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1、课时作业16反证法|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于60”时，反设正确的是()A假设三个内角都小于60B假设三个内角都大于60C假设三个内角至多有一个大于60D假设三个内角至多有两个大于60解析：“至少有一个”的反设词是“一个也没有”故选A.答案：A2否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数解析：恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数，故选D.答案：D3
2、下列四个命题中错误的是()A在ABC中，若A90，则B一定是锐角B.， ， 不可能成等差数列C在ABC中，若abc，则C60D若n为整数且n2为偶数，则n是偶数解析：显然A、B、D命题均真，C项中若abc，则ABC，若C60，则A60，B60，ABC180与ABC180矛盾故选C.答案：C4设x0，则方程x2sinx的根的情况是()A有实根B无实根C恰有一实根 D无法确定解析：x0时，x2，而2sinx2，但此二式中“”不可能同时取得，x2sinx无实根答案：B5设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数()A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2解析：若
3、a，b，c都小于2，则abc180，这与三角形内角和为180相矛盾，AB90不成立所以一个三角形中不能有两个直角假设A、B、C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的排列为_解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，不成等差数列证明：假设，成等差数列，则2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，()20.即，从而abc，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，不成等差数列10求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直解析：已知：平面和一点P.求证
4、：过点P与垂直的直线只有一条证明如下：如图所示，不论点P在内还是在外，设PA，垂足为A(或P)假设过点P还有另一条直线PB，设PA，PB确定的平面为，且a，于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，假设不成立，原命题成立|能力提升|(20分钟，40分)11有以下结论：已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2.故的假设是错误的，而的假设是正确的，故选D.答案：D12完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是由数字1,2，7任意排成的一个数列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明
5、：假设p为奇数，则_均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.但奇数偶数，这一矛盾说明p为偶数解析：由假设p为奇数可知a11，a22，a77均为奇数，故(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0为奇数，这与0为偶数矛盾答案：a11，a22，a77(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)13已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明：假设a，b，c，d都是非负数，因为abcd1，所以(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，所以acbd1，这与已知acbd1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数14若a，b，c均为实数且ax22y，by22z，cz22x.求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明：假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，则有abc0.而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)23，因为(x1)2，(y1)2，(z1)2均大于或等于0，且30，所以abc0，这与假设abc0矛盾，故假设不成立所以a，b，c中至少有一个大于0.