江苏地区南京市2010届高三学情分析试题(数学).doc

_* 江苏省南京市2010届高三学情分析试题 数 学 2009.9 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上． 1．设集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥－2}，则A∩B＝ ▲ ． 2．计算： ＝ ▲ ． 3．函数y＝ sin2x－ cos2x的最小正周期是 ▲ ． 4．为了解某校高中学生的视力情况，对该校学生按年级进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共被抽取25名，则高一年级应被抽取的学生数为 ▲ ． 5．如果lg m＋lg n＝0，那么m＋n的最小值是 ▲ ． 6．设a∈{－1，0，1，3}，b∈{－2，4}，则以（a，b）为坐标的点落在第四象限的概率为 ▲ ． 7．根据如图所示的算法流程图，输出的结果T为 ▲ ． 开始 I←2 T←1 I≤6 输出T 结束 T←TI I←I＋2 N Y （第7题图） （第8题图） 8．如图，某几何体的主视图、左视图、俯视图均为腰长为2cm的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为 ▲ cm3． 9．以椭圆C的短轴为直径的圆经过该椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为 ▲ ． 10．若等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝2a3，则 的值是 ▲ ． 11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝5，b＝7，cosC＝ ，则角A的大小为 ▲ ． 12．已知A（－3，0），B（0，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝60， ＝λ＋，则实数λ的值是 ▲ ． … … （第13题图） 13．把数列{}的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k行有2k－1个数，第k行的第s个数（从左数起）记为(k，s)，则 可记为 ▲ ． 1 4 O y xy （第14题图） 14．函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式 ＜0的解集为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答卷纸相应位置上． 15．（本题满分14分） 已知sinx＝ ，x∈(，π)，求cos2x和tan(x＋)值． 16．（本题满分14分） P E C B A D O 如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且E、O分别为PC、BD的中点． 求证：（1）EO∥平面PAD； （2）平面PDC⊥平面PAD． 17．（本题满分14分） 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式P＝ ，Q＝ t．今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）． 求：（1）y关于x的函数表达式； （2）总利润的最大值． 18．（本题满分16分） 已知直线l1：3x＋4y－5＝0，圆O：x2＋y2＝4． （1）求直线l1被圆O所截得的弦长； （2）如果过点（－1，2）的直线l2与l1垂直，l2与圆心在直线x－2y＝0上的圆M相切，圆M 被直线l1分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，求圆M的方程． 19．（本题满分16分） 已知：在数列{an}中，a1＝ ，an+1＝ an＋． （1）令bn＝4n an，求证：数列{bn}是等差数列； （2）若Sn为数列{an}的前n项的和，Sn＋λnan≥ 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的最小值． 20．（本题满分16分） 设函数f(x)＝ x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R． （1）当m＝3时，求曲线y＝f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程； （2）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β．若对任意的x∈[α，β]， 都有f(x)≥f(1) 恒成立，求实数m的取值范围． 江苏省南京市2010届高三学情分析试题 数学答卷纸 2009.9 题号 总分 核分人 复核人 1－14 15 16 17 18 19 20 得分 得分 评卷人 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在下列横线上） 1． 　 2． 3． 　 4． 5． 　 6． 7． 　 8．_____________________________ 9．____________________________　 10．_____________________________ 11．___________________________ 12．_____________________________ 13．____________________________ 14．_____________________________ 二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 15．（本题满分14分）  P E C B A D O 得分 评卷人 16．（本题满分14分）  得分 评卷人 17．(本题满分14分)  得分 评卷人 18．（本题满分16分）  得分 评卷人 19．(本题满分16分) 得分 评卷人 20．(本题满分16分) 江苏省南京市2010届高三学情分析试题 参考解答及评分标准 说明： 1．本解答给出的解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．{x|－2≤x≤1} 2．1＋i 3．π 4．40 5．2 6． 7．48 8． 9． 10．6 11． 12． 13．（10，494） 14．（－，－1）∪（1，） 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解：cos2x＝1－2sin2x＝1－2()2＝． ……………………………………………………6分 因为sinx＝，x∈(，π)，所以cosx＝－＝－ ． ……………………………8分 则tanx＝＝－ ． …………………………………………………………………………10分 所以tan(x＋)＝＝ ． ………………………………………………………………14分 16．（1）证法一：连接AC． 因为四边形ABCD为矩形，所以AC过点O，且O为AC的中点． 又因为点E为PC的中点，所以EO//PA．…………………………………………………………4分 因为PA平面PAD，EO平面PAD，所以EO∥面PAD．……………………………………7分 证法二：取DC中点F，连接EF、OF． 因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EF//PD，OF//BC． 在矩形ABCD中，AD//BC，所以OF//AD． 因为OF平面PAD，AD平面PAD，所以OF//平面PAD． 同理，EF//平面PAD． 因为OF∩EF＝F，OF、EF平面EOF， 所以平面EOF//平面PAD． …………………………………………………………………………4分 因为EO平面OEF，所以EO∥平面PAD．……………………………………………………7分 证法三：分别取PD、AD中点M、N，连接EM、ON、MN． 因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EMCD，ONAB． 在矩形ABCD中，ABCD，所以EMON． 所以四边形EMNO是平行四边形．所以EO//MN．………………………………………………4分 因为MN平面PAD，EO平面PAD，所以EO∥面PAD． …………………………………7分 （2）证法一：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．…………………………………………9分 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD．………………………………………………………………………………12分 又因为CD平面PDC， 所以平面PDC⊥平面PAD． ………………………………………………………………………14分 证法二：在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F． 因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD． 因为CD平面ABCD，所以PF⊥CD． ………………………………………………………9分 因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．……………………………………………………11分 因为PF∩AD＝F，所以CD⊥平面PAD．………………………………………………………12分 又因为CD平面PDC， 所以平面PDC⊥平面PAD．………………………………………………………………………14分 17．解：（1）根据题意，得y＝＋(5－x)， ……………………………………………………6分 x∈［0，5］． ………………………………………………………………………………7分 （注：定义域写成（0，5）不扣分） （2）令t＝，t∈［0，］，则x＝， y＝－＋t＋＝－(t－2)2＋．……………………………………………………………10分 因为2∈［0，］，所以当＝2时，即x＝时，y最大值＝．……………………………13分 答：总利润的最大值是亿元． …………………………………………………………………14分 18．（1）解法一：圆心O到直线l1的距离d＝＝1，………………………………1分 圆O的半径r＝2，……………………………………………………………………………………2分 所以半弦长为＝． ………………………………………………………………………4分 故直线l1被圆O所截得的弦长为2．……………………………………………………………5分 解法二：解方程组得或 ………………………2分 直线l1与圆O的交点是（，），（，）． 故直线l1被圆O所截得的弦长＝2． ………………………………………………………………………………………………………5分 （2）因为过点（－1，2）的直线l2与l1垂直，直线l1的方程为3x＋4y－5＝0， 所以直线l2的方程为：4x－3y＋10＝0． ………………………………………………………7分 设圆心M的坐标为（a，b），圆M的半径为R，则a－2b＝0． ① 因为圆M与直线l2相切，并且圆M被直线l1分成两段圆弧，其弧长比为2∶1， 所以＝R，＝R． 所以＝2．……………………………………………………………9分 可得4a－3b＋10＝2(3a＋4b－5)或4a－3b＋10＝－2(3a＋4b－5)． 即2a＋11b－20＝0，② 或2a＋b＝0．③ 由①、②联立，可解得a＝，b＝． 所以R＝．故所求圆M的方程为(x－)2＋(y－)2＝．……………………………………12分 由①、③联立，可解得a＝0，b＝0． 所以R＝2．故所求圆M的方程为x2＋y2＝4．…………………………………………………15分 综上，所求圆M的方程为：(x－)2＋(y－)2＝或x2＋y2＝4． …………………………16分 19．解：（1）由an+1＝an＋， 得 4n+1 an+1＝4nan＋2． ……………………………………………………………………………2分 所以bn+1＝bn＋2， 即bn+1－bn＝2．………………………………………………………………………………………4分 故数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．…………………………………………………5分 （2）因为数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，所以bn＝1＋2（n－1）＝2n－1． 因为bn＝4n an，所以 an＝． …………………………………………………………………7分 则Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ． 又Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ． 所以Sn＝＋2（ ＋ ＋ ＋…＋ ）－ ………………………………………9分 ＝＋2 －． 所以Sn＝ － － ． ………………………………………………………11分 因为Sn＋λnan≥对任意n∈N*恒成立， 所以 － －＋λ≥对任意n∈N*恒成立． 即λ≥＋对任意n∈N*恒成立．……………………………………………12分 因为n≥1，2n－1≥1，所以≤，当且仅当n＝1时取等号． 又因为 ≤ ，当且仅当n＝1时取等号． 所以＋≤ ，当且仅当n＝1时取等号．…………………………………15分 所以λ≥，所以λ的最小值为．………………………………………………………………16分 20．解：(1)当m＝3时，f(x)＝ x3－3x2＋5x，f ′ (x)＝x2－6x＋5．……………………………………1分 因为f(2)＝ ，f ′ (2)＝－3，所以切点坐标为（2，）， …………………………………………2分 切线的斜率为－3． …………………………………………………………………………………3分 则所求的切线方程为y－ ＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0．……………………………………4分 （2）解法一：f ′ (x)＝x2－2mx＋(m2－4)，令f ′ (x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2． ………………6分 当x∈（－∞，m－2）时，f ′ (x)＞0，f(x)在（－∞，m－2）上是增函数； 当x∈（m－2，m＋2）时，f ′ (x)＜0，f(x)在（m－2，m＋2）上是减函数； 当x∈（m＋2，＋∞）时，f ′ (x)＞0，f(x)在（m＋2，＋∞）上是增函数．……………………9分 因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且f(x)＝x[x2－3mx＋3(m2－4)]， 所以解得m∈(－4，－2)∪(－2，2)∪(2，4)． 当m∈(－4，－2)时，m－2＜m＋2＜0，所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0． 此时f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，与题意不合，故舍去； 当m∈(－2，2)时，m－2＜0＜m＋2，所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β． 因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β． 所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值． 因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以m＋2＝1，即m＝－1； 当m∈(2，4)时，0＜m－2＜m＋2，所以0<α＜m－2＜m＋2＜β． 因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β． 所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值． 因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以m＋2＝1，即m＝－1 (舍去)．……15分 综上可知，m的取值范围是{－1}．………………………………………………………………16分 解法二：f ′ (x)＝x2－2mx＋(m2－4)，令f ′ (x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2．……………………6分 所以，当x∈（－∞，m－2）时，f ′ (x)＞0，f(x)在（－∞，m－2）上是增函数； 当x∈(m－2，m＋2)时，f ′ (x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是减函数； 当x∈（m＋2，＋∞）时，f ′ (x)＞0，f(x)在（m＋2，＋∞）上是增函数．……………………9分 当α＜β＜0时，必有α＜m－2＜β＜m＋2＜0，则当x∈[α，β]时，f(x)的最小值是f(α)＝0． 此时f(1)＞f(0)＝0＝f(α)，与题意不合，故舍去； 当α＜0＜β时，则有α＜m－2＜0＜m＋2＜β，此时3(m2－4)＜0，即－2＜m＜2． 因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β． 所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值． 又函数f(x)在[α，β]上的最小值就是极小值，所以f′(1)＝0，得m＝3（舍去）或m＝－1； 当0＜α＜β时，则有0＜α＜m－2＜m＋2＜β，此时 解得m∈(2，4)． 因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β． 所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值． 又函数f(x)在[α，β]上的最小值就是极小值，所以f ′(1)＝0，得m＝3或m＝－1（舍去）． 又因为当m＝3时，f(1)为极大值，与题意不合，故舍去．……………………………………15分 综上可知，m的取值范围是{－1}．………………………………………………………………16分 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com