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湖南省岳阳市2017年中考数学真题试题
第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的相反数是
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题解析：6的相反数是-6，
故选A．
考点：相反数.
2.下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
3.据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为吨油当量，将用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题解析：39000000000=3.91010．
故选A．
考点：科学记数法—表示较大的数．
4.下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是
【答案】B．
【解析】
试题解析：∵球的主视图、左视图、俯视图都是圆，
∴主视图、左视图、俯视图都相同的是B，
故选B．
考点：简单几何体的三视图．
5.从，，，，这个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是
A． B． C. D．
【答案】C．
【解析】
故选C．
考点：概率公式；有理数．
6.解分式方程，可知方程的解为
A． B． C. D．无解
【答案】D．
【解析】
试题解析：去分母得：
2-2x=x-1，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x-1=0，故此方程无解．
故选D．
考点：解分式方程．
7.观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是
A． B． C. D．
【答案】B．
【解析】
考点：尾数特征．
8.已知点在函数（）的图象上，点在直线（为常数，且）上，若，两点关于原点对称，则称点，为函数，图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为
A．有对或对 B．只有对 C.只有对 D．有对或对
【答案】A．
【解析】
试题解析：设A（a，-），
由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，-），）在直线y2=kx+1+k上，
则=-ak+1+k，
整理，得：ka2-（k+1）a+1=0 ①，
即（a-1）（ka-1）=0，
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标．
第Ⅱ卷（共96分）
二、填空题（每题4分，满分32分，将答案填在答题纸上）
9.函数中自变量的取值范围是 ．
【答案】x≠7．
【解析】
试题解析：函数中自变量x的范围是x≠7．
考点：函数自变量的取值范围．
10.因式分解： ．
【答案】（x-3）2．
【解析】
试题解析：x2-6x+9=（x-3）2．
考点：因式分解-运用公式法．
11.在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：
，，，，，，，则这组数据的中位数是 ，众数是 ．
【答案】92，95．
【解析】
试题解析：这组数据从小到大排列为：83，85，90，92，95，95，96．则中位数是：92；
众数是95．
考点：众数；中位数．
12.如右图，点是的边上一点，于点，，，则的度数是 ．
【答案】60
【解析】
试题解析：∵PD⊥ON于点D，∠OPD=30，
∴Rt△OPD中，∠O=60，
又∵PQ∥ON，
∴∠MPQ=∠O=60
考点：平行线的性质；垂线．
13.不等式组的解集是 ．
【答案】x＜-3
【解析】
考点：解一元一次不等式组．
14.在中，，，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为 ．
【答案】2.
【解析】
试题解析：∵关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，
∴△=16-4b=0，
∴AC=b=4，
∵BC=2，AB=2，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长=AC=2
考点：根的判别式；直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．
15.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率的近似值．设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为．如右图所示，当时，，那么当时， ．（结果精确到，参考数据：）
【答案】3.10.
【解析】
∵AO=BO=r，
∴BC=r，OC=r，
考点：正多边形和圆；解直角三角形．
16.如右图，为等腰的外接圆，直径，为弧上任意一点（不与，重合），直线交延长线于点，在点处切线交于点，下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①若，则弧的长为； ②若，则平分；
③若，则； ④无论点在弧上的位置如何变化，为定值．
【答案】②③④．
【解析】
试题解析：如图，连接OP，
∵AO=OP，∠PAB=30，
∴∠POB=60，
∵AB=12，
∴OB=6，
∴弧的长为=2π，故①错误；
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD∥BC，
∴OP⊥BC，
∴，
∴△ACP∽△QCA，
∴，即CP•CQ=CA2（定值），故④正确；
故答案为：②③④．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；切线的性质；弧长的计算．
三、解答题 （本大题共8小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分6分）
计算：
【答案】2.
【解析】
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
18.（本题满分6分）
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，在中，对角线，交于点， ．
求证： ．
【答案】AC⊥BD；四边形ABCD是菱形．
【解析】
试题分析：由命题的题设和结论可填出答案，由平行四边形的性质可证得AC为线段BD的垂直平分线，可求得AB=AD，可得四边形ABCD是菱形．
试题解析：已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
考点：菱形的判定；平行四边形的性质．
19.（本题满分8分）
如图，直线与双曲线（为常数，）在第一象限内交于点，且与轴、轴分别交于，两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点在轴上，且的面积等于，求点的坐标．
【答案】（1）直线的解析式为y=x+1；双曲线的解析式为y=；（2）P点的坐标为（3，0）或（-5，0）．
【解析】
试题分析：（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y=x+b，分别可得k，b的值；
（2）先根据直线解析式得到BO=CO=1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P的坐标．
试题解析：（1）把A（1，2）代入双曲线y=，可得k=2，
∵△BCP的面积等于2，
∴BPCO=2，即|x-（-1）|1=2，
解得x=3或-5，
∴P点的坐标为（3，0）或（-5，0）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
20.（本题满分8分）
我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了个包还多本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了个包．那么这批书共有多少本？
【答案】这批书共有500本．
【解析】
考点：一元一次方程的应用．
21.（本题满分8分）
为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动．学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中的 ， ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）学校将每周课外阅读时间在小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校名学生中评为“阅读之星”的有多少人？
【答案】（1）25；0.10；（2）作图见解析；（3）200人．
【解析】
则该校2000名学生中评为“阅读之星”的有200人．
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
22.（本题满分8分）
某太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知真空热水管与支架所在直线相交于点，且．支架与水平线垂直，，，．
（1）求支架的长；
（2）求真空热水管的长．（结果均保留根号）
【答案】（1）40cm．(2) 95cm．
【解析】
考点：解直角三角形的应用．
23.（本题满分10分）
问题背景：已知的顶点在的边所在直线上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．
（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则 ；
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；
（3）延伸拓展：当是等腰三角形时，设．
（I）如图③，当点在线段上运动时，设，，求的表达式（结果用，和的三角函数表示）．
（II）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出的表达式，不必写出解答过程．
【答案】(1)12;(2)12；（3）（ab）2sin2α．（ab）2sin2α．
【解析】
S2=DB•BN•sinα=bysinα，可得S1•S2=（ab）2sin2α．
（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；
试题解析：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60，
∵DE∥BC，∠EDF=60，
∴∠BND=∠EDF=60，
∴∠BDN=∠ADM=60，
∴△ADM，△BDN都是等边三角形，
∴S1=•22=，S2=•（4）2=4，
∴S1•S2=12，
（2）如图2中，设AM=x，BN=y．
∴S1•S2=x•y=xy=12．
（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，
同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，
∴S1•S2=（ab）2sin2α．
∴S1•S2=（ab）2sin2α．
考点：几何变换综合题．
24.（本题满分10分）
如图，抛物线经过点，，直线交轴于点，且与抛物线交于，两点．为抛物线上一动点（不与，重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在直线下方时，过点作轴交于点， 轴交于点．求的最大值；
（3）设为直线上的点，以，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2-x-2；（2）；（3）能，（1，0）
【解析】
试题分析：（1）把B（3，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）设P（m，m2-m-2），得到N（m，-m-），M（-m2+2m+2，m2-m-2），根据二次函数的性质即
∴
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2；
（2）设P（m，m2-m-2），
∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，
∴N（m，-m-），M（-m2+2m+2，m2-m-2），
∴PM+PN=-m2+2m+2-m-m--m2+m+2=-m2+m+=-（m- ）2+，
∴当m=时，PM+PN的最大值是；
（3）能，
理由：∵y=-x-交y轴于点E，
∴E（0，-），
∴CE=，
∴CG=GE，PG=FG，
∴G（0，-），
设P（m，m2-m-2），则F（-m，m-），
∴（m2-m-2+m-）=-，
∵△＜0，
∴此方程无实数根，
综上所述，当m=1时，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形．
考点：二次函数综合题．
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