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1、2函数与导数1【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是A. B. C. D. 【答案】D点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复2【2018年天津卷文】已知，则的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，即，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于
2、指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确3【2018年新课标I卷文】设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定
3、出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.4【2018年新课标I卷文】设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D. 【答案】D点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5【2018年全国卷文】函数的图像大致为A. A B. B C. C D. D【答案】D【解析】分析：由特殊值排除即可详解：当时，排除A,
4、B.,当时，,排除C故正确答案选D.点睛：本题考查函数的图像，考查了特殊值排除法，导数与函数图像的关系，属于中档题。6【2018年全国卷文】下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是A. B. C. D. 【答案】B点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题。7【2018年浙江卷】已知R，函数f(x)=，当=2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】 (1,4) 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，
5、不等式f(x)88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点【答案】（）见解析 （）见解析【解析】分析: （）先求导数，根据条件解得x1，x2关系，再化简f(x1)+f(x2)为，利用基本不等式求得取值范围，最后根据函数单调性证明不等式，（）一方面利用零点存在定理证明函数有零点，另一方面，利用导数证明函数在上单调递减，即至多一个零点.两者综合即得结论.，所以x（0，16）16（16，+）-0+2-4ln2所以g（x）在256，+）上单调递增，故，即（）令m=，n=，则f（m）kma|a|+kka0，f（n）kna0，直线y=kx+a与曲线y=
6、f（x）有唯一公共点点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.19【2018年文北京卷】设函数.（）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（）若在处取得极小值，求a的取值范围.【答案】（） （）解：（）因为，所以.，由题设知，即，解得.（）方法一：由（）得.若a1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围
7、是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：x1+0极大值在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a0时，令得.当，即a=1时，在上单调递增，无极值，不合题意.当，即0a1时，随x的变化情况如下表：x+00+极大值极小值在x=1处取得极小值，即a1满足题意.（3）当a0时，令得.随x的变化情况如下表：x0+0极小值极大值在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；利用导数求函数的极值最值问题；关于不
8、等式的恒成立问题.解题时需要注意的有以下两个方面：在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.20【2018年新课标I卷文】已知函数（1）设是的极值点求，并求的单调区间；（2）证明：当时，【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增(2)证明见解析. (2)结合指数函数的值域，可以确定当a时，f（x），之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：
9、（1）f（x）的定义域为，f （x）=aex由题设知，f （2）=0，所以a=从而f（x）=，f （x）=当0x2时，f （x）2时，f （x）0所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增（2）当a时，f（x）设g（x）=，则 当0x1时，g（x）1时，g（x）0所以x=1是g（x）的最小值点故当x0时，g（x）g（1）=0因此，当时，点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的
10、单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.21【2018年江苏卷】记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f（x）=1，g（x）=2x+2由f（x）=g（x）且f（x）= g（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与
11、g（x）不存在“S”点（2）函数，则设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f（x0）与g（x0），得，即，（*）得，即，则当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点因此，a的值为此时，满足方程组（*），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值
12、，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.22【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上设OC与MN所成的角为（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sincos+cos）平方米，CDP的面积为
13、1600（cossincos），sin的取值范围是，1）（2）当=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PHMN，所以OH=10过O作OEBC于E，则OEMN，所以COE=，故OE=40cos，EC=40sin，则矩形ABCD的面积为240cos（40sin+10）=800（4sincos+cos），CDP的面积为240cos（4040sin）=1600（cossincos）过N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10令GOK=0，则sin0=，0（0，）当0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sin的取值范围是，1）答
14、：矩形ABCD的面积为800（4sincos+cos）平方米，CDP的面积为1600（cossincos），sin的取值范围是，1）（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k0），则年总产值为4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=8000k（sincos+cos），0，）设f（）= sincos+cos，0，），则令，得=，当（0，）时，所以f（）为增函数；当（，）时，所以f（）为减函数，因此，当=时，f（）取到最大值答：当=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大点睛：解决实际应用题的步骤一
15、般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.23【2018年全国卷文】已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析（2）当时，令，则当时，单调递减；当时，单调递增；所以 因此点睛：本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当时，,令，将问题转化为证明很关键，本题难度较大。24【2018年全国卷II文】已知函数 （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点【答案】（1）f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）f（x）只有一个零点详解：（1）当a=3时，f（x）=，f
16、（x）=令f （x）=0解得x=或x=当x（，）（，+）时，f （x）0；当x（，）时，f （x）0故f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）由于，所以等价于设=，则g （x）=0，仅当x=0时g （x）=0，所以g（x）在（，+）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点又f（3a1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点综上，f（x）只有一个零点点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：确定函数的定义域；求导数；由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键
17、在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.优质模拟试题25【福建省厦门市2018届二模文】设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.26【福建省厦门市2018届二模文】设函数若恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【来源】【全国市级联考】福建省厦门市201
18、8届高中毕业班第二次质量检查数学（文）试题【答案】A【解析】分析：函数恒成立等价于是的最小值，根据分段函数的性质列不等式可得结果.点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的值域，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.27【河北省衡水中学2018年押题(二）文】1函数在区间的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当 时，当时，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，排除D；因为，所以函数为非奇
19、非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.28【陕西省咸阳市2018年5月文】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），则（ ）A. B. C. D. 【答案】D点睛: 本题需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.29【安徽亳州市涡阳一中2018届最后一卷文】已知函数在处取得极值.（1）求的值，并讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
20、【答案】（1）上单调递增，在单调递减；（2）【解析】分析：（1）由，可得，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）依题意，当时，恒成立，等价于，令，只需即可，利用导数研究函数的单调性，可得，从而可得结果.点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.本题是利用方法 求得 的最大值.30【陕西省咸阳市2018年5月文】已知函数（）当时，求函数在点处的切线方程；（）当时，求证：对任意的恒成立.【答案】（1）（2）见解析
21、【解析】分析: （）当a=2时，写出f（x）的表达式，对f（x）进行求导，求出x=1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；（）由题意可知，对任意的x1，+），使f（x）0成立，只需任意的x1，+），f（x）min0，从而求出a的取值范围。详解: （）由得，切点为，斜率为，所求切线方程为：，即；，可知在上递增，于是有，综上，当时，对任意的恒成立点睛: 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.