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深圳市2019届高三第一次调研考试
数学文 试题 2019.02.21
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x｜－1≤x≤2}，B＝{1, 2, 3}，则A∩B＝
(A) {1} (B) {2} (C) {1,2} (D) {1,2,3}
2.设z＝，则｜z｜＝
（A） (B) 2 (C) (D) 3
3.在平面直角坐标系xoy中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，
若角α终边过点P（2，－1)，则sin(－2α）的值为
（A）一 (B)一 （C） (D)
4.设x，y满足约束条件，则z＝3x＋y的最大值为
(A) 7 (B）9 (C) 13 (D) 15
5.己知是定义在R上的偶函数，在区间（一∞，0］为增函数，且f（3）＝0，则不等式
f (1一2x)＞0的解集为
（A）（－l，0） (B) (－1，2) (C) (0，2) (D) (2，+∞)
6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的
几何体的三视图，则该几何体的体积为
(A) 64 (B) 68
(C) 80 (D) 109
7.已知圆锥的母线长为，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为
（A） （B) 16 (C) 25 (D) 32
8. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己
知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并
用圆规在垂线上截取BC＝AB＝1，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC
于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为
（参考数据：2.236）
（A）0.236 （B）0.382 （C）0.472 （D）0.618
9. 己知直线是函数f（x）=与的图象的一条对称轴，为了得到函数
y＝f（x）的图象，可把函数y＝sin2x的图象
（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度
（C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度
10．在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝，CC1＝2，M为AA1的
中点，则异面直线AC与B1M所成角的余弦值为
(A) （B） （C） （D）
11．己知F1，F2是椭圆的左，右焦点，过F2的直线与椭圆交
于P，Q两点，PQ ⊥PF1，且｜QF1｜＝2｜PF1｜，则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为
（A）2－ （B）－1 （C）+l （D）2+
12.己知函数，若，且，则｜｜的最大值为
(A) 1 (B) (C) 2 (D) 2
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作
答．第22～23题为选考题．考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13、曲线在点（1, f(1)）处的切线的斜率为
14.已知平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝4，｜2a+b｜＝，则a与b的夹角为 ．
15.己知F1，F2是双曲线的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的两条渐近线交
于A，B，C，D四个点，若这四个点与F1，F2两点恰好是一个正六边形的顶点，则该
双曲线的离心率为 ．
16.在△ABC中，∠ABC＝150，D是线段AC上的点，∠DBC＝30，若△ABC的
面积为，当BD取到最大值时，AC＝
三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17． （本小题满分 12 分）
记Sn为等差数列{an}的前 n 项和．已知a1 = 4，公差 d > 0 ， a4 是 a2 与 a8 的等
比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列｛｝前 n 项和为Tn ．
18． （本小题满分 12 分）
工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标 Y 进行检测，一
共抽取了 48 件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标
Y 有关，具体见下表．
（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量
指标 Y 的平均值（保留两位小数）；
（2） 用分层抽样的方法从上述样本中先抽取 6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件
产品，求这 2 件产品的指标 Y 都在[9.8, 10.2]内的概率；
（3）已知该厂产品的维护费用为 300 元/次． 工厂现推出一项服务：若消费者在购买该
厂产品时每件多加 100 元，该产品即可一年内免费维护一次． 将每件产品的购买支出和一年
的维护支出之和称为消费费用． 假设这 48 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该
服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据， 判断消费者在
购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？
19． （本小题满分 12 分）
已知四棱锥 P－ABCD的底面 ABCD为平行四边形， PD=DC ， AD⊥PC．
（1） 求证： AC=AP；
（2） 若平面 APD ⊥ 平面 ABCD， ADC = 120 ， AD= DC = 4 ，求点 B 到平面
PAC 的距离．
20． （本小题满分 12 分）
设抛物线C：y 2 = 4x ，直线l : x－my－2= 0与C 交于 A， B 两点．
（1）若|AB｜ = 4 ，求直线l 的方程；
（2）点 M 为 AB 的中点，过点 M 作直线 MN 与 y 轴垂直， 垂足为 N 。
求证：以 MN为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．
21． （本小题满分 12 分）
已知函数， 其中 a＞－2．
（1）当 a = 0时， 求函数 f ( x) 在[－1，0]上的最大值和最小值；
（2）若函数 f (x ) 为 R 上的单调函数，求实数 a 的取值范围．
请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答． 注意：只能做所选定的题目． 如果多做，则
按所做的第一题计分， 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为（ t 为参数），以坐标原
点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为r= 2cosq，直线l
与曲线C 交于不同的两点 A， B ．
（ 1）求曲线C 的参数方程；
（ 2）若点 P 为直线l 与 x 轴的交点，求 的取值范围．
23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
设函数 f (x) = ｜x +1｜+｜x－2｜， g(x) = －x2 + mx +1．
（ 1）当 m =－4时，求不等式 f (x) < g(x) 的解集；
（ 2）若不等式 f (x) < g(x) 在[ －2，－] 上恒成立，求实数 m 的取值范围．
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