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1、课时规范练43空间几何中的向量方法一、基础巩固组1.若平面,的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则()A.B.C.,相交但不垂直D.以上均不正确2.已知平面的一个法向量为n=(1,-3,0),则y轴与平面所成的角的大小为()A.6B.3C.4D.563.两平行平面,分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是()A.32B.22C.3D.324.已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cos=-12,则l与所成的角为()A.30B.60C.120D.1505.如图,过正方形ABCD的顶点A,作PA
2、平面ABCD.若PA=BA,则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30B.45C.60D.906.(2017广东珠海质检)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2,则点D1到平面A1BD的距离是()A.32B.22C.33D.2337.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为.导学号215005648.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:APBC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM
3、=3.试证明平面AMC平面BMC.9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C平面A1BD;(2)求点B1到平面A1BD的距离.导学号21500565二、综合提升组10.在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A.15B.255C.55D.2511.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AC=1,CB=2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交于点D,则平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余
4、弦值为()A.-33B.-63C.33D.6312.(2017广东广州模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1.则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.13.(2017山东青岛模拟,理17)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=2AB,B1C112BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:(1)A1B1平面AA1C;(2)AB1平面A1C1C.14.如图所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:ACSD.(2)若SD平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E
5、,使得BE平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由.三、创新应用组15.(2017宁夏中卫二模,理18)如图,已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,其中BEAF,ABAF,AB=BE=12AF=2,CBA=3.(1)求证:AFBC;(2)线段AB上是否存在一点G,使得直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为9331,若存在,求AG的长;若不存在,说明理由.导学号2150056616.(2017山西吕梁二模,理18)在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中ADBC,ABAD,AB=AD=12BC,BE=14BC.(1)求证:DE平面PA
6、C;(2)若直线PE与平面PAC所成角的正弦值为3010,求二面角A-PC-D的平面角的余弦值.导学号21500567课时规范练43空间几何中的向量方法1.C因为cos=n1n2|n1|n2|=-2938260且cos1,所以,相交但不垂直.2.B可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面所成的角为,则sin =|cos|.cos=mn|m|n|=-312=-32,sin =32,=3.3.B两平面的一个单位法向量n0=-22,0,22,故两平面间的距离d=|OAn0|=22.4.A因为cos=-12,所以l与所成角满足sin =|cos|=12,又0,2,所以=30.5.B(方法一
7、)建立如图1所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为|n1n2|n1|n2|=22,故所求的二面角的大小是45.(方法二)将其补成正方体.如图2,不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角,其大小为45.6.D建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),D1A1=(2,0,0),DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则nDA1
8、=2x+2z=0,nDB=2x+2y=0.令x=1,则n=(1,-1,-1),点D1到平面A1BD的距离是d=|D1A1n|n|=23=233.7.30如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P0,-a2,a2.则CA=(2a,0,0),AP=-a,-a2,a2,CB=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos=CBn|CB|n|=a2a22=12.=60,直线BC与平面PAC所成角为90-60=30.8.证明 (1)如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴
9、建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0),APBC=(0,3,4)(-8,0,0)=0,APBC,即APBC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上,AM=35AP=0,95,125,又BA=(-4,-5,0),BM=BA+AM=-4,-165,125,则APBM=(0,3,4)-4,-165,125=0,APBM,即APBM,又根据(1)的结论知APBC,AP平面BMC,于是AM平面BMC.又AM平面AMC,故平面AMC平面BCM.9.(1)证
10、明 连接AB1交A1B于点E,连接DE.可知E为AB1的中点,D是AC的中点,DEB1C.又DE平面A1BD,B1C平面A1BD,B1C平面A1BD.(2)解 建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,22,3),B(0,22,0),A1(-1,0,3),DB1=(0,22,3),DB=(0,22,0),DA1=(-1,0,3).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),nDB=0,nDA1=0,即22y=0,-x+3z=0,n=(3,0,1).故所求距离为d=|nDB1|n|=31010.10.C以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由AB
11、=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D12,0,0,E12,12,0,F0,12,1,PA=(0,0,-2),DE=0,12,0,DF=-12,12,1.设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则由nDE=0,nDF=0,得12y=0,-12x+12y+z=0,取z=1,则n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成的角为,则sin =|PAn|PA|n|=55,PA与平面DEF所成角的正弦值为55.11.A建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,1,0),B1(2,0,1),D22,12,12,C
12、D=22,12,12,CB=(2,0,0),BA=(-2,1,0),BB1=(0,0,1).设平面CBD和平面B1BD的法向量分别为n1,n2,可得n1=(0,1,-1),n2=(1,2,0),所以cos=n1n2|n1|n2|=33,又平面B1BD与平面CBD所成的二面角的平面角与互补,故平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为-33.12.13建立如图所示的空间直角坐标系,由于AB=2,BC=AA1=1,所以A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1).所以A1C1=(-1,2,0),BC1=(-1,0,1),D1C1=(0,2,0),设平面A1BC1
13、的法向量为n=(x,y,z),则有A1C1n=0,BC1n=0,即-x+2y=0,-x+z=0,令x=2,则y=1,z=2,则n=(2,1,2).又设D1C1与平面A1BC1所成的角为,则sin =|cos|=|D1C1n|D1C1|n|=223=13.13.证明 二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,AA1平面BAC.又AB=AC,BC=2AB,CAB=90,即CAAB,AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)A1B1=(0,2,
14、0),A1A=(0,0,-2),AC=(2,0,0),设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z),则nA1A=0,nAC=0,即-2z=0,2x=0,即x=0z=0.取y=1,则n=(0,1,0).A1B1=2n,即A1B1n.A1B1平面AA1C.(2)易知AB1=(0,2,2),A1C1=(1,1,0),A1C=(2,0,-2),设平面A1C1C的法向量m=(x1,y1,z1),则mA1C1=0,mA1C=0,即x1+y1=0,2x1-2z1=0,令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).AB1m=01+2(-1)+21=0,AB1m.又AB1平面A1C1C,AB1平面
15、A1C1C.14.(1)证明 连接BD,设AC交BD于点O,连接SO,则ACBD,由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点,OB,OC,OS的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系如图.设底面边长为a,则高SO=62a,于是S0,0,62a,D-22a,0,0,C0,22a,0,OC=0,22a,0,SD=-22a,0,-62a,则OCSD=0.故OCSD.从而ACSD.(2)解 棱SC上存在一点E使BE平面PAC.理由如下:由已知条件知DS是平面PAC的一个法向量,且DS=22a,0,62a,CS=0,-22a,62a,BC=-22a,22a,0.设CE=tCS,则BE=BC
16、+CE=BC+tCS=-22a,22a(1-t),62at,由BEDS=0,解得t=13.当SEEC=21时,BEDS.又BE平面PAC,故BE平面PAC.15.(1)证明 菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,ABAF,AF平面ABCD,BC平面ABCD,AFBC.(2)解 取AB的中点O,连接CO,则COAB,平面ABCD平面ABEF,CO平面ABEF.建立如图所示的空间直角坐标系,则D(-2,0,3),F(-1,4,0),E(1,2,0),DF=(1,4,-3),EF=(-2,2,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则nDF=0,nEF=0,即x+4y-3z=0,
17、-2x+2y=0,取n=1,1,533,设G(,0,0),-1,1,则GF=(-1,4,0).直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为9331,|-1+4|(+1)2+16313=9331,=-1-1,1,AG=0,直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为9331.16.(1)证明 以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设AB=AD=12BC=2,则D(0,2,0),E(2,1,0),A(0,0,0),C(2,4,0),DE=(2,-1,0),AC=(2,4,0),DEAC=4-4+0=0,DEAC.PA平面ABCD,DE平面ABCD,DEPA.PAAC
18、=A,DE平面PAC.(2)解 设P(0,0,t)(t0),AP=(0,0,t),AC=(2,4,0),PE=(2,1,-t),设平面PAC的法向量n=(x,y,z),则nAP=tz=0,nAC=2x+4y=0,取x=2,得n=(2,-1,0),直线PE与平面PAC所成角的正弦值为3010,|PEn|PE|n|=35+t25=3010,解得t=1或t=-1(舍),P(0,0,1),PC=(2,4,-1),PD=(0,2,-1),设平面PCD的法向量m=(a,b,c),则mPC=2a+4b-c=0,mPD=2b-c=0,取b=1,得m=(-1,1,2),设二面角A-PC-D的平面角为,则cos =|mn|m|n|=365=3010.二面角A-PC-D的平面角的余弦值为3010.