学几何空间思维能力的培养 【内容摘要】几何初步知识是小学数学基础知识的主要内容之一，本文对小学数学几何知识教学的特点进行了分析，并介绍了如何在教学过程中，采用丰富的感知活动，使学生逐步形成几何形体的表象；运用运动变化的观点和几何综合运用，培养学生的空间观念和积累水平；并展开发散思维训练，不断丰富学生的空间思维能力。 【关键字】几何初步，表象，空间观念，空间思维 引言 数学通常概括来说可以分成数和形，小学数学的内容同样也包括数和形两个部分，其中形就是指几何初步知识。几何初步知识是小学数学的基础知识的主要内容之一，在日常生活中有广泛的应用。在小学阶段，学生们主要学习简单的几何基础知识，认识一些常见的图形，了解它们的特征，并学会计算他们的周长、面积、体积等。 由于受传统观念与“应试教育”思想的影响，学校教学中往往只重视求积的计算教学，重视概念教学或者过分强调抽象思维能力的培养，而忽视直观和表象的作用，以至于造成学生对形成几何图形的表象不深刻，空间观念淡漠。因此，在教学过程中，我们就要注意多层次、多渠道地培养和发展学生的空间观念和空间思维。 一、通过丰富的感知活动，让学生形成几何形体的表象 小学生对几何形体特征的理解，对周长、面积、体积的计算，往往是离开了这些几何实体，而依赖于头脑中对物体的形状、大小和相互位置关系的形象的反映，这就要求我们要重视引导学生进行观察等感知活动，通过丰富的感知活动，使学生形成几何形体的表象，得到正确清晰的几何概念，形成一定的空间观念。 对于简单的长方体和正方体，教材的介绍并不容易让学生对此形成直观的感知。往往由6个面、12条棱、8个顶点所组成的立体不一定都是长方体，所以在教学时，老师可以通过学生日常生活中熟悉的实物，如纸盒、铅笔盒、砖块等，引导学生仔细观察这些实物的面、棱、顶点的情况。 例如采用常见的纸盒子，我们把空纸盒展开成平面图（见图1.1），让学生观察、比较一下，着重加深对长方体的“6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等”、“相对的棱的长度相等”的认识，使具体事物的形象在头脑里得到全面的反映，从而使学生对长方体的理解更加深刻。在这个认识过程中引入正方体的知识，学生通过对实物和平面展开图的观察，区分长方体和正方体的特点，突出正方体概念所具有的、区别于其它形体的性质是长、宽、高都相等，并充分了解了正方体和长方体之间的关系。 图1.1 长方形纸盒展开平面图 对于几何形体的概念，我们可以进一步通过物体形体间的变换来加深学生对它的理解，形体之间的变换往往还可以激发学生的好奇心，由此产生了强烈的求知欲望和主动探索的兴趣。 比如在学习平行四边形面积时，一般都是采用将平行四边形割补转化为长方形而得出“底高等于平行四边形面积”的教法。我们可以换一个方式，通过亲手制作道具，用四根木条钉成一个平行四边形，让学生观察平行四边形后，把它拉成一个长方形，提出问题：“这时长方形与原平行四边形相比，面积相等吗？”这一问题的提出，会引发出学生的不同答案：相等、增大了、减小了。争论十分激烈，进而引发学生主动探求，最终得出结论：当平行四边形与长方形底边即长相等时，拉动平行四边形成为长方形，其高变化了，面积相应增大了。这样直观的展现，不仅加深了学生对几何形体的表象，还引发和培养了学生用动态的观点研究平行四边形与长方形面积之间关系的主动探索欲望和求知精神。 图1.2 平行四边形和长方形的变换 二、采用运动变化的观点，培养学生初步的空间观念 对于几何空间这部分知识，学生往往较难建立空间观念，我们就要多创设机会，让学生通过画、量、摆、拼等动手活动，在活动中巩固与加深对抽象知识的理解，进一步培养学生的空间观念。如在接触圆柱的侧面积和体积时，可以设计这样的题：用一张A4的长方形纸张，先让学生用尺量出其长和宽，然后记录下来。接下去将纸卷成圆柱形，那么圆柱的高是（ ）或（ ），底面直径是（ ）或（ ），圆柱形的（ ）是相同的，体积最大会是（ ）。此题有一定的综合性和灵活性。让学生用长方形纸卷一卷，就会发现有两种不同的卷法，但无论哪种卷法，只有侧面积是相同的，体积是不同的，只有以最大的数为底面周长时，体积才会最大。这样就使学生在动手操作的过程中，初步理解几何概念。 在学生运用几何初步知识的过程中，教师还应引导学生运用图形的分解、组合、平移、旋转等数学方法，加深对几何形体的感知，培养初步的空间观念，把丰富的图形变换运动运用到解题中。 1) 化静为动，领会运动变化观点 这是一道求图形阴影部分面积的题目（见图2.1左图），已知图2.1中四块小阴影部分的形状大小面积都相等。空间观念较弱的学生一般只会从两个角度去思考，或按步就班地先算出一块阴影部分的面积，再算出四块阴影部分的面积；或者从大长方形面积里减去空白部分的面积，得到阴影部分的面积，但这样就不能两次计算十字空白交叉处的面积。 图2.1 具有四小块相同形状大小阴影部分的长方形 如果化静为动，从运动的观点出发，启发学生通过想象图形中空白十字的移动，合并四个阴影部分，使它们变换成图2.2的样子，从而就可以较简便地计算出图形阴影部分的面积。 图2.2 长方形阴影部分的变换 2) 多角度变换，启发空间思考 如在涉及到立体图形时，针对立体的表面积计算，我们就可以设计出一些巧妙、具有较高思维价值的题目，通过多角度的空间变换，组合和分离，来启发学生的空间思考： （1） 把一个长15厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体木条沿横截面切2段后，表面积增加了多少？ （2） 一个底面直径9厘米，高6厘米的圆柱体沿底面直径切开后，表面积增加了多少？把这个圆柱截成两个小圆柱后，表面积又有什么变化？ （3）把3个棱长为6厘米的正方体粘合成一个长方体，表面积减少了多少？ 分解、组合平面图形和进行图形的变换，在学习几何概念和几何图形计算时具有重要的意义。一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，为将来学习图形的变换积累一些感性经验，另一方面有助于发展学生的空间观念。如果学生掌握了图形的本质特征，通过领会几何空间运动变化的观点，不论图形的形状、大小、方位等如何变化，都能方便正确地求解。 三、联系几何知识综合运用，提高空间观念的积累水平 在学生掌握了部分几何知识，且具有初步的空间观念以后，我们需要帮助学生进一步贯通几何知识内在的联系。我们可以把学过的几何知识和具有代表性的题目通过变式，强化综合运用知识解题的灵活性，引导学生的空间思考能力，以利于提高空间观念的积累水平。 1) 在学生具有初步几何空间知识后，我们可以设计综合几何题型来锻炼学生的空间分析能力。这是一道圆柱体和长方体组合的题目：在一只底面半径是10厘米的圆柱形玻璃瓶中，水深8厘米。要在瓶中放入长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块： （1）如果把铁块横放在水中，水面上升几厘米？ （2）如果把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？ 对于此题的解答，我们可以对学生进行实验演示，或者先让学生大胆地想象出铁块浸没在水中的两种情况之下的不同的形状、方位、大小，培养学生的空间观念。 图3.1 圆柱形玻璃瓶和长方体铁块 第（1）小题，学生可以很容易地理解，把铁块横放在水中，铁块将会全部浸没。上升的容积就是铁块的体积。 若用算术方法解：则水面上升部分的容积（也就是铁块体积）圆柱底面积=水面上升的高度，即1588（1023.14）≈3（厘米）； 第（2）小题，我们首先要让学生思考，把铁块竖放在水中，铁块能全部浸没吗？显然不能。因为横放在水中，水面只上升了约3厘米，而竖放在水中，铁块的体积不变，底面积变小了，所以水面不可能上升到15厘米这一高度。进而再考虑，把铁块竖放在水中，水面是肯定要上升的，因为有部分铁块将浸没在水中。 若用方程解：我们假设把铁块竖放在水中，水面上升到x厘米，则当前水面的总容积-铁块浸没在水中的体积=原来水面的总容积，即：1023.14x- 82x= 1023.148。 解得：x≈10（厘米），得到水面上升为：10-8＝2（厘米）。 2) 对于很多几何应用题，解题所需的条件并不是完全已知的，需要学生通过分析提炼出隐蔽的数据，这部分需要学生具有一定的综合分析能力。我们设计这个题目来训练学生的解题思路：如做一个底面直径为6分米的圆柱形铁皮油桶，共用铁皮282.6平方分米。这只油桶的容积是多少升？ 这是一道几何形体的应用题，有一定的难度。对于完全用文字抽象表示的立体图形应用题的认知，光有空间知觉能力是不够的，还需要有更高水平的空间想象能力。我们只能凭感知获取到立体图形局部的明显的部分和已知的条件，而对某些隐蔽的部分、未知的条件，必须在空间知觉的基础上，经过分析综合、抽象概括、假设推理等思维方法，产生出丰富的空间想象，才能完整全面地认识它。并且在解题过程中，把构成几何形体的诸要素沟通起来，依赖已有的空间观念，求出答案。 我们可以在教学中提出如下问题来引导学生解题：①要求容积需要知道哪两个条件？②根据条件，你能求出底面积吗？③要求高必须知道哪两个条件？怎样求出高？④根据什么求底面周长？⑤怎样求出侧面积？当然，这样的题目不一定要让学生去做，主要在于训练学生的基本思考方法，通过学生的逻辑思维过程，提升学生的空间观念的积累水平。 培养学生探索意识的养成在几何综合知识的教学中具有重要意义，通过引导学生的探索活动，去发现某些内在的特性和某几种图形的内在联系。化实为虚、化虚为实，帮助学生把抽象几何概念具体化、形象化，使复杂化的操作过程变得直观形象，便于学生掌握几何初步概念的内涵，不仅能体现出学生探索能力的养成，还有助于学生空间想象能力的发展。 四、展开发散思维的训练，发展学生的空间观念 在数学几何空间的教学中，我们通过适当的条理和逻辑来培养学生理解和掌握知识的能力，同时我们也要注重学生发散思维的训练，培养学生从同样的已知条件中探求不同的（包括奇异的）解题方法的思维能力，这种思维形式能开发学生的思维能力，活跃解题思路，发展学生的空间观念。 根据学生的知识层次、实际水平，我们可以设计一些数学题目，例如图4.1是由一个长5厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为3厘米的正方形组成，求出阴影部分的面积？你能用多少种方法？ 图4.1 长方形和正方形组合 这道题只有求出阴影部分面积这一个问题。学生通过“补”、“移”等方法，发散思维，得出多种解法： （1）从整个图形中减去空白三角形。 　　53+33-（3+3）52＝9（平方厘米） （2）添加辅助线，从添加辅助线后形成三角形中减去一个长方形（见图4.2）。 652-3（5-3）＝9（平方厘米） 图4.2 添加辅助线 （3） 将阴影三角形旋转到对称的空白三角形位置，所形成的正方形面积就是阴影部分面积（见图4.3）。 　　 33＝9（平方厘米） 图4.3 旋转阴影三角形 总结 几何初步知识比较抽象，有赖于我们教师的精心指导和培养。在教学过程中，我们要根据学生现有的几何知识水平和不同学生间的层次水平，遵循小学生的认知规律与心理特点，坚持由浅入深，由易到难的原则，通过挖掘和渗透几何空间思维方法，给学生提供丰富多彩的感性材料，充分调动学生学习的积极性，多样化地作用于学生的多种感观，促进他们的认知活动，不断培养他们的逻辑思维能力、计算能力，不断丰富学生的空间观念和空间思维能力，就会取得较好的教学效果。 【参考文献】 [1] 谈数学思维的启迪与培养.小学教学参考.2008(9) [2] 小学几何初步知识复习之我见.江苏教育.2006(10) [3] 几何与空间观念.中国教育文摘.2006 [4] 几何初步知识教学初探.小学教学参考.1999(Z1)