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1、第七讲函数与方程题组函数的零点与方程的根1.2017全国卷,12,5分已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12 B.13 C.12 D.12.2017山东,10,5分理已知当x0,1时,函数y=(mx-1)2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,123,+) B.(0,13,+)C.(0,223,+) D.(0,23,+)3.2016天津,8,5分理已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()A.(
2、0,23 B.23,34C.13,2334D.13,23)344.2014北京,6,5分已知函数f(x)=6x-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)5.2015安徽,15,5分理设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是.(写出所有正确条件的编号)a=-3,b=-3;a=-3,b=2;a=-3,b2;a=0,b=2;a=1,b=2.6.2015湖南,15,5分理已知函数f(x)=x3,xa,x2,xa.若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.7.2
3、015湖北,12,5分理函数f(x)=4cos2x2cos(2-x)-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.8.2014江苏,13,5分理已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x0,3)时,f(x)=|x2-2x+12|.若函数y=f(x)-a在区间-3,4上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.A组基础题1.2018豫西南部分示范性高中高三上学期联考,7函数f(x)=ln x-2x2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.2018河南省漯河市高级中学三模,7若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定
4、是下列哪个函数的零点()A.y=f(-x)ex-1B.y=f(-x)e-x+1C.y=exf(x)-1D.y=exf(x)+13.2018西安八校联考,12已知函数f(x)=ln x-ax2,若f(x)恰有两个不同的零点,则a的取值范围为()A.(12e,+)B.12e,+)C.(0,12e) D.(0,12e4.2017吉林省部分学校高考仿真考试,11已知函数f(x)=-2x2+1,函数g(x)=log2(x+1),x0,2x,x0,则函数y=|f(x)|-g(x)的零点的个数为()A.3 B.4 C.5 D.65.2017湖南省长沙市高三一模,12对于满足00,x3+3x2-a,x0恰有3
5、个零点,则a的取值范围为.组提升题7.2018豫北豫南名校精英联赛,7已知函数f(x)=|lgx|,x0,2|x|,x0,若关于x的方程f 2(x)-af(x)+1=0有且只有3个不同的根,则实数a的值为()A.-2 B.1 C.2 D.38.2018福州四校联考,12已知函数f(x)=lnx,x1,1-x2,x0,当1a2时,关于x的方程ff(x)=a实数解的个数为()A.2 B.3 C.4 D.510.2017陕西省高三一检,12设x0为函数f(x)=sin x的零点,且满足|x0|+f(x0+12)33,则这样的零点有()A.61个B.63个C.65个D.67个11.2017成都市高三一
6、诊,11已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-x-1)=f(x-1),当x-1,0时,f(x)=-x3,则关于x的方程f(x)=|cos x|在-52,12上的所有实数解之和为()A.-7 B.-6 C.-3 D.-1答案.C由f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),得f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+ae2-x-1+e-(2-x)+1=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),所以f(2-x)=f(x),即x=1为函数f(x)图象的对称轴.由题意知f(x)有唯一零点,所以f(x)的零点只能为x=1,即f(1)=12-
7、21+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12.故选C.2.B当0m1时,需满足1+m(m-1)2,解得0m3,故这时01时,需满足(m-1)21+m,解得m3或m0,故这时m3.综上可知,正实数m的取值范围为(0,13,+).3.C当x0时,f(x)单调递减,必须满足-4a-320,故0a34,此时函数f(x)在0,+)上单调递减,若f(x)在R上单调递减,还需3a1,解得a13,所以13a34.结合函数图象(图略)知,当x0时,函数y=|f(x)|的图象和直线y=2-x有且只有一个公共点,即当x0时,方程|f(x)|=2-x只有一个实数解.因此,只需当x0时,方程|f(x)|=2-x恰
8、有一个实数解.根据已知条件可得,当x0,即只需方程f(x)=2-x恰有一个实数解,即x2+(4a-3)x+3a=2-x,即x2+2(2a-1)x+3a-2=0在(-,0)上恰有唯一的实数解,=4(2a-1)2-4(3a-2)=4(4a2-7a+3)=4(a-1)(4a-3),因为13a34,所以0.当3a-20,即a0,即23a34时,因为-(2a-1)0,f(2)=3-log22=20,f(4)=32-log24=-120,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4),故选C.5.令f(x)=x3+ax+b,则f (x)=3x2+a.对于,由a=b=-3,得f(x)=x3-3x-3,f (x)
9、=3(x+1)(x-1),f(x)极大值=f(-1)=-10,f(x)极小值=f(1)=-50,f(x)极小值=f(1)=0,函数f(x)的图象与x轴有两个交点,故x3+ax+b=0有两个实根;对于,由a=-3,b2,得f(x)=x3-3x+b,f (x)=3(x+1)(x-1),f(x)极大值=f(-1)=2+b0,f(x)极小值=f(1)=b-20,函数f(x)的图象与x轴只有一个交点,故x3+ax+b=0仅有一个实根;对于,由a=0,b=2,得f(x)=x3+2,f (x)=3x20,f(x)在R上单调递增,函数f(x)的图象与x轴只有一个交点,故x3+ax+b=0仅有一个实根;对于,由
10、a=1,b=2,得f(x)=x3+x+2,f (x)=3x2+10,f(x)在R上单调递增,函数f(x)的图象与x轴只有一个交点,故x3+ax+b=0仅有一个实根.6.(-,0)(1,+)令(x)=x3(xa),h(x)=x2(xa),函数g(x)=f(x)-b有两个零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=b有两个交点,结合图象(图略)可得ah(a),即aa2,解得a1,故a(-,0)(1,+).7.2因为f(x)=4cos2x2cos(2-x)-2sin x-|ln(x+1)|=2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|,所以函数f(x
11、)的零点个数为函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|图象的交点的个数.函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|的图象如图所示,由图知,两函数图象有2个交点,所以函数f(x)有2个零点.8.(0,12)函数y=f(x)-a在区间-3,4上有互不相同的10个零点,即函数y=f(x),x-3,4与y=a的图象有10个不同的交点.在平面直角坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图所示,可知当0a12时满足题意. 组基础题1.B由题意知函数f(x)是增函数,因为f(1)0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).故选B.2.C f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).x0是y=f
12、(x)+ex的一个零点,f(x0)+ex0=0,f(x0)=-ex0,把-x0分别代入四个选项,A中,y=f(x0)e-x0-1=-ex0e-x0-1=-1-1=-2,排除A;B中,y=f(x0)ex0+1=-(ex0)2+10,排除B;C中,y=e-x0f(-x0)-1=-e-x0f(x0)-1=e-x0ex0-1=1-1=0,C正确;D中,y=e-x0f(-x0)+1=1+1=2,排除D.选C.3.C函数f(x)的定义域为(0,+),f (x)=1x-2ax=1-2ax2x.当a0时,f (x)0恒成立,函数f(x)在(0,+)上单调递增,则函数f(x)不存在两个不同的零点.当a0时,由f
13、 (x)=0,得x=12a,当0x0,函数f(x)单调递增,当x12a时,f (x)0,即ln 2a-1,所以02a1e,即0a0,于是ca+b-b24aa=1+ba-14(ba)2,对满足0b3a的任意实数a,b恒成立.令t=ba,因为0b3a,所以02.故选D.6.(-1,0)1,4)设g(x)=x3-3x+1,x0,x3+3x2,x0,作出函数g(x)的图象,如图D 2-7-7所示,g(x)的极大值为g(-2)=4,极小值为g(1)=-1,g(0)=0,当x=0时,x3-3x+1=03-30+1=1.函数f(x)恰有3个零点,即函数g(x)与y=a有3个交点,a(-1,0)1,4).组提
14、升题7.C作出函数f(x)=|lgx|,x0,2|x|,x0的图象(图略),令f(x)=t,关于x的方程f 2(x)-af(x)+1=0等价于t2-at+1=0,因为t1t2=1,所以t1,t2同号,只有t1,t2同正时,方程才有根,假设t1t2,则0t11,此时关于x的方程f 2(x)-af(x)+1=0有5个不同的根,只有t1=t2=1,关于x的方程f 2(x)-af(x)+1=0有且只有3个不同的根,此时a=2,故选C.8.D因为函数f(x)=lnx,x1,1-x2,x1,所以F(x)=ln(lnx+1)+m,x1,ln(2-x2)+m,x1,由F(x)=0得,x1=ee-m-1,x2=
15、4-2e-m,其中m32,所以x1x2=2et-1(2-t),设g(t)=2et-1(2-t),则g(t)=2et-1(1-t),因为t32,所以g(t)=2et-1(1-t)0,即函数g(t)=2et-1(2-t)在区间(32,+)上是减函数,所以g(t)g(32)=e,故选D.9.C1a2,令u=f(x),则f(u)=a,由f(x)的图象(如图)可知,若u0,解得1e2u1e1或2eue2,显然,当x0,1e2u1e0,2eue2时,f(x)=u也有2个解.因此ff(x)=a有4个实数解.故选C.10.C依题意得sin x0=0,所以x0=k(kZ),即x0=k,f(x0+12)=sin(
16、x0+12)=sin(x0+2)=cos x0=cos k,所以|x0|+f(x0+12)33,即|k|33-cos k,当k为偶数时,|k|32,则零点有31个;当k为奇数时,|k|34,则零点有34个.所以共有31+34=65个零点,故选C.11.A因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x-1)=f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为2,又当x-1,0时,f(x)=-x3,由此在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|cos x|的图象,如图所示.由图知关于x的方程f(x)=|cos x|在-52,12上的实数解有7个.不妨设x1x2x3x4x5x6x7,则由图得x1+x2=-4,x3+x5=-2,x4=-1,x6+x7=0,所以方程f(x)=|cos x|在-52,12上的所有实数解的和为-4-2-1+0=-7,故选A.