2022年点线面位置关系 .pdf

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1、2.1 空间中点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换2、三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为AL BL = L ，A ，B公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为： A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面 ，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。推论： 一条直线和其外一点可确定一个平面两条相交直线可确定一个平面两条平行直线可确定

2、一个平面（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为： P =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据（4）公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面LA C B A P L精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页3、异面直线所成角 的范围是 00ac2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

3、 - - - - - -第 2 页，共 17 页（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab 2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a ab = P 精选学习资料 - - - - -

4、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页b a b2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行练习巩固：1、若两个平面互相平行

5、，则分别在这两个平行平面内的直线( d ) A.平行B.异面 C. 相交 D. 平行或异面2、下列结论中，正确的有( a ) 若 a, 则 aa平面 ,b 则 ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页平面 平面 ,a,b, 则 ab平面, 点 P,a , 且 Pa，则aA.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个3、在空间四边形ABCD 中，E、F 分别是 AB 和 BC 上的点，若 AEEB=CFFB=13，则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是 ( ) A.平行 B. 相交 C. 在内D.不能确定4、a，b

6、是两条异面直线， A 是不在 a，b 上的点，则下列结论成立的是( d ) A.过 A有且只有一个平面平行于a,b B.过 A至少有一个平面平行于a,b C.过 A有无数个平面平行于a,b D.过 A且平行 a,b 的平面可能不存在5、已知直线 a与直线 b 垂直,a平行于平面 ,则 b 与 的位置关系是 ( ) A.bB.bC.b 与 相交D.以上都有可能6、下列命题中正确的命题的个数为( a ) 直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则l ; 若直线 a 在平面 外，则 a; 若直线 ab, 直线 b, 则 a; 若直线 ab,b平面 ，那么直线 a 就平行于平面 内的无数条直线 . A.

7、1 B.2 C.3 D.4 7、下列命题正确的个数是( a ) (1) 若直线 l 上有无数个点不在 内，则 l (2) 若直线 l 与平面 平行， l 与平面 内的任意一直线平行(3) 两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4) 若一直线 a 和平面 内一直线 b 平行，则 aA.0 个B.1 个 C.2 个 D.3 个8、已知 m 、n 是两条不重合的直线， 、 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：其中真命题是 d 若 m ,m, 则 ; 若 , , 则 ; 若 m ,n,mn, 则 ; 若 m 、n是异面直线， m ,m,n,n ,则 . A.和B.和C.和

8、D.和9、长方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为 AA1中点,F 为 BB1中点,与 EF 平行的长方体的面有 (c) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个10、对于不重合的两个平面与 ，给定下列条件：存在平面 ，使得 、都垂直于 ；存精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页在平面 ，使 、都平行于 ；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l，M，使得 l ,l ,M ,M . 其中可以判断两个平面 与 平行的条件有（b）A.1个B.2个C.3个 D.4 个二、填空题【共 4 道小题】1、在棱长为 a

9、 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M 、N分别是棱 A1B1、B1C1的中点， P是棱 AD上一点，AP=, 过 P、M 、N的平面与棱 CD交于 Q ，则 PQ=_. 参考答案与解析 :解析：由线面平行的性质定理知MNPQ(MN平面 AC，PQ=平面 PMN 平面 AC，MNPQ).易知 DP=DQ=.故. 答案：2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是_. 参考答案与解析 :共线或在与已知平面垂直的平面内3、若直线 a和 b 都与平面 平行，则 a和 b 的位置关系是 _. 参考答案与解析 :相交或平行或异面4、正方体 ABCD-A1B1C1D1

10、中，E 为 DD1中点，则 BD1与过点 A，C，E 的平面的位置关系是_. 参考答案与解析 :解析：如图所示，连结BD，设 BD AC=O，连结 BD1，在 BDD1中，E 为 DD1的中点， O 为 BD 的中点，OE 为BDD1的中位线 .OEBD1. 又平面 ACE ，OE 平面 ACE ，BD1平面 ACE . 答案：平行三、解答题【共 3 道小题】1、如图，直线 AC ，DF被三个平行平面 、 所截. 是否一定有 AD BE CF ；求证：. 参考答案与解析 :解析：平面 平面 ，平面 与 没有公共点，但不一定总有 ADBE. 同理不总有 BE CF.过 A点作 DF的平行线，交

11、， 于 G ，H两点，AH DF.过两条平行线AH ，DF的平面，交平面 , , 于 AD ，GE ，HF.根据两平面平行的性质定理，有AD GE HF.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页AGED 为平行四边形 . AG=DE.同理 GH=EF. 又过 AC ，AH两相交直线之平面与平面, 的交线为 BG ，CH.根据两平面平行的性质定理，有BG CH.在ACH中，. 而 AG=DE ，GH=EF ，. 2、如图， ABCD 是平行四边形， S 是平面 ABCD 外一点， M 为 SC 的中点. 求证：SA 平面

12、MDB. 参考答案与解析 :解析：要说明 SA平面 MDB ，就要在平面 MDB 内找一条直线与 SA 平行，注意到 M 是 SC的中点，于是可找 AC 的中点，构造与 SA 平行的中位线，再说明此中位线在平面MDB 内，即可得证 . 证明：连结 AC交 BD于 N ， 因为 ABCD 是平行四边形， 所以 N是 AC的中点 . 又因为 M是 SC的中点，所以 MN SA.因为 MN 平面 MDB ，所以 SA 平面 MDB. 3、如图 ,已知点 M、N 是正方体 ABCD-A1B1C1D1的两棱 A1A 与 A1B1的中点， P 是正方形 ABCD的中心，求证： MN 平面 PB1C. 参考

13、答案与解析 :证明：如图，连结AC，则 P为 AC的中点，连结 AB1，M 、N分别是 A1A 与 A1B1的中点，MN AB1. 又平面 PB1C，平面PB1C，故 MN 面 PB1C. 4、如图，在正方体1111ABCDABC D 中，E，F 分别是棱BC，11C D的中点，求证：EF/平面11BB D D 答案：证明：如图，取11D B 的中点O，连接OF，OB，OF平行且等于1112B C，BE平行且等于1112B C，OF平行且等于BE，则OFEB为平行四边形，1A1B1D1CFEABCDAEBHFDGC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

14、- - -第 7 页，共 17 页EF/BOEF平面11BB D D ，BO平面11BB D D ， EF/平面11BB D D 5、 如图， 在四棱锥PABCD中，ABCD是 平 行 四 边 形 ，M，N分别是AB，PC的中点求证：MN /平面PAD答案：证明：如图，取CD的中点E，连接NE，ME M，N分别是AB，PC的中点，NEPD/，MEAD/，可证明NE/平面PAD，ME /平面PAD又NEMEE，平面MNE/平面PAD，又MN平面MNE， MN /平面PAD2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面 互相垂直，记作L，直

15、线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点 P叫做垂足。 L p 2、判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的1A1B1D1CFEABCDOAPDMNBCE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B 2

16、、二面角的记法：二面角-l- 或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理： 两个平面垂直， 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。一 选择题1. 已知直线a，b和平面，有以下四个命题：若a/，ab/，则b/；若a，bA，则与b异面；若，b，则；若，则b/其中真命题的个数是（）22. 已知直线l平面，有以下几个判断：若ml，则m/；若m，则ml/；若m/，则ml；若ml/，则m上述判断中正确的是（）3. 已知两个平面垂直，下列命题一个平

17、面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确的个数是（）A4. 在正方形ABCD中，E，F分别是AB及BC的中点，M是EF的中点， 沿DE，DF及EF把DAE，DFC，EBF折起使A，B，C三点重合， 重合后的点记作P，那么在四面体PDEF中必有 （）DP面PEFDM面PEFPM面DEFPF面DEF5. 直线a不垂直于平面，

18、则内与a垂直的直线有（）0条1条无数条内所有直线6. 已知三条直线m，n，l，三个平面，下面四个命题中，正确的是（）/mllm/mmnn/mmnn/7. 在空间四边形ABCD中，若ABBC，ADCD，E为对角线AC的中点， 下列判断正确的是（）平面ABD平面BDC平面ABC平面ABD平面ABC平面ADC平面ABC平面BED8. ，是四个不同平面，若，则（）/且/或/这四个平面中可能任意两个都不平行这四个平面中至多有一对平面平行9. 设a，b是异面直线，下列命题正确的是（）过不在a，b上的一点P一定可以作一条直线和a，b都相交过不在a，b上的一点P一定可以作一个平面和a，b垂直过a一定可以作一个

19、平面与b垂直过a一定可以作一个平面与b平行10. 设平面平面，且l，直线a，直线b，且a不与l垂直，b不与l垂直， 那么a与b（）可能垂直，不可能平行可能平行，不可能垂直可能垂直，也可能平行不可能垂直，也不能垂直二 填空题11 已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系是 _12. ，是两个不同的平面，mn，是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn；n；m以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页的一个命题 _13. 设O为平行四边形ABCD对

20、角线的交点，P为平面AC外一点且有PAPC，PBPD，则PO与平面ABCD的关系是 _14. 设三棱锥PABC的顶点P在底面ABC内射影O（在ABC内部，即过P作PO底面ABC，交于O） ，且到三个侧面的距离相等，则O是ABC的 _心. 4、如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则PAB，PAC，ABC，PBC中，直角三角形的个数是_三 解答题16 已知平面，满足，l，求证：l17. 如图，已知平面，直线a满足，a，a，试判断直线a与平面的位置关系并证明18. 如图所示，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，

21、SC，SD于E，F，G求证：AESBAGSD，baSABCFEDGOPABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页19. 如图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EFCD/，AMEF求证：MF是异面直线AB与PC的公垂线20. 如图，直角ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点(1) 求证：SD平面ABC；(2) 若ABBC，求证：BD面SAC21. 如图所示，平面平面，l，在l上取线段4AB，AC，BD分别在平面和平面内，且ACAB，DBAB，3AC，12BD，求C

22、D长答案ASCBDACBDlBAPEFCDM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页一 选择题BBBAC;DDBDB 二 填空题11.bb或/12. （ 2） （3） （4）（1）或（ 1） （3） （4）（2）13. 垂直14. 内心15.4 三 解答题16 解：在平面内做两条相交直线分别垂直于平面，与平面的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线l平面17 解：在内作垂直于与交线的直线b，因为，所以b因为a，所以ab/又因为a，所以a/即直线a与平面平行18 答案：证明：SA平面ABCD，SABC又ABBC，BCSAB

23、平面AESAB平面，BCAE，SCAEFG平面，SCAEAESBC平面，AESB同理AGSD19 答案：证明：PA底面，PAAB已知ABAD，AB面PADBAAE又AMCDEF/，且AMEFAEFM是矩形，AMMF又AEPD，AECD，AE平面PCD又MFAE/，MF平面PCDMFPC MF是异面直线AB与PC的公垂线20 答案：证明： （）SASC，D为AC的中点，SDAC连结BD在ABCRt中，则ADDCBDADSBDS，SDBD又ACBDD，SD面ABC（）BABC，D为AC的中点，BDAC又由（）知SD面ABC，SDBD 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线 BD面SAC21答 案

24、 ： 解 ： 连 结BCACAB，AC，ACBDBDAB，BD，BDBCCBD是直角三角形 在BACRt中，22BCACAB22345，在CBDR t 中，2251213CDCD长为13精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页针对性练习：1. 若直线 a 不平行于平面，则下列结论成立的是（）A. 内所有的直线都与a 异面； B. 内不存在与 a 平行的直线；C. 内所有的直线都与a 相交； D.直线 a 与平面有公共点 . 2. 已知两个平面垂直，下列命题一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；一个平面内

25、的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.0 3. 空间四边形 ABCD 中，若ABADACCBCDBD，则AC与BD所成角为A、030 B、045 C、060 D、0904. 给出下列命题：（1）直线 a 与平面不平行，则 a 与平面内的所有直线都不平行；（2）直线 a 与平面不垂直，则 a 与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线 a、b 不垂直，则过 a 的任何平面与 b 都不垂直；精选学习资料 - - - - - - - - - 名

26、师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页（4）若直线 a 和 b 共面，直线 b 和 c 共面，则 a 和 c 共面其中错误命题的个数为（）（A）0 （B） 1 （C）2 （D）3 5正方体 ABCD-A1B1C1D1中，与对角线 AC1异面的棱有（）条 A3 B4 C6 D8 6. 点 P为ABC所在平面外一点， PO 平面 ABC ，垂足为 O ，若 PA=PB=PC，则点 O是ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心7. 如图长方体中， AB=AD=23，CC1=2，则二面角 C1BD C的大小为（）（A）300（B）450（C）600 （D）9008

27、. 直线 a,b,c 及平面, , ,下列命题正确的是（）A、若 a，b,c a, c b 则 c B、若 b, a/b 则 a/ C、若 a/ , =b 则 a/b D、若 a, b 则 a/b 9. 平面与平面平行的条件可以是（）A.内有无穷多条直线与平行； B.直线 a/,a/C.直线 a, 直线 b, 且 a/,b/ D.内的任何直线都与平行10、 a, b是异面直线，下面四个命题：过 a 至少有一个平面平行于b； 过 a 至少有一个平面垂直于b；至多有一条直线与a，b 都垂直；至少有一个平面与a，b 都平行。其中正确命题的个数是（）二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共

28、 20 分）11. 已 知 直 线a/ 平 面， 平 面/ 平 面， 则a与的 位 置 关 系为 . 12 已知直线 a直线 b, a/ 平面,则 b 与的位置关系为 . 13 如图，ABC是直角三角形，ACB=90，PA 平面 ABC ，此图形中有个直角三角形14. 、是两个不同的平面， m 、n 是平面及之外的两条不同直线 , P A B C D A1 B1 C1 D1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页给出四个论断： m n m n 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

29、_. 三、解答题 （本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）15如图， PA 平面 ABC ，平面 PAB 平面 PBC 求证：AB BC 16 在三棱锥 S-ABC中，已知 AB=AC ，O是 BC的中点，平面 SAO 平面 ABC 求证： SAB= SAC 17如图，PA 平面 ABC ，AE PB ，AB BC ，AF PC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF 平面 PBC ；（2）求二面角 PBC A的大小； （3）求三棱锥 PAEF的体积 . A B O C S P A B C A B C P E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页参考答案1.D； 2.C；3.D；4.D；5.C；6.B ；7.A；8.D； 9.D；10.C 11. 平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； 13.4； 14.若则17. （ 2）45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页