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1、第2课时映射与函数学习目标1.了解映射、一一映射的概念及表示方法.2.了解象与原象的概念.3.了解映射与函数的区别与联系.知识链接函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作yf(x)，xA.预习导引1.映射和一一映射的有关概念名称定义映射及有关概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x).于是yf(x)，x称作y的原象.映射f也可以记为：f：AB，xf
2、(x)，其中A叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A).一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.2.映射与函数的关系映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.解决学生疑难点要点一映射的判断例1下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？(1)AR，BR，f：xy；(2)Aa|an，nN；Bb|b，nN，f：ab；(3)A0，)，BR，f：xy2x；(4)Ax|x是平面M内的矩形，Bx|x是平面M内的
3、圆，f：作矩形的外接圆.解(1)当x1时，y的值不存在，不是映射，更不是函数.(2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素.(3)当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数.(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是非空数集.规律方法按照映射定义可知，映射应满足存在性集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的对应元素.跟踪演练1在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，试判断由A到B是不是映射？是不是函数关系？解在图(1)中，集合A中任一个数，通过“开平方”在B中有两个数与
4、之对应，不符合映射的定义，不是映射，当然也不是函数关系.图(2)中，元素6在B中没有象，则由A到B的对应关系不是映射，也不是函数关系.图(3)中，集合A中任一个数，通过“2倍”的运算，在B中有且只有一个数与之对应，所以A到B的对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的对应关系是函数关系.图(4)中，对A中的每一个数，通过平方运算在B中都有唯一的一个数与之对应，是映射，数集A到B之间的对应关系是函数关系.要点二映射个数问题例2已知Aa，b，c，B2,0,2，映射f：AB满足f(a)f(b)f(c)，求满足条件的映射的个数.解(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)f(b)00
5、0f(c)有1个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)f(b)f(c)的映射有4个，分别为202,022，(2)02,0(2)2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(2)20,2(2)0.因此满足条件的映射共有7个.规律方法对含有附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论.跟踪演练2集合A1,2,3，B3,4，从A到B的映射f满足f(3)3，则这样的映射共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个答案B解析由于要求f(3)3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能.要点三映射的象与原象例3已知映射f：AB(x，y)
6、|xR，yR，f：(x，y)(x2y2,4xy).(1)求A中元素(5,5)的象；(2)求B中元素(5,5)的原象.解(1)当x5，y5时，x2y217,4xy25.故A中元素(5,5)的象是(17,25).(2)令B中元素(5,5)的原象为(x，y)，则得故B中元素(5,5)的原象是(1,1).规律方法1.解答此类问题：关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则.2.一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系.跟踪演练3已知映射f：AB中，AB(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(3x2y1,4x3y1).(1
7、)求A中元素(1,2)的象；(2)求B中元素(1,2)的原象；解(1)当x1，y2时，3x2y10,4x3y19.故A中元素(1,2)的象为(0,9).(2)令得故B中元素(1,2)的原象是.1.在从集合A到集合B的映射中，下列说法正确的是()A.集合B中的某一个元素b的原象可能不止一个B.集合A中的某一个元素a的象可能不止一个C.集合A中的两个不同元素所对应的象必不相同D.集合B中的两个不同元素的原象可能相同答案A解析根据映射的概念可知：A中元素必有唯一确定的象，但在象的集合中一个象可以有不同的原象，故A正确.2.下列对应法则f为A到B的函数的是()A.AR，Bx|x0，f：xy|x|B.A
8、Z，BN，f：xyx2C.AZ，BZ，f：xyD.A1,1，B0，f：xy0答案D解析在选项A、B、C中，集合A中的有些元素在对应法则作用下，在集合B中找不到象.选项D表示无论x取何值y都等于0.所以选D.3.下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()答案D解析按映射的定义判断知，D项符合.4.设集合A、B都是坐标平面上的点集(x，y)|xR，yR，映射f：AB使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(xy，xy)，则在f下，象(2,1)的原象是()A.(3,1) B.C. D.(1,3)答案B解析由得故选B.5.已知集合Aa，b，Bc，d，则从A到B的不同映射有_个.答案4解析ac，bc；ad，bd；ac，bd；ad，bc，共4个.1.映射的特征(1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应，即A中元素不能有剩余.(2)唯一性：从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射.(3)方向性：f：AB与f：BA，一般是不同的映射.2.映射与函数的关系函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广.