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1、第八讲函数模型及其应用题组函数模型的实际应用1.2015北京,8,5分某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.A.6升 B.8升 C.10升 D.12升2.2014北京,8,5分 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图2-8-1记
2、录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()图2-8-1A.3.50分钟B.3.75分钟 C.4.00分钟D.4.25分钟3.2014湖南,8,5分理某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p+q2B.(p+1)(q+1)-12C.pqD.(p+1)(q+1)-14.2015四川,13,5分理某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该
3、食品在33 的保鲜时间是小时.5.2014福建,13,4分理要制作一个容积为4 m3 ,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元).A组基础题1.2017福建质检,5当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8 B.9 C.10 D.112.2018湖北省百校联考,16如图2-8-
4、2所示,多边形ABCEFGD由一个矩形ABCD和一个去掉一个角的正方形组成,AD=EF=4,CE=DG=3,现有距离为2且与边AB平行的两条直线l1,l2,截取该多边形所得图形(阴影部分)的面积记为S(t),其中t表示l1与AB间的距离,当3t4时,S(t)=.图2-8-23.2018湖北省部分重点中学第一次联考,19某科研小组研究发现:一棵水果树的产量w(单位:百千克)与肥料费用x(单位:百元)满足如下关系:(x)=12x2+1(0x2),4-31+x(2x5).此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供
5、不应求.记该棵水果树获得的利润为L(x)(单位:百元).(1)求L(x)的函数关系式;(2)当投入的肥料费用为多少时,该水果树获得的利润最大?最大利润是多少?4.2017江西九江七校联考,20某店销售进价为2元/件的产品A,假设该店产品A每日的销售量y(单位:千件)与销售价格x(单位:元/件)满足的关系式y=10x-2+4(x-6)2,其中2x0,b1)中选用一个效果好的函数进行模拟,如果4月份的销售量为1.37万部,则5月份的销售量为万部.6.2018湖北八校联考,20已知某工厂每天固定成本是4万元,每生产一件产品成本增加100元,工厂每件产品的出厂价定为a元时,生产x(x0)件产品的销售收
6、入是R(x)=-14x2+500x(元),P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润=总利润总产量).销售商从工厂以每件a元进货后,又以每件b元销售,且b=a+(c-a),其中c为最高限价(abc),为销售乐观系数,据市场调查,由当b-a是c-b,c-a的比例中项时来确定.(1)每天生产量x为多少时,平均利润P(x)取得最大值?并求P(x)的最大值;(2)求乐观系数的值;(3)若c=600,当厂家平均利润最大时,求a与b的值.7.2017淮安期末,19 如图2-8-3,GH是一条东西方向的公路,现准备在点B(点B在公路GH上)的正北方向的点A处建一仓库,设AB=y千米,并在公路旁边建造边长
7、为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在公路GH上).若从点A向公路和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且ABC=60. 图2-8-3(1)求y关于x的函数解析式;(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米,道路的造价为30万元/千米,问x取何值时,修建中转站和道路的总造价M最低?答案1.B因为第一次(即2015年5月1日)把油加满,而第二次(即2015年5月15日)把油加满加了48升,即汽车行驶35 600-35 000=600千米耗油48升,所以每100千米的耗油量为8升,故选B.2.B由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7
8、),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得0.7=9a+3b+c,0.8=16a+4b+c,0.5=25a+5b+c,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75分钟时,可食用率p最大.故选B.3.D设年平均增长率为x,原生产总值为a,则(1+p)(1+q)a=a(1+x)2,解得x=(1+p)(1+q)-1,故选D.4.24由题意得eb=192,e22k+b=48,即eb=192,e11k=12,所以该食品在33 的保鲜时间是y=e33k+b=(e11k)3eb=(12)3192=24(
9、小时).5.160元设该容器的总造价为y元,长方体的底面矩形的长为x m,因为无盖长方体的容积为4 m3,高为1 m,所以长方体的底面矩形的宽为4x m,依题意,得y=204+10(2x+24x)=80+20(x+4x)80+202x4x=160(当且仅当x=4x,即x=2时取等号),所以该容器的最低总造价为160元.A组基础题1.C设死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n(nN)个“半衰期”后碳14的含量为(12)n,由(12)n9.97.又nN,所以n10.所以若探测不到碳14的含量,至少需要经过10个“半衰期”.故选C.2.t2-4t+22+4易求得AB=2,当3t4时,所围成图形
10、由一个矩形(长为2,宽为4-t)与一个梯形(上底为2,下底为2t-4+2,高为t-2)组成,故S(t)=2(4-t)+12(2+2t-4+2)(t-2)=t2-4t+22+4.3.(1)L(x)=16w(x)-2x-x =8x2+16-3x(0x2),64-481+x-3x(2x5).(2)当0x2时,L(x)max=L(2)=42 .当2x5时,L(x)=67-48x+1+3(x+1)67-248x+13(x+1)=43,当且仅当48x+1=3(x+1),即x=3时等号成立.综上可知,当投入的肥料费用为300元时,种植该果树获得的利润最大,最大利润为4 300元. 4.(1)当x=4时,y=
11、104-2+4(4-6)2=21(千件).所以该店每日销售产品A所获得的利润是221=42(千元); (2)由题意知,该店每日销售产品A所获得的利润f(x)=(x-2)10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2x6),从而f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函数f(x)单调递增;在(103,6)上,f (x)0),P(x)=-14x2+400x-40 000x=-14x-40 000x+400-200+400=200,当且仅当14x=40 000x,即x=400时等号成立.故当每天生产量为400件时
12、,平均利润最大,最大值为200元.(2)由b=a+(c-a),得=b-ac-a.b-a是c-b,c-a的比例中项,(b-a)2=(c-b)(c-a),两边同时除以(b-a)2,得1=(c-a)-(b-a)b-ac-ab-a=(c-ab-a-1)c-ab-a,1=(1-1)1,解得=5-12或=-5-12(舍去).故乐观系数的值为5-12.(3)厂家平均利润最大,a=40 000x+100+P(x)=40 000400+100+200=400.由b=a+(c-a),结合(2)可得b-a=(c-a)=100(5-1),b=100(5+3).故a与b的值分别为400,100(5+3).7.(1)由题意易知x1,BC=2x.因为AB=y,所以AC=y-1.在ABC中,由余弦定理得(y-1)2=y2+4x2-2y2xcos 60,所以y=4x2-12(x-1)(x1).(2)M=30(2y-1)+40x=120x2-30x-1-30+40x,其中x1,设t=x-1,则t0,x=t+1,所以M=120(t+1)2-30t-30+40(t+1)=160t+90t+2502160t90t+250=490,当且仅当160t=90t,即t=34时等号成立,此时x=74.所以当x=74时,修建中转站和道路的总造价M最低.