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1、A级1在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，点D在棱BB1上，若BD3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为()A. BC. D解析：如图，可得()421252cos (为与的夹角)，所以cos ，sin ，tan ，又因为BE平面AA1C1C，所以所求角的正切值为.答案：D2如图，在矩形ABCD中，AB2，AD3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将ABE，DCE翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角EBCF的余弦值为()A. BC. D解析：如图所示，取BC的中点P，连接EP，FP，由题意得BFCF2，PFBC，又EBEC，EPBC，EPF为二面角EBCF的平面角，而FP，在EPF
2、中，cosEPF.答案：B3在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，1,6)，C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为_解析：由题意得(6，2，3)，(x4,3，6)，(6，2，3)(x4,3，6)6(x4)6180，解之得x2.答案：24(2017全国卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确
3、的是_(填写所有正确结论的编号)解析：依题意建立如图所示的空间直角坐标系设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆设直线a的方向向量为a(0,1,0)，直线b的方向向量为b(1,0,0)，以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为，0,2)，则B(cos ，sin ，0)，(cos ，sin ，1)，|.设直线AB与a所成夹角为，则cos |sin |，4590，正确，错误设直线AB与b所成夹角为，则cos |cos |.当直线AB与a的夹角为60，即60时，则|sin |cos cos 60，|cos |.cos |cos |.090，
4、60，即直线AB与b的夹角为60.正确错误答案：5(2017惠州市第三次调研考试)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA2，侧面积为8，AOP120.(1)求证：AGBD；(2)求二面角PAGB的平面角的余弦值解析：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，由题意可知822AD，解得AD2.则A(0,0,0)，B(0,4,0)，D(0,0,2)，P(，3,0)，G是DP的中点，可求得G.(1)证明：(0，4,2)，.(0，4,2)0，AGBD.(2)(，1,0)，0，0，是平面APG的法向量设n(x，y,1)是平面ABG的法向
5、量，由n0，n0，解得n(2,0,1)，cos，n.二面角PAGB的平面角的余弦值为.6(2017太原市模拟试题)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且DF2BE2，EF3.(1)证明：平面ACF平面BEFD；(2)若二面角AEFC是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值解析：(1)证明：四边形ABCD是菱形，ACBD.BE平面ABCD，BEAC，BDBEB，AC平面BEFD，AC平面ACF，平面ACF平面BEFD.(2)设AC与BD的交点为O，由(1)得ACBD，分别以OA，OB为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如
6、图所示的空间直角坐标系Oxyz，BE平面ABCD，BEBD，DFBE，DFBD，BD2EF2(DFBE)28，BD2.设OAa(a0)，则A(a,0,0)，C(a,0,0)，E(0，1)，F(0，2)，(0，2，1)，(a，1)，(a，1)设m(x1，y1，z1)是平面AEF的法向量，则即，令z12，m是平面AEF的一个法向量，设n(x2，y2，z2)，是平面CEF的法向量，则即令z22，n是平面CEF的一个法向量，二面角AEFC是直二面角，mn90，a.BE平面ABCD，BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，AB2，tan BAE.故直线AE与平面ABCD所成角的正切值为.B级1(2017
7、安徽省两校阶段性测试)已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，BCAD，ABAD，且ABBC1，AD2，顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上，PAPD.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)若直线AC与PD所成角为60，求二面角APCD的余弦值解析：(1)证明：PH平面ABCD，AB平面ABCD，PHAB.ABAD，ADPHH，AD，PH平面PAD，AB平面PAD.又AB平面PAB，平面PAB平面PAD.(2)以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz，如图，PH平面ABCD，z轴PH.则A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设AHa，PHh(0a0)则P(0，a，h)(0
8、，a，h)，(0，a2，h)，(1,1,0)PAPD，a(a2)h20.AC与PD所成角为60，|cos(，)|，(a2)2h2，(a2)(a1)0，0a0，h1，P(0,1,1)(0,1,1)，(1,1,0)，(1,0，1)，(1，1,0)，设平面APC的法向量为n(x，y，z)，由，得平面APC的一个法向量为n(1，1,1)，设平面DPC的法向量为m(x，y，z)由得平面DPC的一个法向量为(1,1,1)cosm，n.二面角APCD的平面角为钝角，二面角APCD的余弦值为.2已知长方形ABCD中，AB1，AD.现将长方形沿对角线BD折起，使ACa，得到一个四面体ABCD，如图所示(1)试问
9、：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由；(2)当四面体ABCD的体积最大时，求二面角ACDB的余弦值解析：(1)若ABCD，因为ABAD，ADCDD，所以AB平面ACD，AC平面ACD，所以ABAC.即AB2a2BC2，即12a2()2，所以a1.若ADBC，因为ADAB，BCABB，所以AD平面ABC，所以ADAC.即AD2a2CD2，即()2a212，所以a21，无解故ADBC不成立(2)要使四面体ABCD的体积最大， 因为BCD的面积为定值，所以只需三棱锥ABCD的高最大即可，此时平面ABD平面BCD.过点A作AOBD于点O，则AO平面BCD，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，则易知A，C，D，显然，平面BCD的一个法向量为.设平面ACD的法向量为n(x，y，z)因为，则即令y，得n(1，2)故二面角ACDB的余弦值为|cos，n|.