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1、第七节解三角形应用举例考点高考试题考查内容核心素养解三角形应用举例五年未单独考查命题分析本节内容在高考中一般不单独命题.实际应用中的常用术语1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(如图)(1)北偏东：指北方向顺时针旋转到达目标方向(2)东北方向：指北偏东45或东偏北45.(3)其他方向角类似4坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫作坡角，坡面的垂直高度h与水平宽度b之比即itan (其中为坡角)叫作坡比(如图)提醒：辨明两个易误点(1
2、)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)东北方向就是北偏东45的方向()(2)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为，设为坡角，那么cos .()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()答案： (1)(2)(3)2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()ABC90D180解析：选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知，故应选B3若点A在点C
3、的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15B北偏西15C北偏东10D北偏西10解析：选B如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.4已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为10 km，现测得ABC120，若地面上有一点O到A，B，C三点距离皆为p km，则p的值为()A10B20C10D20解析：选A由题意知AC210210221010cos 120300.AC10，根据正弦定理2p20，p10.测量距离问题明技法距离问题的类型及解法(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点
4、间可视但不可达、两点都不可达(2)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解提能力【典例】 如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C，D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离解：在ACD中，ACDACBBCD7545120，CADADC30，所以ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.所以BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，所以AB km，所以A，B之间的距离为 km.刷好题(2018宝
5、鸡模拟)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离是50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A50 mB50 mC25 mD m解析：选A在ABC中，CBA180(45105)30.由正弦定理得，所以AB50.故选A测量高度问题明技法求解高度问题应注意(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用提能力【典例】 (2018沈阳模拟)要测量电视
6、塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_m.解析：设电视塔AB高为x m，如图，则在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，由ADB30，得BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以电视塔高为40 m.答案：40母题变式1 在本例中，若ACB30，BCD60，DC100 m，且CBDB40 m如何求解？解：设CBx，则DBx40.在BCD中，由余弦定理得(x40)21002x22100xco
7、s 60，即(x40)21002x2100x，解得x420.又在RtABC中，ACB30，tan 30，即AB420tan 30420140(m)，即电视塔的高度为140 m.母题变式2 在本例中，若电视塔的高度为30 m，且在D，C两点的仰视角分别为45和60，且DBC30，则C、D两点间的距离是多少米？解：因为AB30，ADB45，ACB60，所以BD30，BC10.在DBC中，由余弦定理，得CD10 m.即C、D两点间的距离为10 m.刷好题(2018武汉模拟)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山
8、顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析：由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m在RtBCD中，CDBCtan 30300100 (m)答案：100测量角度问题明技法解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用提能力【典例】 如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方
9、向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD 10t海里，BD10t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206，解得BC.又，sin ABC，ABC45，故B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得，sin BCD.BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶又在BCD中，CBD 120，
10、BCD30，D30，BDBC，即10t，解得t小时15分钟. 缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟刷好题在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.