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1、5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲考情考向分析1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性一般以选择题、填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2
2、，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.知识拓展1若a与b不共线，ab0，则0.2设a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果x20，y20，
3、则ab.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变()题组二教材改编2P97例5已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_答案(1,5)解析设D(x，y)，则
4、由，得(4,1)(5x,6y)，即解得3P119A组T9已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则_.答案解析由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得，所以.题组三易错自纠4设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12_.答案05已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量_.答案(7，4)解析根据题意得(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)6(2016全国)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.答案6解析因为ab，所以(2)m430，解得m6.题型一平面向量基本定理
5、的应用1在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)答案B解析方法一设ak1e1k2e2，A选项，(3,2)(k2,2k2)，无解；B选项，(3,2)(k15k2,2k12k2)，解得故B中的e1，e2可以把a表示出来；同理，C，D选项同A选项，无解方法二只需判断e1与e2是否共线即可，不共线的就符合要求2如图，在ABC中，P是BN上的一点，若，则实数m的值为()A B C1 D3答案A解析因为m，设t，而t()tt(1t)tt，所以即m.故选A.思维升华
6、 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决题型二平面向量的坐标运算典例 (1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c等于()A BC D答案D解析由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)所以c.(2)(2017北京西城区模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则等于()A1 B2 C3 D4答案D解析以向量a和b的交点为原点建立如
7、图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即解得2，4.引申探究在本例(2)中，试用a，c表示b.解建立本例(2)解答中的平面直角坐标系，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，设bxayc，则(6,2)x(1,1)y(1，3)即解得故b4a2c.思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则跟踪训练 (1)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)
8、，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为()A BC(3,2) D(1,3)答案A解析设D(x，y)，(x，y2)，(4,3)，又2，故选A.(2)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab等于()A(2，1) B(2,1)C(1,0) D(1,2)答案D解析a，b，故ab(1,2)题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标典例 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_答案(3,3)解析方法一由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以点
9、P的坐标为(3,3)方法二设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3,3)命题点2利用向量共线求参数典例 已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角_.答案45解析由ab，得(1sin )(1sin )，cos2，cos 或cos ，又为锐角，45.思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2
10、)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量跟踪训练 (1)(2018届辽宁沈阳东北育才学校一模)已知平面向量a(1，m)，b(3,1)且(2ab)b，则实数m的值为()A BC D答案B解析2ab(1,2m1)，由(2ab)b，可知3(2m1)1，可得m，故选B.(2)若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_答案解析(a1,3)，(3,4)，根据题意，4(a1)3(3)0，即4a5，a.解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (12分)给定两个长度为
11、1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征规范解答解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B.4分设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，8分所以xycos sin 2sin，10分又，所以当时，xy取得最大值2.12分1如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2 Be12e2与e12e2
12、Ce1e2与e1e2 De12e2与e12e2答案D2(2018郑州质检)设平面向量a(1,0)，b(0,2)，则2a3b等于()A(6,3) B(2，6)C(2,1) D(7,2)答案B解析2a3b(2,0)(0,6)(2，6)3(2018黄山模拟)若A(2,3)，B(3，2)，C三点共线，则m的值为()A B C2 D2答案A解析(5，5)，A，B，C三点共线，和共线，5(m3)，解得m，故选A.4(2017安徽马鞍山模拟)已知向量a(2,1)，b(3,4)，c(1，m)，若实数满足abc，则m等于()A5 B6 C7 D8答案B解析由平面向量的坐标运算法则可得ab(5,5)，c(，m)，
13、据此有解得5，m1，m6.5已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m，3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(，为实数)，则实数m的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)答案D解析由题意知向量a，b不共线，故2m3m2，即m2.6(2018厦门调研)已知|1，|，0，点C在AOB内，且与的夹角为30，设mn(m，nR)，则的值为()A2 B C3 D4答案C解析0，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，(1,0)，(0，)，mn(m，n)tan 30，m3n，即3，故选C.7在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(
14、1,3)，则向量的坐标为_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)8(2018雅安模拟)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)，若a2b与c共线，则k_.答案1解析a2b(，3)，且a2bc，3k0，解得k1.9(2017福建四地六校联考)已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O为坐标原点，且()，则|_.答案2解析由()()知，点D是线段AC的中点，故D(2,2)，所以(2,2)，故|2.10(2018洛阳质检)在平行四边形ABCD中，e1，e2，则_.(用e1，e2表示)答案e1e2解析如图，2()e2(e2e1)e1e2.11已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(
15、1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点C的坐标为(5，3)12已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解(1)由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得(3)设O为坐标原点
16、，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)13(2018河南三市联考)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与同方向的单位向量是_答案解析(4，1)(1,3)(3，4)，与同方向的单位向量为.14(2017杭州五校联盟一诊)在矩形ABCD中，AB，BC，P为矩形内一点，且AP，若(，R)，则的最大值为_答案解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，B(，0)，C(，)，D(0，)AP，x2y2.点P满足的约束条件为(，R)，(x，y)(，0)(0，)，xy.xy ，当且仅当xy时取等号，的最大值为
17、.15(2018河北石家庄一模)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若mn，则mn的取值范围是_答案(1,0)解析由题意得，k(k0)，又|k|1，1k0.又B，A，D三点共线，(1)，mnkk(1)，mk，nk(1)，mnk，从而mn(1,0)16(2018开封调研)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|1，则|2的最大值是_答案解析建立平面直角坐标系如图所示，则易知B(，0)，C(，0)，A(0,3)设M(x，y)，P(a，b)，解得即P(2x，2y)，又|1.P点在圆x2(y3)21上，即(2x)2(2y3)21，整理得22(记为圆)，即M点在该圆上，求|的最大值转化为B点到该圆上的一点的最大距离，即B到圆心的距离再加上该圆的半径：|22.