,. E C DA F B 图 5 A E D BC 图 8 相似三角形相似三角形 填空题填空题 1、如图，DE，两点分别在ABC△的边ABAC，上， DE与BC不平行，当满足 条件（写出一个即可） 时，ADEACB△∽△． 2、如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角 形面积的比是 ． 3、如图 5，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果 2 3 BE BC ， 那么 BF FD ． 4、在比例尺为 1︰2000 的地图上测得 AB 两地间的图上距离为 5cm，则 AB 两地间的实际距 离为 m． 5 在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，CD⊥AB 于点 D, BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ； 并写出它的面积比 . 6 已知∠A＝40，则∠A 的余角等于＝________度. 7 如图，点 1234 AAAA，，，在射线OA上，点 123 BBB，，在射 线OB上，且 112233 ABA BA B∥∥， 213243 A BA BA B∥∥．若 212 A B B△， 323 A B B△的面积分 别为 1，4，则图中三个阴影三角形面积之和 为 ． 8、两个相似三角形周长的比为 2:3，则其对应的面积比为___________. 9、两个相似三角形的面积比 S1:S2与它们对应高之比 h1:h2之间的关系为 ． 10 如图 8，D、E 分别是ABC△的边 AB、AC 上的点，则使AED△∽ABC△的条件是 ． 11、如图 4，已知 AB⊥BD，ED⊥BD，C 是线段 BD 的中点，且 AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么 AB= D C BA （第 16 题图） O A1A2A3A4A B B1 B2 B3 1 4 A E C B D ,. 图 3 （第 12 题） A BC E D 12．如图，在ABC△中，DE，分别是ABAC，的中点，若5DE ，则BC的长是 ． 13、如图 3，要测量 A、B 两点间距离，在 O 点打桩，取 OA 的中点 C，OB 的中点 D，测 得 CD=30 米，则 AB=______米． 14、如图，一束光线从 y 轴上点 A（0，1）发出，经过 x 轴上点 C 反射后，经过点 B（6，2） ，则光线从 A 点到 B 点经过的路线的长度为 ． （精确到 0.01） 15、如图，ABC△中，ABAC，DE，两点分别在边ACAB，上，且DE与BC不 平行．请填上一个你认为合适的条件： ，使ADEABC△∽△． （不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！） 16、如图 5，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为_____________.． 17、如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形 面积的比是 ． 18、如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点， AE交BD于点F，如果 2 3 BE BC ，那么 BF FD ． 一、选择题一、选择题 1、如图 1,已知 AD 与 VC 相交于点 O,AB//CD,如果∠B=40,∠D=30,则∠AOC 的大小为（ ） A.60 B.70 C.80 D.120 E C DA F B ,. A B G C D E F L A BC D E F C A B A D AO A E A F A 第 18 题图 2、如图，已知D、E分别是ABC的AB、 AC边上的点，,DE BC且 1 ADEDBCE SS :四边形 那么:AE AC等于（ ） A．1 : 9 B．1 : 3 C．1 : 8 D．1 : 2 3 如图G是ABC的重心，直线 L 过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、 L交于 D、E两点，直线BG与AC交于F点，则AED的面积：四边形ADGF的面积=？( ) (A) 1：2 (B) 2：1 (C) 2：3 (D) 3：2 4、图为ABC与DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点， 且AB // DE。若ABC与DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。 5、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点 P 处放一水平的平面镜,光线从 点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米， 那么该古城墙的高度是（ ） A、6 米 B、8 米 C、18 米 D、24 米 6、如图，DEF△是由ABC△经过位似变换得到的，点O是位似中心，DEF，，分别 是OAOBOC，，的中点，则DEF△与ABC△的面积比是（ ） A．1:6B．1:5C．1:4D．1:2 7、给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相 似．( ) A．①真②真B．①假②真C．①真②假D．①假②假 AB CD O 图 1 B A C DE ,. 10、如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是（ ） A.1:2B．1:4C．1:2D．2:1 13、给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定 相似．( ) A．①真②真B．①假②真C．①真②假D．①假②假 14、已知ABCDEF△∽△，相似比为 3，且ABC△的周长为 18，则DEF△的周长为 （ ） A．2B．3C．6D．54 15、 （2008 山东潍坊）如图,Rt△ABAC 中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点,作 PE⊥AB 于 E,PD⊥AC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE=（ ） A.3 5 x B.4 5 x C. 7 2 D. 2 1212 525 xx 16、 （2008 山东烟台）如图，在 Rt△ABC 内有边长分别为, ,a b c的三个正方形，则 , ,a b c满足的关系式是（ ） A、bac B、bac C、 222 bac D、22bac 17、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截， AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ ） ＡＡ． 9 1 ＢＢ． 9 2 ＣＣ． 3 1 ＤＤ． 9 4 18、(2008 江苏 常州)如图,在△ABC 中,若 DE∥BC, AD DB = 1 2 ,DE=4cm,则 BC 的长为（ ） A.8cmB.12cm C.11cm D.10cm A BC DE A B C D E P G C A （（第 10 题图） ,. 19、 （2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） 20、(2008 重庆)若△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的相似比为 2︰3，则 S△ABC︰S△DEF为 （） A、2∶3 B、4∶9 C、2∶3 D、3∶2 21、(2008 湖南 长沙)在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为 0.8 米，一棵 大树的影长为 4.8 米，则树的高度为（ ） A、4.8 米B、6.4 米C、9.6 米D、10 米 22、 （2008 江苏南京）小刚身高 1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为 0.85m。紧接着他 把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶 A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m 33、 （2008 湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分） 与左图中ABC△相似的是（ ） 解答题解答题 1、 （2008 广东）如图 5，在△ABC 中，BC>AC， 点 D 在 BC 上，且 DC＝AC,∠ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连结 EF. （1）求证：EF∥BC. （2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求△ABD 的面 积. 2、 （2008 山西太原）如图，在ABC:中，2BACC 。 （1）在图中作出ABC:的内角平分线 AD。 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明） （2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。 提示：（1）如图，AD 即为所求。 3、 （2008 湖北武汉） （本题 6 分）如图，点 D，E 在 BC 上，且 FD∥AB，FE∥AC。 求证：△ABC∽△FDE． F ED CB A A．B． C． D． A B C （第 7 题）A．B．C．D． ,. 4、 （2008 年杭州市） （本小题满分 10 分） 如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点 P 是线段 CH 上不与端点重合的任意一 点，连接 AP 交 BC 于点 E,连接 BP 交 AC 于点 F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF; (3) 以线段 AE，BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG（点 E 与点 F 重合于点 G） ，记△ABC 和△ABG 的面积分别为 S△ABC和 S△ABG,如果存在点 P,能使得 S△ABC=S△ABG,求∠C 的取之范 围。 5、 （2008 佛山 21）如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在 BC边上. (1) 用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点 (保留作图痕迹，不写作法和证明. 另 外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可)； (2) 若AB = 6，AC = 2，求正方形ADEF的边长. 6、 （2008 年陕西省）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵 树底部可以到达，顶部不易到达） ，他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、 小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案． （1）所需的测量工具是： ； （2）请在下图中画出测量示意图； （3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x． F C A B P E H AB C 第 21 题图 ,. 7、 （（20082008 年江苏省南通市）年江苏省南通市）如图，四边形 ABCD 中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 F，DE 与 AB 相交于点 E. （1）求证：ABAF＝CBCD （2）已知 AB＝15cm，BC＝9cm，P 是射线 DE 上的动点.设 DP＝xcm（x＞0） ，四边形 BCDP 的面积为 ycm2. ①求 y 关于 x 的函数关系式； ②当 x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时 y 的值. 8、(2008 湖南 怀化)如图 10，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N． 求证：（1）CGAE ； （2）.MNCNDNAN 9、(2008 湖南 益阳)△ABC是一块等边三角形 的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G 分别落在AC、AB上. Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF； 第 20 题 图 D P A E F C B A BC DE FG 图 (1) ,. G F EDCB A Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形. 小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的 问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分. Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE 的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了. 设△ABC的边长为 2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表 示，不要求分母有理化) . Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’； ②连结BF’并延长交AC于F； ③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D， 则四边形DEFG即为所求. 你认为小明的作法正确吗？说明理由. 10、(2008 湖北 恩施) 如图 11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG 摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90，它们的斜边长为 2，若∆ABC固定不 动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不 与点 C 重合),设BE=m，CD=n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围. （3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为 x 轴，BC边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面 直角坐标系(如图 12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算 验证BD 2 ＋CE 2 =DE 2 . （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2 ＋CE 2 =DE 2 是否始终成立,若成立,请证明,若 不成立,请说明理由. A BC DE FG 图 (3) G′ F′ E′ D′ A BC DE FG 图 (2) G y xO F EDCB A ,. 11、 （08 浙江温州）如图，在RtABC△中，90A ， 6AB ，8AC ，DE，分 别是边ABAC，的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q， 过点Q作QRBA∥交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx， QRy． （1）求点D到BC的距离DH的长； （2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （3）是否存在点P，使PQR△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值； 若不存在，请说明理由． 12、 （08 山东省日照市）在△ABC 中，∠A＝90，AB＝4，AC＝3，M 是 AB 上的动点（不与 A，B 重合） ，过 M 点作 MN∥BC 交 AC 于点 N．以 MN 为直径作⊙O，并在⊙O 内作内接矩 形 AMPN．令 AM＝x． （1）用含 x 的代数式表示△ＭNP 的面积 S； （2）当 x 为何值时，⊙O 与直线 BC 相切？ （3）在动点 M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y，试求 y 关于 x 的 函数表达式，并求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 13、(2008 安徽)如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中 点，BR分别交ACCD，于点PQ，． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外） ； （2）求::BP PQ QR． A BC D E R P H Q （第 1 题图） A B C M N P 图 1 O 第 20 题 图 A B C D E P O R ,. 14、 （2008 山东 临沂）如图，□ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F， CDDE 2 1 。 ⑴求证：△ABF∽△CEB; ⑵若△DEF 的面积为 2，求□ABCD 的面积。 15、 (2008 浙江 丽水)为了加强视力保护意识，小明想在长为 3.2 米，宽为 4.3 米的书 房里挂一张测试距离为 5 米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集 “解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案 新颖，构思巧妙． （1）甲生的方案：如图 1，将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处，被测试人站 立在 对角线AC上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由． （2）乙生的方案：如图 2，将视力表挂在墙CDGH上，在墙 ABEF 上挂一面足够大的平 面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米 处． （3）丙生的方案：如图 3，根据测试距离为 5m 的大视力表制作一个测试距 为 3m 的小 视 力表．如果大视力表中“E”的长是 3.5cm，那么小视力表中相应“E”的长是多 少 cm？ 16、 （2008 年福建宁德）如图，E 是□ABCD 的边 BA 延长线上一点，连接 EC，交 AD 于 F．在不添加辅助线的情况下，请找出图中的一对相似三角形，并说明理由． 第 21 题图 F A D E BC H H （图 1） （图 2） （图 3） （第 22 题） 3.5㎝ A C F 3m B 5m D ,. 17、(2008 黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，点( 3 0)C ，，点AB，分别在x轴，y轴 的正半轴上，且满足 2 310OBOA． （1）求点A，点B的坐标． （2）若点P从C点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．设 ABP△的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取 值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点ABP，，为顶点的三角形与AOB△相 似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18、在△ABC 中，∠A＝90，AB＝4，AC＝3，M 是 AB 上的动点（不与 A，B 重合） ，过 M 点作 MN∥BC 交 AC 于点 N．以 MN 为直径作⊙O，并在⊙O 内作内接矩形 AMPN．令 AM＝x． （1）用含 x 的代数式表示△ＭNP 的面积 S； （2）当 x 为何值时，⊙O 与直线 BC 相切？ （3）在动点 M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数表达式，并求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 19、 （08 中山）将两块大小一样含 30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB 重合，直角边不重合，已知 AB=8，BC=AD=4，AC 与 BD 相交于点 E，连结 CD． (1)填空：如图 9，AC= ，BD= ；四边形 ABCD 是 梯形. (2)请写出图 9 中所有的相似三角形（不含全等三角形）. (3)如图 10，若以 AB 所在直线为x轴，过点 A 垂直于 AB 的直线为y轴建立如图 10 A F D B C E y x A OC B A B C MN D 图 2 O A B C M N P 图 1 O A B C MN P 图 3 O ,. 图 8 的平面直角坐标系，保持 ΔABD 不动，将 ΔABC 向x轴的正方向平移到 ΔFGH 的位置，FH 与 BD 相交于点 P，设 AF=t，ΔFBP 面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关 系式，并写出 t 的取值值范围. . 20、(2008 年福建省福州市)（本题满分 13 分） 如图，已知△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发， 分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当 点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s） ，解答下列问题： （1）当 t＝2 时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为 S（cm2） ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）作 QR//BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，△APR∽△PRQ？ 21、(2008 年广东梅州市)本题满分 8 分． 如图 8，四边形ABCD是平行四边形．O 是对角线AC的中点，过点O的直线EF分 别交 AB、DC 于点E、F，与 CB、AD 的延长线分别交于点 G、H． （1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明） ； （2）除 AB=CD，AD=BC，OA=OC 这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段， 请选出其中一对加以证明． 22、(2008 年广东梅州市)本题满分本题满分 8 分．分． 如图 10 所示，E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点， EF⊥DE 交 BC 于点 F． （1）求证： ADE∽BEF； （2）设正方形的边长为 4， AE=x，BF=y．当x取什 么值时， y有最大值?并求出这个最大值． D C BA E 图 9 E D CH FGBA P y x 图 10 10 （第 21 题） ,. Q P D E F C B A Q P D E F C B A 23.（2008 扬州）如图，在△ABD 和△ACE 中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连结 BC、DE 相交于点 F，BC 与 AD 相交于点 G. （1）试判断线段 BC、DE 的数量关系，并说明理由 （2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段 FD 是线段 FG 和 FB 的比例中项吗？为什么？ G F A C E B D 24、 （（20082008 徐州）徐州）如图 1，一副直角三角板满足 AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90， ∠EDF＝30 【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕 点 E 旋转，并使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q 【探究一】在旋转过程中， (1)如图 2，当 CE 1 EA 大时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明. (2)如图 3，当 CE 2 EA 大时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由. (3)根据你对（1） 、 （2）的探究结果，试写出当 CE EA 大m时，EP 与 EQ 满足的数量关系 式为_________,其中m的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明) 【探究二】若，AC＝30cm，连续 PQ，设△EPQ 的面积为 S(cm2)，在旋转过程中： (1)S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. (2)随着 S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化？不出相应 S 值的取值范围. F C(E) B A(D) ,. AB CD A C B1(B2) D1(D2) A C EF B2 B1 D1D2 （图 1） （图 2） （图 3） 25、 （2008 遵义） （14 分）如图(1)所示，一张平行四边形纸片 ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线 BD 把这张纸片剪成△AB1D1和△CB2D2两个三角形 (如图(2)所示)，将△AB1D1沿直线 AB1方向移动(点 B2始终在 AB1上，AB1与 CD2始终保 持平行)，当点 A 与 B2重合时停止平移，在平移过程中，AD1与 B2D2交于点 E，B2C 与 B1D1交于点 F， (1)当△AB1D1平移到图(3)的位置时，试判断四边形 B2FD1E 是什么四边形？并证明你 的结论； (2)设平移距离 B2B1为 x，四边形 B2FD1E 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式；并求 出四边形 B2FD1E 的面积的最大值； (3)连结 B1C(请在图(3)中画出)。当平移距离 B2B1的值是多少时，△ B1B2F 与△ B1CF 相似？ 参考答案参考答案 一、选择题 1、B 2、B 3、D 4、B 5、B 6、C 7、C 8、A 9、C 10、B 11、C 12、C 13、C 14、C 15、A 16、A 17、C 18、B 19、B 20、B 21、C 22、A 23、B 二、填空题 ,. 1、∠ADE=∠ACB（或∠AED=∠ABC 或错误错误！！不能通过编辑域代码创建对象。不能通过编辑域代码创建对象。 ） 2、1:9 3、 2 3 4、100 5、 6、50 7、10.5 8、4：9 9、 2 11 22 Sh Sh 10、AEDB∠∠，或ADEC∠∠，或 ADAE ACAB 11、4 12、10 13、60 14、6.71 15、 16、30 17、1:9 18、 2 3 三、解答题 1、 （1）证明： CFACB平分， ∴ 12 . 又∵ DCAC, ∴ CF 是△ACD 的中线， ∴ 点 F 是 AD 的中点. ∵ 点 E 是 AB 的中点， ∴ EF∥BD, 即 EF∥BC. （2）解：由（1）知，EF∥BD， ∴ △AEF∽△ABD , ∴ 2 () AEF ABD SAE SAB . 又∵ 1 2 AEAB, 6 AEFABDABDBDFE SSSS 四边形 , ∴ 2 61 ( ) 2 ABD ABD S S , ∴ 8 ABD S, ∴ ABD的面积为 8. 2、 （2）ABDCBA:::，理由如下： AD 平分,2,BACBACC 则BADBCA ， 又BB ，故ABDCBA:::。 ,. 3、证明：略 4、 （1）∵△ABC 为等腰三角形 ∴AC=BC ∠CAB=∠CBA 又∵CH 为底边上的高，P 为高线上的点 ∴PA=PB ∴∠PAB=∠PBA ∵∠CAE=∠CAB-∠PAB ∠CBF=∠CBA-∠PBA ∴∠CAE=∠CBF （2）∵AC=BC ∠CAE=∠CBF ∠ACE=∠BCF ∴△ACE～△BCF(AAS) ∴AE=BF （3）若存在点 P 能使 S△ABC=S△ABG，因为 AE=BF，所以△ABG 也是一个等腰三角形，这两个 三角形面积相等，底边也相同，所以高也相等，进而可以说明△ABC～△ABG，则对应 边 AC=AE,∠ACE=∠AEC,所以 0≤∠C＜90 5、解：⑴ 作图：作∠BAC的平分线交线段BC于E； ………………4 分 （痕迹清晰、准确，本步骤给满分痕迹清晰、准确，本步骤给满分 4 4 分，否则酌情扣分，否则酌情扣 1 1 至至 4 4 分；另外两点及边作的是分；另外两点及边作的是 否准确，不扣分否准确，不扣分） ⑵ 如图，∵ 四边形ADEF是正方形， ∴ EF∥AB，AD = DE = EF = FA. 5 分 ∴ △CFE ∽△CAB. ∴ CA CF BA EF .………………6 分 ∵ AC = 2 ，AB = 6， 设AD = DE = EF = FA = x， ∴ 6 6 2 xx . …………………7 分 ∴ x＝ 2 3 .即正方形ADEF的边长为 2 3 . ……………8 分 （本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出ADAD或或AFAF的值用作中垂线的方法的值用作中垂线的方法 找到找到D D点或点或F F点，给点，给 2 2 分）分） 6、解：（1）皮尺、标杆． （2）测量示意图如右图所示． （3）如图，测得标杆DEa， 树和标杆的影长分别为ACb， EFc． DEFBAC△∽△， DEFE BACA ． ac xb ． ab x c ． A B C 第 21 题图 D E F C D EF B A （第 20 题答案图） ,. 7、 （1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE 垂直平分 AC ∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90，∠DAF＝∠DCF. ∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90，∠CAB＋∠B＝90，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B 在 Rt△DCF 和 Rt△ABC 中，∠DFC＝∠ACB＝90，∠DCF＝∠B ∴△DCF∽△ABC ∴ CDCF ABCB ，即 CDAF ABCB .∴ABAF＝CBCD （2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90， ∴AC＝ 22 ABBC＝ 22 159＝12，∴CF＝AF＝6 ∴ 1 (9) 2 yx6＝3x＋27（x＞0） ②∵BC＝9（定值） ，∴△PBC 的周长最小，就是 PB＋PC 最小.由（1）可知，点 C 关于 直线 DE 的对称点是点 A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求 PB＋PA 最小. 显然当 P、A、B 三点共线时 PB＋PA 最小.此时 DP＝DE，PB＋PA＝AB. 由（1） ，∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90，地△DAF∽△ABC. EF∥BC，得 AE＝BE＝ 1 2 AB＝ 15 2 ，EF＝ 9 2 . ∴AF∶BC＝AD∶AB，即 6∶9＝AD∶15.∴AD＝10. Rt△ADF 中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8. ∴DE＝DF＋FE＝8＋ 9 2 ＝ 25 2 . ∴当 x＝ 25 2 时，△PBC 的周长最小，此时 y＝ 129 2 8、证明：（1）四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形 ,,90 ,ADCD DEDGADCEDG ,ADECDGADECDG △≌△， AECG （2）由（1）得 ，又CNDANMDCGDAECDGADE,, ANMN ANDNCNMN CNDN ，即 ∴AMN∽CDN 9、Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形， ∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90 ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60 ∴△BDG≌△CEF(AAS) Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH， 求得3AH A BC DE FG 解图 (2) H ,. 由△AGF∽△ABC得： 3 3 2 xx 解之得： 32 32 x(或634x) 解法二：设正方形的边长为x，则 2 2x BD 在 Rt△BDG中，tan∠B= BD GD ， ∴3 2 2 x x 解之得： 32 32 x(或634x) 解法三：设正方形的边长为x， 则xGB x BD 2, 2 2 由勾股定理得： 222 ) 2 2 ()2( x xx 解之得：634x Ⅱb.解： 正确 由已知可知，四边形GDEF为矩形 ∵FE∥F’E’ ， ∴ BF FB EF FE ， 同理 BF FB GF FG ， ∴ GF FG EF FE 又∵F’E’=F’G’， ∴FE=FG 因此，矩形GDEF为正方形 10、解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA ∵∠BAE=∠BAD+45,∠CDA=∠BAD+45 ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45 ∴∆ABE∽∆DCA (2)∵∆ABE∽∆DCA ∴ CD BA CA BE A BC D E FG 解图 (3) G’F’ E’D’ ,. 由依题意可知CA=BA=2 ∴ n m2 2 ∴m= n 2 自变量 n 的取值范围为 1
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