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1、习题课复数明目标、知重点1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义.1.复数的四则运算，若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R)(1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(2)减法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(3)乘法：z1z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i；(4)除法：i(z20)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1i)22i；若i，则31,120.2.共轭复数与复数的模(1)若zabi，则abi，z为实数，
2、z为纯虚数(b0).(2)复数zabi的模，|z|，且z|z|2a2b2.3.复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数z1z2是连接向量、的终点，并指向Z1的向量所对应的复数.题型一复数的四则运算例1(1)计算：2 012；(2)已知z1i，求的模.解(1)原式1 006i(i)1 00601i.(2)1i，的模为.反思与感悟复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(abi)(cdi)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化.跟踪训练1(1)已知2i，则
3、复数z等于()A.13i B.13iC.3i D.3i答案B解析方法一2i，(1i)(2i)23i113i，z13i.方法二设zabi(a，bR)，abi，2i，z13i.(2)i为虚数单位，则2 011等于()A.i B.1C.i D.1答案A解析因为i，所以2 011i2 011i45023i3i，故选A.题型二复数的几何意义例2已知点集Dz|z1i|1，zC，试求|z|的最小值和最大值.解点集D的图象为以点C(1，)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|z|.由图知，当OP过圆心C(1，)时，与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|OC|11211，即|z|min1；
4、|z|的最大值是|OB|OC|1213，即|z|max3.反思与感悟复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离.跟踪训练2已知复数z1，z2满足|z1|3，|z2|5，|z1z2|，求|z1z2|的值.解如图所示，设z1，z2对应点分别为A，B，以，为邻边作OACB，则对应的复数为z1z2.这里|3，|5，|.cos AOB.cos OBC.又|3，|z1z2|.题型三两个复数相等例3设复数z和它的共轭复数满足4z23i，求复数z.解设zabi(a，bR).因为4z23i，所以
5、2z(2z2)3i.2z22(abi)2(abi)4a，整体代入上式，得2z4a3i.所以z.根据复数相等的充要条件，得解得所以z.反思与感悟两个复数相等是解决复数问题的重要工具.“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题.跟踪训练3是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z等于()A.1i B.1iC.1i D.1i答案D解析方法一设zabi，a，b为实数，则abi.z2a2，a1.又(z)i2bi22b2，b1.故z1i.方法二(z)i2，z2i.又z2，(z)(z)2i2，2z2i2，z1i.1.以12i的虚部为实部，以3i
6、2的实部为虚部的新复数是()A.22i B.2i C.3i D.23i答案A2.若x2yi和3xi互为共轭复数，则实数x与y的值是()A.x3，y3 B.x5，y1C.x1，y1 D.x1，y1答案D解析x23x，y(1)，即x1，y1.3.设复数z满足(1i)z2，其中i为虚数单位，则z等于()A.1i B.1i C.22i D.22i答案B解析z1i，故选B.4.已知bi(a，bR)，其中i为虚数单位，则ab等于()A.1 B.1 C.2 D.3答案B解析bi，a2ibi1.a1，b2，ab1.呈重点、现规律1.复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2.复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3.利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.