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安徽理工大学
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第 1 次课 授课时间 2017 年 9 月 14 日 教案完成时间： 2017 年 9 月 10 日
课程名称
离散数学
年 级
2017 级
专业、层次
计算机学院(本科)
教 师
专业技术
职 务
讲师
授课方式
（大、小）
大
学时
2
授课题目（章、节）
4.1谓词和量词，4.2一阶语言
基本教材或主要参考书
《离散数学》 刘爱民 北京邮电大学出版社
教学目的和要求：
1.全称量词，存在量词，存在唯一量词；
2. 一阶语言、解释和赋值
大体内容与时间安排，教学方法：
1. 介绍全称量词，存在量词，存在唯一量词，练习将命题符号化(45min)；
2.介绍一阶语言，对于具体的公式，给出解释和赋值（45min）；
教学重点、难点：
1. 命题符号化
2. 公式的解释和赋值
（主要内容题纲）
4.1谓词和量词
1. 全称量词，
全称量词(Universal Quantifier)：在自然语言中“所有的”、“一切”、“任意的”、“每一个”等表示数量的词，称为全称量词。它用于描述讨论范围中的全部个体，用符号“∀”表示。
2. 存在量词，
存在量词(Existential Quantifier)：用符号“∃”表示，对应自然语言中“存在一些”、“至少有一个”等表示数量的词。∃xF(x)表示个体域中存在个体具有性质F。
3. 存在唯一量词
4. 将具体命题符号化
例2.1-6 将下列命题符号化。
⑴好人自有好报。
⑵有会说话的机器人；
⑶没有免费的午餐；
⑷在北京工作的人未必都是北京人。
解 在本题中没有指定个体域，故取个体域为全总个体域。
⑴设F(x)：x是好人；G(x)：x会有好报，则命题符号化为：∀x(F(x)→G(x))。
⑵设F(x)：x是机器人；G(x)：x是会说话的，则命题符号化为：∃x(F(x)∧G(x))。
⑶设M(x)：x是午餐；F(x)： x是免费的，则命题符号化为：┐∃x(M(x)∧F(x))。这句话可作如下叙述，“所有的午餐都不是免费的”，故命题可符号化为：∀x(M(x)→┐F(x))。因为在含义上这句话和题目的是一样的，所以可以看出，┐∃x(M(x)∧F(x))和∀x(M(x)→┐F(x))是等价的，后面还将给出具体的证明。
⑷设F(x)：x在北京工作；G(x): x是北京人，则命题符号化为：∀x(F(x)→G(x))。这句话也可作如下叙述，“存在着在北京工作的非北京人”，故可符号化为：∃x(F(x)∧G(x))。因为在含义上这句话和题目是一样的。所以可以看出，∀x(F(x)→G(x))和∃x(F(x)∧G(x))是等价的，后面也将给出具体的证明。
4.2一阶语言
1. 一阶语言
2. 解释和赋值
一个公式A的一个解释(Interpretation) I 应由以下四部分组成：
⑴非空个体域D；
⑵公式A中的每个个体常元指定为D中一个特定元素；
⑶公式A中的n元函数指定为Dn到D的一个特定的函数；
⑷公式A中的n元谓词指定为Dn到{0,1}的一个特定的谓词(命题函数)。
3. 公式的分类
设A为一个谓词公式，如果A在任何解释下都是真的，则称A为逻辑有效式（Universal）或称为永真式；
如果A在任何解释下都是假的，则称A为矛盾式（Contradiction）或称为永假式；
若至少存在一个解释使A为真，则称A为可满足式(Satisfable)。
4. 将具体的公式解释和赋值
（教案末页）
本节课小结
1. 全称量词，存在量词，存在唯一量词(2min)；
2. 一阶语言、解释和赋值（2min）；
复习思考题
作业题
课后习题1,3
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第 1 次课 授课时间 2017 年 9 月 14 日 教案完成时间： 2017 年 9 月 10 日
课程名称
离散数学
年 级
2017 级
专业、层次
计算机学院(本科)
教 师
专业技术
职 务
讲师
授课方式
（大、小）
大
学时
2
授课题目（章、节）
4.3 一阶逻辑等值演算，4.4一阶逻辑形式推理
基本教材或主要参考书
《离散数学》 刘爱民 北京邮电大学出版社
教学目的和要求：
1.等值演算；前束范式
2.推理定律，推理规则
大体内容与时间安排，教学方法：
1. 介绍等值演算；前束范式，将具体公式化为前束范式(45min)；
2. 介绍推理定律，推理规则，将具体推理符号化并加以证明（45min）；
教学重点、难点：
1. 将公式化为前束范式；
2. 推理的证明
（主要内容题纲）
4.3 一阶逻辑等值演算
1. 等值演算；
设A、B是谓词逻辑中任意的两谓词公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A⇔B，称“A⇔B”为谓词逻辑等值式(Equivalent)
定理 量词辖域收缩与扩张等值式。
⑴①∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B；
②∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B；
③∀x(A(x)→B)⇔∃xA(x)→B；
④∀x(B→A(x))⇔B→∀xA(x)。
⑵①∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B；
②∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B；
③∃x(A(x)→B)⇔∀xA(x)→B；
④∃x(B→A(x))⇔B→∃xA(x)。
定理 量词分配等值式。
⑴∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)；
⑵∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)。
其中⑴称为∀对∧的分配；⑵称为∃对∨的分配。
定理 量词移位等值式。
⑴∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)；
⑵∃x∃yA(x,y)⇔∃y∃xA(x,y)。
注意 不同名量词间的次序是不可随意变更的。
2. 前束范式，
3.公式化为前束范式
4.4一阶逻辑形式推理
1. 推理定律，
2. 推理规则，
全称量词消去规则（简称US）：
①； ②。
全称量词引入规则（简称UG）：。
存在量词引入规则（简称EG）：
①； ②
3. 推理符号化并加以证明；
（教案末页）
本节课小结
1. 等值演算；前束范式(2min)；
2. 推理定律，推理规则（2min）；
复习思考题
作业题
课后习题5,7,8,9
安徽理工大学
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第 1 次课 授课时间 2017 年 9 月 14 日 教案完成时间： 2017 年 9 月 10 日
课程名称
离散数学
年 级
2017 级
专业、层次
计算机学院(本科)
教 师
专业技术
职 务
讲师
授课方式
（大、小）
大
学时
2
授课题目（章、节）
5.1集合的概念及表示，5.2 集合运算
基本教材或主要参考书
《离散数学》 刘爱民 北京邮电大学出版社
教学目的和要求：
1.集合的基本概念；
2. 集合的常见运算
大体内容与时间安排，教学方法：
1. 集合的定义，元素与集合的关系，集合与集合的关系，幂集(45min)；
2.并集，交集，差集，对称差集，广义交，广义并（45min）；
教学重点、难点：
1. 幂集
2. 差集，对称差集，广义交，广义并
（主要内容题纲）
5.1集合的概念及表示
1. 集合的定义，
集合是不能精确定义的基本概念。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。
2. 元素与集合的关系，
元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作∈，不属于记作，
3. 集合与集合的关系，
设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B，记作BA。
4. 幂集
设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集，记作P(A)
5.2 集合运算
1.并集，
设A，B为集合，A与B的并集A∪B，A∪B＝{x|x∈A∨x∈B }
2.交集，
设A，B为集合，交集A∩B，A∩B＝{x|x∈A∧x∈B }
3.差集，对称差集，
设A，B为集合，B对A的相对补集A－B，A－B＝{x|x∈A∧xB }
设A，B为集合，A与B的对称差集AB定义为：
AB＝(A－B)∪(B－A)
4.广义交，广义并
（教案末页）
本节课小结
1. 集合的基本概念(2min)；
2. 集合的常见运算（2min）；
复习思考题
作业题
课后练习1,4
安徽理工大学
教案首页
第 1 次课 授课时间 2017 年 9 月 14 日 教案完成时间： 2017 年 9 月 10 日
课程名称
离散数学
年 级
2017 级
专业、层次
计算机学院(本科)
教 师
专业技术
职 务
讲师
授课方式
（大、小）
大
学时
2
授课题目（章、节）
5.3 集合定律，5.4有限集的计数问题
基本教材或主要参考书
《离散数学》 刘爱民 北京邮电大学出版社
教学目的和要求：
1. 集合定律；
2. 有限集的计数问题
大体内容与时间安排，教学方法：
1. 集合定律：等幂律，排中律，矛盾律，吸收律(45min)；
2. 有限集的计数问题：容斥原理，及其推广（45min）；
教学重点、难点：
1. 容斥原理，及其推广
（主要内容题纲）
5.3 集合定律
1. 幂等律 A∪A＝A(6.1)
A∩A＝A(6.2)
2. 结合律 (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)(6.3)
(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)(6.4)
3. 交换律 A∪B＝B∪A(6.5)
A∩B＝B∩A(6.6)
4. 分配律 A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) (6.7)
A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C) (6.8)
5. 同一律 A∪＝A(6.9)
A∩E＝A(6.10)
6. 零律 A∪E＝E(6.11)
A∩＝ (6.12)
7. 排中律 A∪～A＝E(6.13)
8. 矛盾律 A∩～A＝(6.14)
9. 吸收律 A∪(A∩B)＝A(6.15)
A∩(A∪B)＝A(6.16)
10. 德摩根律 A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)(6.17)
A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)(6.18)
～(B∪C)=～B∩～C(6.19)
～(B∩C)=～B∪～C(6.20)
～＝E(6.21)
～E＝(6.22)
11. 双重否定律 ～(～A)＝A (6.23)
5.4有限集的计数问题
容斥原理：
card(A∪B)= card(A)+ card(B) —card(A∩B)
（教案末页）
本节课小结
1. 集合定律(2min)；
2. 容斥原理，及其推广（2min）；
复习思考题
作业题
课后练习5,7,8,9
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