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1、3.4函数的应用()学习目标1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.预习导引1.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐变陡随x增大逐渐变缓随n值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，)上，函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，)上随着x的增大，yax(a1)增长速度越来越快，会超过并远远大于yx
2、n(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢.(3)存在一个x0，使得当xx0时，有logaxxnax.要点一函数模型的增长差异例1(1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A.y10 000x B.ylog2xC.yx1 000 D.yx(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变
3、量是_.答案(1)D(2)y2解析(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数yx增长速度最快.(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.规律方法在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1
4、)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当xx0，就有logaxxnax.跟踪演练1如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A.指数函数：y2t B.对数函数：ylog2tC.幂函数：yt3 D.二次函数：y2t2答案A解析由题中图象可知，该函数模型为指数函数.要点二几种函数模型的比较例2某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201020112012产量8(万)18(万)30(万)如果我们分
5、别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？解建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30).(1)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，将点坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，将点坐标代入，可得解得a，b，c42.则g(x)x42，故g(4)44244.4
6、，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)x27x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系.规律方法1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.2.理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣.跟踪演练2函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图.(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).解(1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)0.3x1，曲线C
7、2对应的函数为f(x)lg x，(2)当x(0，x1)时，g(x)f(x)；当x(x1，x2)时，g(x)f(x)；当x(x2，)时，g(x)f(x).函数g(x)0.3x1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A.y100x B.ylog100xC.yx100 D.y100x答案D解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.2.当2x4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A.2xx2log2x B.x22xlog2xC.2xlog2xx2 D.x2log2x2x答案B解析方法一在同一
8、平面直角坐标系中分别画出函数ylog2x，yx2，y2x，在区间(2,4)上从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的图象，所以x22xlog2x.方法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x3，经检验易知选B.3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致是()答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的图象大致为D中图象.4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog2(x1)，设这种动物第一年有100只，到第7
9、年它们发展到()A.300只 B.400只C.500只 D.600只答案A解析由已知第一年有100只，得a100.将a100，x7代入yalog2(x1)，得y300.5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_.答案yx50(0x200).解析设解析式为ykxb(k0)，由解得k，b50，yx50(0x200)三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.(3)幂函数模型yxn(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快.