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2018届湖北省八校高三第一次联考
数学试题（理）
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 复数的共轭复数为（ ）
A．－ B． C． D．
3. 将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5. 已知命题， 且，命题，.下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
6. 将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为（ ）
7. 下列说法错误的是（ ）
A．“函数的奇函数”是“”的充分不必要条件.
B．已知不共线，若则是△的重心.
C．命题“，”的否定是：“，”.
D．命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”.
8. 已知等比数列的前项和为，已知，则（ ）
A．－510 B．400 C． 400或－510 D．30或40
9. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶，算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知，下列程序框图设计的是求的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）
A．
B．
C．
D．
10. 已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
11. 已知△中，为角的对边，，则△的形状为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D . 无法确定
12. 我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误命题的个数是（ ）
对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；
如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；
圆的一个太极函数为；
圆的太极函数均是中心对称图形；
奇函数都是太极函数；
偶函数不可能是太极函数.
A. 2 B. 3 C.4 D.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知平面向量且，则 .
14.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .
15.已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为 .
16.是上可导的奇函数，是的导函数.已知时，不等式的解集为，则在上的零点的个数为 .
三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（12分）已知向量.
（1）求的最大值及取最大值时的取值集合；
（2）在△中，是角的对边若且，求△的周长的取值范围.
18.（12分）已知数列满足.
（1）求证：是等比数列；
（2）求的通项公式.
19.（12分）四棱锥中，∥，，，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成角的余弦值.
20.（12分）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为元时，生产件产品的销售收入是（元），为每天生产件产品的平均利润（平均利润＝）.销售商从工厂每件元进货后又以每件元销售， ，其中为最高限价，为销售乐观系数，据市场调查，是由当是，的比例中项时来确定.
（1）每天生产量为多少时，平均利润取得最大值？并求的最大值；
（2）求乐观系数的值；
（3）若，当厂家平均利润最大时，求的值.
21.（12分）已知函数是的一个极值点.
（1）若是的唯一极值点，求实数的取值范围；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在正数，使得，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一个题目计分。
22.（10分）已知曲线的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）.
（1）将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程；
（2）若与相交于两点，求.
23.（10分）已知.
（1）求在上的最大值及最小值.
（2），设，求的最小值.
2018届高三第一次联考
数学参考答案（理）
一、选择题
C A B C A—— D A B C D—— B C
二、填空题
13. 14. 15. 16. 2
三、解答题
17.（1），
的最大值为 ………………4分
此时 即
………………6分
（2）
, ………………7分
由得
………………10分
又 ………………11分
故，即周长的范围为. ………………12分
18.（1）由得
是等比数列. ………………6分
（2）由（1）可得
是首项为，公差为的等差数列
. ………………12分
19.（1）为的中点，
设为的中点，连接则
又
从而
面
面 面
面面………………6分
（2）设为的中点,连接,则平行且等于
∥ ∥
不难得出面（ ）
面面
在面射影为，的大小为与面改成角的大小
设，则
即与改成角的余弦值为.（亦可以建系完成） ………………12分
20.依题意总利润＝
＝
此时
即，每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元 ………………6分
（2）由得
是的比例中项
两边除以得
解得. ………………8分
（3）厂家平均利润最大，元
每件产品的毛利为
元
（元），元. ………………12分
21.（1）， 是极值点
，故，
是唯一的极值点
恒成立或恒成立
由恒成立得，又
由恒成立得，而不存在最小值， 不可能恒成立. ………………4分
（2）由（1）知，当时， ， ； ， .
在递减，在上递增.
当时，
，； ， ； ， .
在、上递增，在上递减。
当时，在、 上递增，在递减。
时，在上递增. ………………8分
（3）当时，，满足题意；
当时， ，满足题意；
当时，由（2）知需或，
当时，，而，故存在使得，这样时的值域为从而可知满足题意
当时，得或者解得；
当时，可得满足题意.
的取值范围或. ………………12分
22.（1）曲线的直角坐标系的普通方程为
曲线的直角坐标系的普通方程为 ………………5分
（2）将的参数方程代入的方程得
得：
解得
. ………………10分
23.（1）
时， ………………5分
（2）
的最小值为. ………………10分
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